Послідовне та паралельне з'єднання пружин
У задачах з пружинами використовують закон Гука. При цьому, на вiдмiну вiд розглянутої нами деформацiї твердих тiл, яку ми розглянули, тут використовується саме коефiцiєнт жорсткостi $k$. На рисунку зображено видовження пружини пiд дiєю сили $\vec{F_{}}$ та силу розтягу $\vec{F_П}$ (виникає внаслідок розтягу пружини), напрямлену протилежно до напрямку здiйснення видовження ($x$).
Комбiнацiя пружин з рiзними коефiцiєнтами жорсткостi $k_1, k_2, \ldots , k_n$ може бути замiненою однiєю еквiвалентною пружиною з певним коефіцієнтом жорсткості $k$. Для того, щоб вмiти робити такi операцiї, розглянемо паралельне та послiдовне з’єднання пружин.
  1. 1.
    Паралельне з’єднання пружин.
  2. 2.
    Нехай двi пружини з коефіцієнтамі жорсткості $k_1$ та $k_2$ з’єднанi паралельно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $\vec{F_Т}$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, двi сили пружностi $\vec{F_1}$ i $\vec{F_2}$.
  3. 3.
  4. 4.
    Модуль сили пружностi першої пружини: $F_1 = k_1 x$
  5. 5.
  6. 6.
    Модуль сили пружностi другої пружини: $F_2 = k_2 x$
  7. 7.
    За другим законом Ньютона: $\vec{F_Т} + \vec{F_1} + \vec{F_2} = 0 \Rightarrow F_Т = F_1 + F_2$
  8. 8.
    Коли ми замiнимо цю систему однiєю еквiвалентною пружиною з коефiцiєнтом жорсткостi $k$, то сила пружностi, яка в нiй виникне, буде дорiвнювати силi тяжiння:
  9. 9.
    $F = F_Т = kx$
  10. 10.
    Отже, якщо пружини з’єднанi паралельно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої є сумою коефiцiєнтiв кожної з пружин:
  11. 11.
    $kx = k_1 x + k_2 x \Rightarrow k = k_1 + k_2$
  12. 12.
    Послiдовне з’єднання пружин.
  13. 13.
    Нехай двi пружини з $k_1$ та $k_2$ з’єднанi послiдовно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $\vec{F_Т}$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, сила пружностi $F$ в кожнiй з пружин. Це зрозумiло, якщо застосувати третiй закон Ньютона. Сила тяжiння спричиняє силу пружностi в першiй пружинi, яка дорiвнює силi тяжiння. З такою ж силою перша пружина дiє на другу, i в нiй виникає сила пружностi, яка також дорiвнює силi тяжiння. $F_1 = F_2 = F$
  14. 14.
  15. 15.
    Кожна пружина, внаслiдок дiї на них однакової сили, розтягується на рiзнi $x_1$ та $x_2$. Якщо систему послідовно з'єднаних пружин замінити однією еквівалентною, то видовження такої пружини $x$ повинно дорiвнювати сумi видовжень $x_1$ та $x_2$. Тепер отримаємо для кожної з пружин видовження та пiдставимо у наступну рівність $x = x_1 + x_2$.
  16. 16.
    Видовження першої пружини: $x_1 = \dfrac{F}{k_1}$
  17. 17.
    Видовження другої пружини: $x_2 = \dfrac{F}{k_2}$
  18. 18.
    Видовження еквiвалентної пружнии: $x = \dfrac{F}{k}$
  19. 19.
    Пiдставляємо в $x = x_1 + x_2$:
  20. 20.
    $\dfrac{F}{k} = \dfrac{F}{k_1} + \dfrac{F}{k_2} \Rightarrow \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} \dfrac{1}{k_2}$
  21. 21.
    Отже, якщо пружини з’єднанi послiдовно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої можна розрахувати за допомогою зазначеної вище.
Пружину жорсткістю $250$ Н/м стискають з силою $4$ Н. Знайдіть зміну довжини пружини. 1,6 м 6 м 6 см 1,6 см Закон Гука: $F = k \Delta x$ Тобто: $\Delta x = \dfrac{F}{k} = $$\dfrac{4}{250} = $$0,016 \thinspace \text{м}$ Пружину стиснули на $1,6$ см.
Last modified 3yr ago
Copy link