Координати векторів

Якщо розглядати вектор в якійсь системі відліку, то він, як і будь-який об’єкт, має бути охарактеризований з точки зору координат.
Нехай вектор $$\vec{a}$$ починається в точці $$A$$ з координатами $$(x_1; y_1)$$ та закінчується в точці $$B$$ з координатами $$(x_2; y_2)$$. Тоді координатами вектора $$\vec{a}$$ називають числа $$a_1=x_2-x_1$$ та $$a_2=y_2-y_1$$. Координатне представлення вектора записують таким чином: $$\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)$$.
Виконаємо паралельне перенесення вектора
a\vec{a}
. Новий вектор позначимо
a\vec{a}^{\prime}
, і він матиме початок в точці
A(x1+m;y1+n)A^{\prime} \thinspace (x_1+m;y_1+n)
та кінець в точці
B(x2+m;y2+n)B^{\prime} \thinspace (x_2+m;y_2+n)
. Координати нового вектора
a(a1;a2)\vec{a}^{\prime} (a_1^{\prime};a_2^{\prime})
:
a1=(x2+m)(x1+m)=x2x1=a1a_1^{\prime}=(x_2+m)-(x_1+m)=x_2-x_1=a_1
a2=(y2+n)(y1+n)=y2y1=a2a_2^{\prime}=(y_2+n)-(y_1+n)=y_2-y_1=a_2
Бачимо, що новий вектор
a\vec{a}^{\prime}
має такі ж самі координати, як і початковий вектор
a\vec{a}
. З цього випливає ще одне означення рівності векторів: два вектори називають рівними, якщо вони мають рівні відповідні координати, і навпаки.
Зауваження: неважливо, де саме в координатному просторі знаходяться точки
AA
та
BB
, важливе лише їхнє взаємне розташування.
Простими словами, якщо початок вектора сумістити з початком координат
(0;0)(0;0)
, то координати кінця вектора
(a1;a2)(a_1;a_2)
будуть координатами вектора
a(a1;a2)\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)
.
Для зображення вектора у системі координат проводиться напрямлений відрізок (стрілка) з початку координат до точки з координатами вектора.