Імпульс тіла і другий закон Ньютона

Визначення Iмпульс частинки або об’єкта, який можна змоделювати як частинку маси $$m$$, що рухається зi швидкiстю $$\upsilon$$, – це величина, яку визначають як добуток маси частинки та її швидкостi: $$ \vec{p}=m\vec{\upsilon} $$

$$\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \vec{F_{}}_{зовн}$$

Трішки трактування. У вищезгаданій формулі ми отримали, що зміна імпульсу системи відбувається за рахунок дії зовнішніх сил (сил, які виникають не між частинками системи, а ззовні).

Важливим є те, що під час розгляду кожної частинки окремо зміна її імпульсу залежить від взаємодії з сусідніми частинками, оскільки при такому розгляді всі сили для неї є зовнішніми, але якщо ми розглянемо систему, в якій перебуває багато частинок, то зміна сукупного імпульсу системи залежить тільки від зовнішніх сил, що діють на частинки. Вся взаємодія всередині системи інкапсулюється і при цьому не є важливою, оскільки внутрішні сили компенсують одна одну (аналогічно до $$\vec{F_{}}_{12} = - \vec{F_{}}_{21}$$) і не мають ніякого значення при розгляді системи як єдиного цілого. Як відомо, матерія складається з атомів, які в свою чергу рухаються та взаємодіють між собою, але в силу міркувань, наведених вище, ми можемо розглядати будь-яке тіло як окремий об’єкт під дією зовнішньої сили і при цьому не вдаватись у подробиці того, що відбувається на атомному рівні в даному тілі.

Отже, якщо ми маємо одну частинку, то зміна її імпульсу можлива за рахунок дії ненульової сумарної зовнішньої сили на цю частинку, зміна сумарного імпульсу системи з двох частинок можлива за рахунок дії сумарної ненульової зовнішньої сили на цю систему тощо.

Саме у вигляді рівняння, яке записано для однієї частинки, свого часу Ньютон сформулював свій другий закон.

Визначення Другий закон Ньютона в імпульсному формулюванні Зміна імпульсу тіла дорівнює рівнодійній силі, яка прикладена до цього тіла. $$\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \cdots + \vec{F_i} = \vec{F_{}}_{рівнод}$$

Навіщо нам ще один вигляд закону Ньютона? Насправді, формулювання другого закону Ньютона в імпульсному вигляді більш загальне і справедливе не тільки у класичній, а й у релятивістській механіці (частинки рухаються із швидкостями близькими до швидкості світла, а маса частинок не є сталою величиною і залежить від їхніх швидкостей).

У класичній механіці, якій присвячено цей курс лекцій, легко пересвідчитися, що такий запис еквівалентний вже звичному для нас $$\vec{F_{}}_{рівнод} = m \vec{a}$$: $$ \vec{F_{}}_{рівнод} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m \vec{\upsilon})}{\Delta t} = m \frac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t} = m \vec{a} $$

Слід зазначити, що таке перетворення справедливе, якщо маса тіла не змінюється. Саме тоді можливий перехід: $$\Delta (m \vec{\upsilon}) = m \Delta \vec{\upsilon}$$. Задача 1 Удар футболіста

З якою силою футболіст б’є по м’ячу, який перебуває в стані спокою, якщо одразу після удару його швидкість – 150 км/год? Стандартний м’яч п’ятого розміру (розмір м’яча у великому футболі) має масу 450 грамів. Тривалість контакту м’яча з ногою приблизно 0,01 с.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Для розв’язання задачі можемо скористатися другим законом Ньютона в імпульсній формі. $$F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$$Імпульс м’яча до удару: $$p_1 = m \upsilon_1 \rightarrow |\upsilon_1 = 0| \rightarrow 0$$Імпульс м’яча після удару: $$p_2 = m \upsilon_2 \rightarrow \thinspace $$$$ \upsilon_2 = 150 \cdot \frac{\text{км}}{\text{год}} = 150 \cdot \frac{1000 \text{м}}{3600 \text{с}} \approx \thinspace $$$$ 41.7 \frac{\text{м}}{\text{с}} \rightarrow \thinspace $$$$ p_2 = 0.45 \cdot 41.7 \approx \thinspace $$$$ 18.8 \ (\text{кг}\cdot\text{м/с}^2)$$ Отже, сила, з якою футболіст б’є по м’ячу: $$F = \thinspace $$$$ \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{p_2 - p_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{m \upsilon_2 - m \upsilon_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{18.8 - 0}{0.01} = \thinspace $$$$ 1880 \thinspace (H)$$ Це дуже велика сила. Подумайте, чи більша ця сила за силу яка потрібна, щоб підняти вгору людину масою $$100(!)$$ кг.Вiдповiдь.$$F = \thinspace $$$$ \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{p_2 - p_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{m \upsilon_2 - m \upsilon_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{18.8 - 0}{0.01} = \thinspace $$$$ 1880 \thinspace (H)$$

Last updated