Фізика: Класична механіка
Search…
Зміст
Вступне слово
Одновимірна кінематика
Двовимірна кінематика
Концепція сили
Сила тертя
Динамiка та статика
Iмпульс, робота, потужнiсть
Механiчна робота
Робота та енергiя
Потужнiсть та ККД
Iмпульс та його зв’язок з силою
Імпульс та кінетична енергія
Закон Всесвітнього тяжіння
Механіка рідин та газів
Додаток
Powered By GitBook
Потужнiсть та ККД
Ви, напевно, нерiдко чули термiн «потужнiсть». Наприклад, його часто вживають стосовно роботи двигунiв: «Потужнiсть двигуна цього автомобiля – 200 кiнських сил».
Визначення Потужнiсть – робота, що виконана за одиницю часу. Отже, потужнiсть характеризує швидкiсть виконання роботи. Середня потужнiсть за промiжок часу $t$: $P =$$ \dfrac{A}{t} = $$ \dfrac{F S \cos \alpha}{t} = $$ F \upsilon_{сер} \cos \alpha$ Миттєва потужнiсть: $P = $$ F \upsilon \cos \alpha$ SI: $\dfrac{\text{Дж}}{\text{с}} =$ Вт
Одиниця потужностi у SI – Ват. Названа на честь шотландського винахiдника Джеймса Ватта (1736 – 1819). Він і визначив знайому вам з автомобільної індустрії одиницю – «кінську силу». Якось Джеймсові Ватту потрiбно було визначити потужнiсть парового двигуна, який він розробив. Вiн визначив, що добрий кiнь може працювати ввесь день з певною середньою потужнiстю. Потiм, щоб його не звинуватили у перебiльшеннi під час продажу його парового двигуна, вiн визначив «кiнську силу» як значення, помножене на 1.5, i вийшло 746 Ват.
$1$ к.с. $= 746$ Вт
Задача 4 РIВНЯННЯ РУХУ ТА ПОТУЖНIСТЬ
Нехай тiло масою з $5$ кг рухається пiд дiєю сили вздовж осi $Ox$. Рiвняння руху: $x = -2 + 10t + 4t^2$.
1. Яка сила дiє на тiло? 2. Яку роботу виконано над тілом протягом $3$ секунд? 3. Чому дорiвнює миттєва потужнiсть на третiй секундi руху? 4. Чому дорiвнює середня потужнiсть протягом $3$ секунд руху?
Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Сила $F = ma$. Для визначення прискорення $a$ порiвняймо шаблон рiвняння руху з тим, яке в умовi:
$x = \thinspace $$ x_0 + \upsilon t + \dfrac{at^2}{2}$ та $x = -2 + 10t + 4t^2 \Rightarrow \thinspace $$ a = \thinspace $$ 8 \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$
$F = \thinspace $$ ma = \thinspace $$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$ 40 \thinspace \text{Н}$
Робота, що дiє протягом $3$ секунд, дорiвнює силi, прикладенiй до тiла, помноженiй на модуль перемiщення. Силу ми визначили вище $F = \thinspace $$ 40 \thinspace \text{Н}$. Перемiщення – це рiзниця мiж кiнцевою координатою $x(3) = \thinspace $$ -2 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 = \thinspace $$ 64 \thinspace \text{м}$ та початковою координатою $x_0 = \thinspace $$ -2 \thinspace \text{м}$:
$A = \thinspace $$ F S = \thinspace $$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$ 2640 \thinspace \text{Дж}$
Миттєва потужнiсть на третiй секундi руху дорiвнює силi, помноженiй на миттєву швидкiсть у вiдповiдну секунду руху. Виходячи iз рiвняння руху в умовi: початкова швидкiсть $\upsilon_0 = 10$ м/c, прискорення $a = 8$ м/$с^2$. Рiвняння для швидкостi: $\upsilon = \thinspace $$ \upsilon_0 + at \Rightarrow \thinspace $$ \upsilon = \thinspace $$ 10 + 8t$. Швидкiсть на третiй секундi руху: $\upsilon_3 = \thinspace $$ 10 + 8 \cdot 3 = \thinspace $$ 34$ м/с.
$P_3 = \thinspace $$ F \upsilon (3) = \thinspace $$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$ 1360 \thinspace \text{Вт}$
Середню потужнiсть можна одержати, перемноживши силу на середню швидкiсть протягом вiдповiдного часу. Оскільки ми маємо справу з рiвноприскоренним рухом, швидкiсть змiнюється лiнiйно. Отже, середня швидкiсть протягом трьох секунд можна розрахувати як середнє арифметичне початкової швидкостi та швидкостi на третiй секундi руху.
$P_{3сер} = \thinspace $$ F \upsilon_3 = \thinspace $$ F \cdot \dfrac{\upsilon_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$ 880 \thinspace \text{Вт}$
Вiдповiдь.
$F = \thinspace $$ ma = \thinspace $$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$ 40 \thinspace \text{Н}$$A = \thinspace $$ F S = \thinspace $$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$P_3 = \thinspace $$ F \upsilon (3) = \thinspace $$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$P_{3сер} = \thinspace $$ F \upsilon_3 = \thinspace $$ F \cdot \dfrac{\upsilon_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$ 880 \thinspace \text{Вт}$
Коефiцiєнт корисної дiї
Робота будь-якого механiзму базується на перетвореннi своєї енергiї в певну потрiбну. Наприклад, робота вантажного крана – перетворення електричної енергiї на механiчну (пiдняття вантажу на певну висоту). Робота двигуна автомобiля – перетворення його енергiї на кiнетичну енергiю автомобiля, що, в свою чергу, є виконанням роботи з перемiщення автiвки. Враховуючи/через певні чинники, такі як сила тертя, опору тощо, жоден механiзм не може повністю (без втрат) перетворити свою енергiю на здiйснення певної роботи. Саме тому i виникла потреба у визначеннi коефiцiєнта корисної дiї (ККД) механiзма.
ВизначенняКоефiцiєнт корисної дiї (ККД) – вiдношення корисної роботи/потужностi до повної витраченої роботи/потужностi. Втрати є в будь-якому механiзмi, корисна робота завжди меньша від витраченої.
$\eta \thinspace $$= \dfrac{A_к}{A_з} = \thinspace $$ \dfrac{P_к}{P_з}

Приклади

Для кожного з прикладiв маємо задачу: пiдняти вантаж $m = 200$ кг на висоту $h = 10$ метрів.
  1. 1.
    Маємо вантажний кран з ККД $= 70 \%$. Потужнiсть крана $1.5$ кВт. За який час кран зможе пiдняти вантаж на потрiбну висоту?
  2. 2.
    Передусiм, щораз у задачах на ККД потрiбно чiтко розiбратися з тим, що тут корисна робота/потужність, а що — витрачена робота/потужність. У цьому разi корисна робота – це робота з пiднімання вантажу на висоту $h$.Витрачена робота – та, яку виконав кран.
  3. 3.
    $A_к = \thinspace $$ mgh \Rightarrow \thinspace $$ P_к = \thinspace $$ \dfrac{mgh}{t}$
  4. 4.
    Витрачена потужнiсть (потужнiсть крана) дана в умовi: $P_З = 1.5$ кВт.
  5. 5.
    $\eta = \thinspace $$ \dfrac{P_к}{P_з} = \thinspace $$ \dfrac{mgh}{t \cdot P_з} \Rightarrow \thinspace $$ t = \thinspace $$ \dfrac{mgh}{\eta \cdot P_з} = \thinspace $$ \dfrac{200 \cdot 9.8 \cdot 10}{0.7 \cdot 1.5 \cdot 10^3} \approx \thinspace $$ 18.7 \thinspace \text{c} $
  6. 6.
    Для рiвномiрного пiднімання вантажу на висоту $h$ використовують похилу площину. Кут нахилу – $\alpha = 30^\circ$. Коефiцiєнт тертя $\mu = 0.4$. Чому дорiвнює ККД похилої площини?
  7. 7.
    ​
    ​
  8. 8.
    Корисна робота – робота з пiднімання вантажу на висоту $h: \ A_к = mgh$. Можемо виразити висоту $h$ через довжину похилої площини $l$ та синус кута $\alpha: \ A_к = \thinspace $$ mgl \sin \alpha$. Витрачена робота – робота сили $F$ з перемiщення тiла вздовж похилої площини: $A_з = \thinspace $$ Fl$. Щоб тiло рухалось рiвномiрно, сума всiх прикладених сил повинна дорiвнювати нулеві.
  9. 9.
    $Oy \ : \ N - mg \cos \alpha = \thinspace $$ 0 \Rightarrow \thinspace $$ N = \thinspace $$ mg \cos \alpha; \ F_Т = \thinspace $$ \mu N = \thinspace $$ \mu mg \cos \alpha$
  10. 10.
    $Ox \ : \ F - F_Т - mg \sin \alpha = \thinspace $$ 0 \Rightarrow \thinspace $$ F = \thinspace $$ F_Т + mg \sin \alpha = \thinspace $$ \mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha$
  11. 11.
    $F = \thinspace $$ mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$
  12. 12.
    Витрачена робота:
  13. 13.
  14. 14.
  15. 15.
    $A_з = \thinspace $$ Fl = \thinspace $$ mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$
  16. 16.
    Тепер можемо отримати ККД:
  17. 17.
  18. 18.
  19. 19.
    $\eta = \thinspace $$ \dfrac{A_к}{A_з} = \thinspace $$ \dfrac{mgl \sin \alpha}{mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)} = \thinspace $$ \dfrac{\sin \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} = \thinspace $$ \dfrac{\dfrac{1}{2}}{0.4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} \approx \thinspace $$ 0.6 = \thinspace $$ 60 \%$
Previous
Закон збереження механiчної енергiї
Next
Iмпульс та його зв’язок з силою
Last modified 3yr ago
Copy link
Contents
Приклади