# Послідовне та паралельне з'єднання пружин
У задачах з пружинами використовують закон Гука. При цьому, на вiдмiну вiд розглянутої нами деформацiї твердих тiл, яку ми розглянули, тут використовується саме коефiцiєнт жорсткостi $$k$$. На рисунку зображено видовження пружини пiд дiєю сили $$\vec{F\_{}}$$ та силу розтягу $$\vec{F\_П}$$ (виникає внаслідок розтягу пружини), напрямлену протилежно до напрямку здiйснення видовження ($$x$$).
Комбiнацiя пружин з рiзними коефiцiєнтами жорсткостi $$k\_1, k\_2, \ldots , k\_n$$ може бути замiненою однiєю еквiвалентною пружиною з певним коефіцієнтом жорсткості $$k$$. Для того, щоб вмiти робити такi операцiї, розглянемо паралельне та послiдовне з’єднання пружин.
1. **Паралельне з’єднання пружин.**
2. Нехай двi пружини з коефіцієнтамі жорсткості $$k\_1$$ та $$k\_2$$ з’єднанi паралельно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F\_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, двi сили пружностi $$\vec{F\_1}$$ i $$\vec{F\_2}$$.
3. 
4. Модуль сили пружностi першої пружини: $$F\_1 = k\_1 x$$
5.
6. Модуль сили пружностi другої пружини: $$F\_2 = k\_2 x$$
7. За другим законом Ньютона: $$\vec{F\_Т} + \vec{F\_1} + \vec{F\_2} = 0 \Rightarrow F\_Т = F\_1 + F\_2$$
8. Коли ми замiнимо цю систему однiєю еквiвалентною пружиною з коефiцiєнтом жорсткостi $$k$$, то сила пружностi, яка в нiй виникне, буде дорiвнювати силi тяжiння:
9. $$F = F\_Т = kx$$
10. Отже, якщо пружини з’єднанi паралельно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої є сумою коефiцiєнтiв кожної з пружин:
11. $$kx = k\_1 x + k\_2 x \Rightarrow k = k\_1 + k\_2$$
12. **Послiдовне з’єднання пружин.**
13. Нехай двi пружини з $$k\_1$$ та $$k\_2$$ з’єднанi послiдовно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F\_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, сила пружностi $$F$$ в кожнiй з пружин. Це зрозумiло, якщо застосувати третiй закон Ньютона. Сила тяжiння спричиняє силу пружностi в першiй пружинi, яка дорiвнює силi тяжiння. З такою ж силою перша пружина дiє на другу, i в нiй виникає сила пружностi, яка також дорiвнює силi тяжiння. $$F\_1 = F\_2 = F$$
14. 
15. Кожна пружина, внаслiдок дiї на них однакової сили, розтягується на рiзнi $$x\_1$$ та $$x\_2$$. Якщо систему послідовно з'єднаних пружин замінити однією еквівалентною, то видовження такої пружини $$x$$ повинно дорiвнювати сумi видовжень $$x\_1$$ та $$x\_2$$. Тепер отримаємо для кожної з пружин видовження та пiдставимо у наступну рівність $$x = x\_1 + x\_2$$.
16. Видовження першої пружини: $$x\_1 = \dfrac{F}{k\_1}$$
17. Видовження другої пружини: $$x\_2 = \dfrac{F}{k\_2}$$
18. Видовження еквiвалентної пружнии: $$x = \dfrac{F}{k}$$
19. Пiдставляємо в $$x = x\_1 + x\_2$$:
20. $$\dfrac{F}{k} = \dfrac{F}{k\_1} + \dfrac{F}{k\_2} \Rightarrow \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k\_1} \dfrac{1}{k\_2}$$
21. Отже, якщо пружини з’єднанi послiдовно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої можна розрахувати за допомогою зазначеної вище.
Пружину жорсткістю $$250$$ Н/м стискають з силою $$4$$ Н. Знайдіть зміну довжини пружини. 1,6 м 6 м 6 см 1,6 см Закон Гука: $$F = k \Delta x$$\
Тобто: $$\Delta x = \dfrac{F}{k} = $$$$\dfrac{4}{250} = $$$$0,016 \thinspace \text{м}$$\
Пружину стиснули на $$1,6$$ см.
---
# Agent Instructions: Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:
```
GET https://physics.ed-era.com/1vstup_u_dinamku/13posldovne_ta_paralelne_zdnannya_pruzhin.md?ask=
```
The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.