> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/impuls-_robota-_potuzhnist/potuzhnist_ta_kkd.md). # Потужнiсть та ККД Ви, напевно, нерiдко чули термiн «потужнiсть». Наприклад, його часто вживають стосовно роботи двигунiв: «Потужнiсть двигуна цього автомобiля – 200 кiнських сил». Визначення **Потужнiсть** – робота, що виконана за одиницю часу. Отже, потужнiсть характеризує швидкiсть виконання роботи.\ \ **Середня потужнiсть** за промiжок часу $$t$$:\ \ $$P =$$$$ \dfrac{A}{t} = $$$$ \dfrac{F S \cos \alpha}{t} = $$$$ F \upsilon\_{сер} \cos \alpha$$\ **Миттєва потужнiсть:**\ \ $$P = $$$$ F \upsilon \cos \alpha$$\ **SI:** $$\dfrac{\text{Дж}}{\text{с}} =$$ Вт Одиниця потужностi у **SI** – Ват. Названа на честь шотландського винахiдника Джеймса Ватта (1736 – 1819). Він і визначив знайому вам з автомобільної індустрії одиницю – «кінську силу». Якось Джеймсові Ватту потрiбно було визначити потужнiсть парового двигуна, який він розробив. Вiн визначив, що добрий кiнь може працювати ввесь день з певною середньою потужнiстю. Потiм, щоб його не звинуватили у перебiльшеннi під час продажу його парового двигуна, вiн визначив «кiнську силу» як значення, помножене на 1.5, i вийшло 746 Ват. $$1$$ к.с. $$= 746$$ Вт Задача 4 **РIВНЯННЯ РУХУ ТА ПОТУЖНIСТЬ** Нехай тiло масою з $$5$$ кг рухається пiд дiєю сили вздовж осi $$Ox$$. Рiвняння руху: $$x = -2 + 10t + 4t^2$$. \ **1.** Яка сила дiє на тiло?\ **2.** Яку роботу виконано над тілом протягом $$3$$ секунд?\ **3.** Чому дорiвнює миттєва потужнiсть на третiй секундi руху?\ **4.** Чому дорiвнює середня потужнiсть протягом $$3$$ секунд руху? Розв’язання Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Сила $$F = ma$$. Для визначення прискорення $$a$$ порiвняймо шаблон рiвняння руху з тим, яке в умовi: $$x = \thinspace $$$$ x\_0 + \upsilon t + \dfrac{at^2}{2}$$ та $$x = -2 + 10t + 4t^2 \Rightarrow \thinspace $$$$ a = \thinspace $$$$ 8 \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$$ | $$F = \thinspace $$$$ ma = \thinspace $$$$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$ | | ----------------------------------------------------------------------------------------------- | Робота, що дiє протягом $$3$$ секунд, дорiвнює силi, прикладенiй до тiла, помноженiй на модуль перемiщення. Силу ми визначили вище $$F = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$. Перемiщення – це рiзниця мiж кiнцевою координатою $$x(3) = \thinspace $$$$ -2 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 = \thinspace $$$$ 64 \thinspace \text{м}$$ та початковою координатою $$x\_0 = \thinspace $$$$ -2 \thinspace \text{м}$$: | $$A = \thinspace $$$$ F S = \thinspace $$$$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$$$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$ | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Миттєва потужнiсть на третiй секундi руху дорiвнює силi, помноженiй на миттєву швидкiсть у вiдповiдну секунду руху. Виходячи iз рiвняння руху в умовi: початкова швидкiсть $$\upsilon\_0 = 10$$ м/c, прискорення $$a = 8$$ м/$$с^2$$. Рiвняння для швидкостi: $$\upsilon = \thinspace $$$$ \upsilon\_0 + at \Rightarrow \thinspace $$$$ \upsilon = \thinspace $$$$ 10 + 8t$$. Швидкiсть на третiй секундi руху: $$\upsilon\_3 = \thinspace $$$$ 10 + 8 \cdot 3 = \thinspace $$$$ 34$$ м/с. | $$P\_3 = \thinspace $$$$ F \upsilon (3) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$$$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Середню потужнiсть можна одержати, перемноживши силу на середню швидкiсть протягом вiдповiдного часу. Оскільки ми маємо справу з рiвноприскоренним рухом, швидкiсть змiнюється лiнiйно. Отже, середня швидкiсть протягом трьох секунд можна розрахувати як середнє арифметичне початкової швидкостi та швидкостi на третiй секундi руху. | $$P\_{3сер} = \thinspace $$$$ F \upsilon\_3 = \thinspace $$$$ F \cdot \dfrac{\upsilon\_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$$$ 880 \thinspace \text{Вт}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | **Вiдповiдь.** $$F = \thinspace $$$$ ma = \thinspace $$$$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$$$A = \thinspace $$$$ F S = \thinspace $$$$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$$$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$$$P\_3 = \thinspace $$$$ F \upsilon (3) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$$$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$$$P\_{3сер} = \thinspace $$$$ F \upsilon\_3 = \thinspace $$$$ F \cdot \dfrac{\upsilon\_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$$$ 880 \thinspace \text{Вт}$$ **Коефiцiєнт корисної дiї** Робота будь-якого механiзму базується на перетвореннi своєї енергiї в певну потрiбну. Наприклад, робота вантажного крана – перетворення електричної енергiї на механiчну (пiдняття вантажу на певну висоту). Робота двигуна автомобiля – перетворення його енергiї на кiнетичну енергiю автомобiля, що, в свою чергу, є виконанням роботи з перемiщення автiвки. Враховуючи/через певні чинники, такі як сила тертя, опору тощо, **жоден механiзм не може повністю (без втрат) перетворити свою енергiю на здiйснення певної роботи.** Саме тому i виникла потреба у визначеннi **коефiцiєнта корисної дiї (ККД)** механiзма. Визначення**Коефiцiєнт корисної дiї (ККД)** – вiдношення корисної роботи/потужностi до повної витраченої роботи/потужностi. **Втрати є в будь-якому механiзмi**, корисна робота завжди меньша від витраченої. $$\eta \thinspace $$$$= \dfrac{A\_к}{A\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{P\_к}{P\_з}
## Приклади Для кожного з прикладiв маємо задачу: пiдняти вантаж $$m = 200$$ кг на висоту $$h = 10$$ метрів. 1. **Маємо вантажний кран з ККД $$= 70 \\%$$. Потужнiсть крана $$1.5$$ кВт. За який час кран зможе пiдняти вантаж на потрiбну висоту?** 2. Передусiм, щораз у задачах на ККД потрiбно чiтко розiбратися з тим, що тут корисна робота/потужність, а що — витрачена робота/потужність. У цьому разi корисна робота – це робота з пiднімання вантажу на висоту $$h$$.Витрачена робота – та, яку виконав кран. 3. $$A\_к = \thinspace $$$$ mgh \Rightarrow \thinspace $$$$ P\_к = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{t}$$ 4. Витрачена потужнiсть (потужнiсть крана) дана в умовi: $$P\_З = 1.5$$ кВт. 5. $$\eta = \thinspace $$$$ \dfrac{P\_к}{P\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{t \cdot P\_з} \Rightarrow \thinspace $$$$ t = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{\eta \cdot P\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{200 \cdot 9.8 \cdot 10}{0.7 \cdot 1.5 \cdot 10^3} \approx \thinspace $$$$ 18.7 \thinspace \text{c} $$ 6. **Для рiвномiрного пiднімання вантажу на висоту $$h$$ використовують похилу площину. Кут нахилу – $$\alpha = 30^\circ$$. Коефiцiєнт тертя $$\mu = 0.4$$. Чому дорiвнює ККД похилої площини?** 7. ![](/files/-LWNRCZahc1Be4olPtcE) 8. Корисна робота – робота з пiднімання вантажу на висоту $$h: \ A\_к = mgh$$. Можемо виразити висоту $$h$$ через довжину похилої площини $$l$$ та синус кута $$\alpha: \ A\_к = \thinspace $$$$ mgl \sin \alpha$$. Витрачена робота – робота сили $$F$$ з перемiщення тiла вздовж похилої площини: $$A\_з = \thinspace $$$$ Fl$$. Щоб тiло рухалось рiвномiрно, сума всiх прикладених сил повинна дорiвнювати нулеві. 9. $$Oy \ : \ N - mg \cos \alpha = \thinspace $$$$ 0 \Rightarrow \thinspace $$$$ N = \thinspace $$$$ mg \cos \alpha; \ F\_Т = \thinspace $$$$ \mu N = \thinspace $$$$ \mu mg \cos \alpha$$ 10. $$Ox \ : \ F - F\_Т - mg \sin \alpha = \thinspace $$$$ 0 \Rightarrow \thinspace $$$$ F = \thinspace $$$$ F\_Т + mg \sin \alpha = \thinspace $$$$ \mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha$$ 11. $$F = \thinspace $$$$ mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$ 12. Витрачена робота: 13.
14.
15. $$A\_з = \thinspace $$$$ Fl = \thinspace $$$$ mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$ 16. Тепер можемо отримати ККД: 17.
18.
19. $$\eta = \thinspace $$$$ \dfrac{A\_к}{A\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{mgl \sin \alpha}{mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)} = \thinspace $$$$ \dfrac{\sin \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} = \thinspace $$$$ \dfrac{\dfrac{1}{2}}{0.4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} \approx \thinspace $$$$ 0.6 = \thinspace $$$$ 60 \\%$$