> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/1vstup_u_dinamku/13posldovne_ta_paralelne_zdnannya_pruzhin.md).

# Послідовне та паралельне з'єднання пружин

У задачах з пружинами використовують закон Гука. При цьому, на вiдмiну вiд розглянутої нами деформацiї твердих тiл, яку ми розглянули, тут використовується саме коефiцiєнт жорсткостi $$k$$. На рисунку зображено видовження пружини пiд дiєю сили $$\vec{F\_{}}$$ та силу розтягу $$\vec{F\_П}$$ (виникає внаслідок розтягу пружини), напрямлену протилежно до напрямку здiйснення видовження ($$x$$).

Комбiнацiя пружин з рiзними коефiцiєнтами жорсткостi $$k\_1, k\_2, \ldots , k\_n$$ може бути замiненою однiєю еквiвалентною пружиною з певним коефіцієнтом жорсткості $$k$$. Для того, щоб вмiти робити такi операцiї, розглянемо паралельне та послiдовне з’єднання пружин.

1.  **Паралельне з’єднання пружин.**
2.  Нехай двi пружини з коефіцієнтамі жорсткості $$k\_1$$ та $$k\_2$$ з’єднанi паралельно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F\_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, двi сили пружностi $$\vec{F\_1}$$ i $$\vec{F\_2}$$.
3. ![](/files/-LWNRCxpWC4Ot7cqQXB4)
4.  Модуль сили пружностi першої пружини: $$F\_1 = k\_1 x$$
5. <br>
6. &#x20;Модуль сили пружностi другої пружини: $$F\_2 = k\_2 x$$
7. За другим законом Ньютона: $$\vec{F\_Т} + \vec{F\_1} + \vec{F\_2} = 0 \Rightarrow F\_Т = F\_1 + F\_2$$
8. &#x20;Коли ми замiнимо цю систему однiєю еквiвалентною пружиною з коефiцiєнтом жорсткостi $$k$$, то сила пружностi, яка в нiй виникне, буде дорiвнювати силi тяжiння:&#x20;
9. $$F = F\_Т = kx$$
10. Отже, якщо пружини з’єднанi паралельно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої є сумою коефiцiєнтiв кожної з пружин:
11. $$kx = k\_1 x + k\_2 x \Rightarrow k = k\_1 + k\_2$$
12. &#x20;**Послiдовне з’єднання пружин.**
13. &#x20;Нехай двi пружини з $$k\_1$$ та $$k\_2$$ з’єднанi послiдовно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F\_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, сила пружностi $$F$$ в кожнiй з пружин. Це зрозумiло, якщо застосувати третiй закон Ньютона. Сила тяжiння спричиняє силу пружностi в першiй пружинi, яка дорiвнює силi тяжiння. З такою ж силою перша пружина дiє на другу, i в нiй виникає сила пружностi, яка також дорiвнює силi тяжiння. $$F\_1 = F\_2 = F$$
14. ![](/files/-LWNRCxrmijXlT1utAY8)
15. Кожна пружина, внаслiдок дiї на них однакової сили, розтягується на рiзнi $$x\_1$$ та $$x\_2$$. Якщо систему послідовно з'єднаних пружин замінити однією еквівалентною, то видовження такої пружини $$x$$ повинно дорiвнювати сумi видовжень $$x\_1$$ та $$x\_2$$. Тепер отримаємо для кожної з пружин видовження та пiдставимо у наступну рівність $$x = x\_1 + x\_2$$.
16. Видовження першої пружини: $$x\_1 = \dfrac{F}{k\_1}$$
17. Видовження другої пружини: $$x\_2 = \dfrac{F}{k\_2}$$
18. Видовження еквiвалентної пружнии: $$x = \dfrac{F}{k}$$
19. Пiдставляємо в $$x = x\_1 + x\_2$$:
20. $$\dfrac{F}{k} = \dfrac{F}{k\_1} + \dfrac{F}{k\_2} \Rightarrow \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k\_1} \dfrac{1}{k\_2}$$
21. &#x20;Отже, якщо пружини з’єднанi послiдовно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої можна розрахувати за допомогою зазначеної вище.

Пружину жорсткістю $$250$$ Н/м стискають з силою $$4$$ Н. Знайдіть зміну довжини пружини. 1,6 м 6 м 6 см 1,6 см Закон Гука: $$F = k \Delta x$$\
&#x20;Тобто: $$\Delta x = \dfrac{F}{k} = $$$$\dfrac{4}{250} = $$$$0,016 \thinspace \text{м}$$\
&#x20;Пружину стиснули на $$1,6$$ см.