Імпульс тіла і другий закон Ньютона

Визначення Iмпульс частинки або об’єкта, який можна змоделювати як частинку маси $$m$$, що рухається зi швидкiстю $$\upsilon$$, – це величина, яку визначають як добуток маси частинки та її швидкостi: $$ \vec{p}=m\vec{\upsilon} $$

Iмпульс – векторна величина, яка спiвнапрямлена з швидкiстю, оскільки його визначають як добуток скаляра $$m$$ на вектор $$\vec{\upsilon}$$. У SI – $$\dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$$ Свого часу Ньютон називав величину $$m \vec{\upsilon}$$ кiлькiстю руху. I справдi, iмпульс дає змогу врахувати i швидкiсть, i масу об’єкта. Наприклад, iмпульс баскетбольного м’яча бiльший за iмпульс маленького тенiсного м’ячика, який рухається з такою самою швидкiстю. Чи, наприклад, iмпульс тiла з бiльшою швидкiстю бiльший за iмпульс тiла з такою самою масою, але з меншою швидкiстю.

Яку ж саме роль вiдiграє iмпульс у фiзицi? Насправдi, другий закон Ньютона доречнiше формулювати якраз застосовуючи концепцiю iмпульсу. До того ж, деякi задачi взагалi дуже складно або навiть неможливо розв’язати без застосування iмпульсу. Сподiваюсь, що вас це заiнтригувало, тож розгляньмо таку ситуацiю. Розгляньмо двi частинки з масами $$m_1$$ та $$m_2$$, якi рухаються зi швидкостями $$\vec{\upsilon}_1$$ та $$\vec{\upsilon}_2$$ вiдповiдно. На кожну з частинок дiє певна зовнiшня сила $$\vec{F_{}}_{1зовн}$$ та $$\vec{F_{}}_{2\text{зовн}}$$. Нехай частинки взаємодiють мiж собою, наприклад, за допомогою гравiтацiйного тяжiння (природа взаємодiї не має значення, тож нас не цiкавить). Нехай перша частинка дiє на другу iз силою $$\vec{F_{}}_{12}$$. Вiдповiдно до третього закону Ньютона, друга частинка дiє на першу з силою, такою самою за модулем, але з протилежним напрямком: $$ \vec{F_{}}_{12} = -\vec{F_{}}_{21} $$ Запишімо закон руху (другий закон Ньютона) для кожної з них: $$ \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{12} = m\vec{a}_1 \tag{1} $$ $$ \vec{F_{}}_{2зовн} + \vec{F_{}}_{21} = m\vec{a}_2 \tag{2} $$ Як вже було зазначено, $$\vec{F_{}}_{21} = -\vec{F_{}}_{21}$$ за третiм законом Ньютона. Пiдставмо в рівняння $$(2)$$ силу $$\vec{F_{}}_{21}$$. $$ \vec{F_{}}_{2зовн} - \vec{F_{}}_{12} = m\vec{a}_2 \tag{3} $$ Тепер додамо рівняння $$(1)$$ та $$(3)$$: $$ \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{12} + \vec{F_{}}_{2зовн} - \vec{F_{}}_{12} = m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2 $$ $$ \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{2зовн} = m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2 $$ Для подальшої зручності поміняймо місцями ліву та праву частини виразу: $$ m\vec{a}_1 + m \vec{a}_2 = \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{2зовн} \tag{4} $$ Пригадаємо. що миттєве прискорення тіла — це зміна швидкості $$\Delta \vec{\upsilon}$$ за нескінченно малий проміжок часу $$\Delta t: \ \vec{a} = \dfrac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t}$$. Підставимо це у формулу $$(4)$$: $$ m_1 \frac{\Delta \vec{\upsilon}_1}{\Delta t} + m_2 \frac{\Delta \vec{\upsilon}_2}{\Delta t} = \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{2зовн} $$ $$ \frac{m_1 \Delta \vec{\upsilon}_1 + m_2 \Delta \vec{\upsilon}_2}{\Delta t} = \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{2зовн} $$ Якщо імпульс $$\vec{p} = m \vec{\upsilon}$$, то зміну імпульсу $$\Delta \vec{p}$$ можна представити таким чином: $$\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{\upsilon}$$ (за умови незмінної маси). $$ \dfrac{\Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2}{\Delta t} = \vec{F_{}}_{1зовн} + \vec{F_{}}_{2зовн} \tag{5} $$ У розглянутому випадку ми мали дві частинки з двома імпульсами та двома зовнішніми силами, які діяли на них. Якщо провести узагальнення для більшої кількості частинок, можна ввести величину, яка є сумарним імпульсом усіх частинок $$\vec{p} = \Sigma \thinspace \vec{p}_i$$ (де $$i$$ — номер частинки в розглянутій системі), а, відповідно, зміна загального імпульсу системи частинок за нескінченно малий проміжок часу $$\Delta t - \Delta \vec{p} = \Sigma \Delta \vec{p}_i$$. Сума всіх зовнішніх сил — $$\Sigma \vec{F_{}}_{i \thinspace зовн} = \vec{F_{}}_{зовн}$$. Підставимо це у формулу $$(5)$$ і отримаємо загальний вигляд формули:

$$\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \vec{F_{}}_{зовн}$$

Трішки трактування. У вищезгаданій формулі ми отримали, що зміна імпульсу системи відбувається за рахунок дії зовнішніх сил (сил, які виникають не між частинками системи, а ззовні).

Важливим є те, що під час розгляду кожної частинки окремо зміна її імпульсу залежить від взаємодії з сусідніми частинками, оскільки при такому розгляді всі сили для неї є зовнішніми, але якщо ми розглянемо систему, в якій перебуває багато частинок, то зміна сукупного імпульсу системи залежить тільки від зовнішніх сил, що діють на частинки. Вся взаємодія всередині системи інкапсулюється і при цьому не є важливою, оскільки внутрішні сили компенсують одна одну (аналогічно до $$\vec{F_{}}_{12} = - \vec{F_{}}_{21}$$) і не мають ніякого значення при розгляді системи як єдиного цілого. Як відомо, матерія складається з атомів, які в свою чергу рухаються та взаємодіють між собою, але в силу міркувань, наведених вище, ми можемо розглядати будь-яке тіло як окремий об’єкт під дією зовнішньої сили і при цьому не вдаватись у подробиці того, що відбувається на атомному рівні в даному тілі.

Отже, якщо ми маємо одну частинку, то зміна її імпульсу можлива за рахунок дії ненульової сумарної зовнішньої сили на цю частинку, зміна сумарного імпульсу системи з двох частинок можлива за рахунок дії сумарної ненульової зовнішньої сили на цю систему тощо.

Саме у вигляді рівняння, яке записано для однієї частинки, свого часу Ньютон сформулював свій другий закон.

Визначення Другий закон Ньютона в імпульсному формулюванні Зміна імпульсу тіла дорівнює рівнодійній силі, яка прикладена до цього тіла. $$\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \cdots + \vec{F_i} = \vec{F_{}}_{рівнод}$$

Навіщо нам ще один вигляд закону Ньютона? Насправді, формулювання другого закону Ньютона в імпульсному вигляді більш загальне і справедливе не тільки у класичній, а й у релятивістській механіці (частинки рухаються із швидкостями близькими до швидкості світла, а маса частинок не є сталою величиною і залежить від їхніх швидкостей).

У класичній механіці, якій присвячено цей курс лекцій, легко пересвідчитися, що такий запис еквівалентний вже звичному для нас $$\vec{F_{}}_{рівнод} = m \vec{a}$$: $$ \vec{F_{}}_{рівнод} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m \vec{\upsilon})}{\Delta t} = m \frac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t} = m \vec{a} $$

Слід зазначити, що таке перетворення справедливе, якщо маса тіла не змінюється. Саме тоді можливий перехід: $$\Delta (m \vec{\upsilon}) = m \Delta \vec{\upsilon}$$. Задача 1 Удар футболіста

З якою силою футболіст б’є по м’ячу, який перебуває в стані спокою, якщо одразу після удару його швидкість – 150 км/год? Стандартний м’яч п’ятого розміру (розмір м’яча у великому футболі) має масу 450 грамів. Тривалість контакту м’яча з ногою приблизно 0,01 с.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Для розв’язання задачі можемо скористатися другим законом Ньютона в імпульсній формі. $$F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$$Імпульс м’яча до удару: $$p_1 = m \upsilon_1 \rightarrow |\upsilon_1 = 0| \rightarrow 0$$Імпульс м’яча після удару: $$p_2 = m \upsilon_2 \rightarrow \thinspace $$$$ \upsilon_2 = 150 \cdot \frac{\text{км}}{\text{год}} = 150 \cdot \frac{1000 \text{м}}{3600 \text{с}} \approx \thinspace $$$$ 41.7 \frac{\text{м}}{\text{с}} \rightarrow \thinspace $$$$ p_2 = 0.45 \cdot 41.7 \approx \thinspace $$$$ 18.8 \ (\text{кг}\cdot\text{м/с}^2)$$ Отже, сила, з якою футболіст б’є по м’ячу: $$F = \thinspace $$$$ \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{p_2 - p_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{m \upsilon_2 - m \upsilon_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{18.8 - 0}{0.01} = \thinspace $$$$ 1880 \thinspace (H)$$ Це дуже велика сила. Подумайте, чи більша ця сила за силу яка потрібна, щоб підняти вгору людину масою $$100(!)$$ кг.Вiдповiдь.$$F = \thinspace $$$$ \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{p_2 - p_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{m \upsilon_2 - m \upsilon_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{18.8 - 0}{0.01} = \thinspace $$$$ 1880 \thinspace (H)$$