Зіткнення у двох вимірах

У всіх попередніх розділах ми розглядали центральний удар і, відповідно, рух в одному вимірі. Що відбувається у двох, трьох вимірах при нецентральному ударі? Та нічого особливого, крім того, що тепер закон збереження імпульсу записується не тільки для однієї осі, а для двох чи трьох, залежно від того, задача у площині чи в об’ємі.

Одразу розглянемо приклад:

Одна куля масою $$m_1$$ налітає на іншу масою $$m_2$$ зі швидкістю $$\vec{\upsilon}_1$$. Удар нецентральний, отже, маємо рух не в одному вимірі. Проте удар абсолютно пружний. Щоб краще уявити, про яку ситуацію мова, погляньте на приклад, зображений на рисунку.

Запишемо закон збереження імпульсу у векторній формі:

$$m_1 \vec{\upsilon}_1 = m_1 \vec{\upsilon}_1^\prime + m_2 \vec{\upsilon}_2^\prime$$

Тепер розписуємо рівняння по осі $x$ та $y$. Розписуємо відразу враховуючи знак відповідних проекцій:

m_1 \upsilon_1 = m_1 \upsilon_1^\prime \cos \alpha + m_2 \upsilon_2^\prime \cos \beta $$

0 = m_1 \upsilon_1^\prime \sin \alpha - m_2 \upsilon_2^\prime \sin \beta

Знак «-» з’явився внаслідок того, що проекція швидкості другого тіла після зіткнення напрямлена протилежно до напрямку осі $$y$$. Також якщо ми маємо абсолютно пружне зіткнення, можна записати закон збереження кінетичної енергії:

\dfrac{m_1 \upsilon_1^2}{2} = \dfrac{m_1 {\upsilon_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m_2 {\upsilon_2^\prime}^2}{2}

Нагадую, що квадрат швидкості дорівнює сумі квадратів проекцій на $$x$$ та на $$y$$:

\upsilon^2 = \upsilon_x^2 + \upsilon_y^2

$$ Маючи ці рівняння, можна визначити все, що потрібно. Якщо ви будете мати справу з непружним зіткненням у двох вимірах, обов’язково пам’ятайте, що кінетична енергія не зберігається!