Потужнiсть та ККД

Ви, напевно, нерiдко чули термiн «потужнiсть». Наприклад, його часто вживають стосовно роботи двигунiв: «Потужнiсть двигуна цього автомобiля – 200 кiнських сил».

Визначення Потужнiсть – робота, що виконана за одиницю часу. Отже, потужнiсть характеризує швидкiсть виконання роботи. Середня потужнiсть за промiжок часу $$t$$: $$P =$$$$ \dfrac{A}{t} = $$$$ \dfrac{F S \cos \alpha}{t} = $$$$ F \upsilon_{сер} \cos \alpha$$ Миттєва потужнiсть: $$P = $$$$ F \upsilon \cos \alpha$$ SI: $$\dfrac{\text{Дж}}{\text{с}} =$$ Вт

Одиниця потужностi у SI – Ват. Названа на честь шотландського винахiдника Джеймса Ватта (1736 – 1819). Він і визначив знайому вам з автомобільної індустрії одиницю – «кінську силу». Якось Джеймсові Ватту потрiбно було визначити потужнiсть парового двигуна, який він розробив. Вiн визначив, що добрий кiнь може працювати ввесь день з певною середньою потужнiстю. Потiм, щоб його не звинуватили у перебiльшеннi під час продажу його парового двигуна, вiн визначив «кiнську силу» як значення, помножене на 1.5, i вийшло 746 Ват.

$$1$$ к.с. $$= 746$$ Вт

Задача 4 РIВНЯННЯ РУХУ ТА ПОТУЖНIСТЬ

Нехай тiло масою з $$5$$ кг рухається пiд дiєю сили вздовж осi $$Ox$$. Рiвняння руху: $$x = -2 + 10t + 4t^2$$.

1. Яка сила дiє на тiло? 2. Яку роботу виконано над тілом протягом $$3$$ секунд? 3. Чому дорiвнює миттєва потужнiсть на третiй секундi руху? 4. Чому дорiвнює середня потужнiсть протягом $$3$$ секунд руху?

Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Сила $$F = ma$$. Для визначення прискорення $$a$$ порiвняймо шаблон рiвняння руху з тим, яке в умовi:

$$x = \thinspace $$$$ x_0 + \upsilon t + \dfrac{at^2}{2}$$ та $$x = -2 + 10t + 4t^2 \Rightarrow \thinspace $$$$ a = \thinspace $$$$ 8 \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$$

$$F = \thinspace $$$$ ma = \thinspace $$$$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$

Робота, що дiє протягом $$3$$ секунд, дорiвнює силi, прикладенiй до тiла, помноженiй на модуль перемiщення. Силу ми визначили вище $$F = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$. Перемiщення – це рiзниця мiж кiнцевою координатою $$x(3) = \thinspace $$$$ -2 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 = \thinspace $$$$ 64 \thinspace \text{м}$$ та початковою координатою $$x_0 = \thinspace $$$$ -2 \thinspace \text{м}$$:

$$A = \thinspace $$$$ F S = \thinspace $$$$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$$$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$

Миттєва потужнiсть на третiй секундi руху дорiвнює силi, помноженiй на миттєву швидкiсть у вiдповiдну секунду руху. Виходячи iз рiвняння руху в умовi: початкова швидкiсть $$\upsilon_0 = 10$$ м/c, прискорення $$a = 8$$ м/$$с^2$$. Рiвняння для швидкостi: $$\upsilon = \thinspace $$$$ \upsilon_0 + at \Rightarrow \thinspace $$$$ \upsilon = \thinspace $$$$ 10 + 8t$$. Швидкiсть на третiй секундi руху: $$\upsilon_3 = \thinspace $$$$ 10 + 8 \cdot 3 = \thinspace $$$$ 34$$ м/с.

$$P_3 = \thinspace $$$$ F \upsilon (3) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$$$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$

Середню потужнiсть можна одержати, перемноживши силу на середню швидкiсть протягом вiдповiдного часу. Оскільки ми маємо справу з рiвноприскоренним рухом, швидкiсть змiнюється лiнiйно. Отже, середня швидкiсть протягом трьох секунд можна розрахувати як середнє арифметичне початкової швидкостi та швидкостi на третiй секундi руху.

$$P_{3сер} = \thinspace $$$$ F \upsilon_3 = \thinspace $$$$ F \cdot \dfrac{\upsilon_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$$$ 880 \thinspace \text{Вт}$$

Вiдповiдь.

$$F = \thinspace $$$$ ma = \thinspace $$$$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$$$A = \thinspace $$$$ F S = \thinspace $$$$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$$$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$$$P_3 = \thinspace $$$$ F \upsilon (3) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$$$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$$$P_{3сер} = \thinspace $$$$ F \upsilon_3 = \thinspace $$$$ F \cdot \dfrac{\upsilon_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$$$ 880 \thinspace \text{Вт}$$

Коефiцiєнт корисної дiї

Робота будь-якого механiзму базується на перетвореннi своєї енергiї в певну потрiбну. Наприклад, робота вантажного крана – перетворення електричної енергiї на механiчну (пiдняття вантажу на певну висоту). Робота двигуна автомобiля – перетворення його енергiї на кiнетичну енергiю автомобiля, що, в свою чергу, є виконанням роботи з перемiщення автiвки. Враховуючи/через певні чинники, такі як сила тертя, опору тощо, жоден механiзм не може повністю (без втрат) перетворити свою енергiю на здiйснення певної роботи. Саме тому i виникла потреба у визначеннi коефiцiєнта корисної дiї (ККД) механiзма.

ВизначенняКоефiцiєнт корисної дiї (ККД) – вiдношення корисної роботи/потужностi до повної витраченої роботи/потужностi. Втрати є в будь-якому механiзмi, корисна робота завжди меньша від витраченої.

$$\eta \thinspace $$$$= \dfrac{A_к}{A_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{P_к}{P_з}

Приклади

Для кожного з прикладiв маємо задачу: пiдняти вантаж $$m = 200$$ кг на висоту $$h = 10$$ метрів.

1. Маємо вантажний кран з ККД $$= 70 \%$$. Потужнiсть крана $$1.5$$ кВт. За який час кран зможе пiдняти вантаж на потрiбну висоту?

2. Передусiм, щораз у задачах на ККД потрiбно чiтко розiбратися з тим, що тут корисна робота/потужність, а що — витрачена робота/потужність. У цьому разi корисна робота – це робота з пiднімання вантажу на висоту $$h$$.Витрачена робота – та, яку виконав кран.

3. $$A_к = \thinspace $$$$ mgh \Rightarrow \thinspace $$$$ P_к = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{t}$$

4. Витрачена потужнiсть (потужнiсть крана) дана в умовi: $$P_З = 1.5$$ кВт.

5. $$\eta = \thinspace $$$$ \dfrac{P_к}{P_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{t \cdot P_з} \Rightarrow \thinspace $$$$ t = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{\eta \cdot P_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{200 \cdot 9.8 \cdot 10}{0.7 \cdot 1.5 \cdot 10^3} \approx \thinspace $$$$ 18.7 \thinspace \text{c} $$

6. Для рiвномiрного пiднімання вантажу на висоту $$h$$ використовують похилу площину. Кут нахилу – $$\alpha = 30^\circ$$. Коефiцiєнт тертя $$\mu = 0.4$$. Чому дорiвнює ККД похилої площини?

7. 
8. Корисна робота – робота з пiднімання вантажу на висоту $$h: \ A_к = mgh$$. Можемо виразити висоту $$h$$ через довжину похилої площини $$l$$ та синус кута $$\alpha: \ A_к = \thinspace $$$$ mgl \sin \alpha$$. Витрачена робота – робота сили $$F$$ з перемiщення тiла вздовж похилої площини: $$A_з = \thinspace $$$$ Fl$$. Щоб тiло рухалось рiвномiрно, сума всiх прикладених сил повинна дорiвнювати нулеві.

9. $$Oy \ : \ N - mg \cos \alpha = \thinspace $$$$ 0 \Rightarrow \thinspace $$$$ N = \thinspace $$$$ mg \cos \alpha; \ F_Т = \thinspace $$$$ \mu N = \thinspace $$$$ \mu mg \cos \alpha$$

10. $$Ox \ : \ F - F_Т - mg \sin \alpha = \thinspace $$$$ 0 \Rightarrow \thinspace $$$$ F = \thinspace $$$$ F_Т + mg \sin \alpha = \thinspace $$$$ \mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha$$

11. $$F = \thinspace $$$$ mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$

12. Витрачена робота:

15. $$A_з = \thinspace $$$$ Fl = \thinspace $$$$ mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$

16. Тепер можемо отримати ККД:

19. $$\eta = \thinspace $$$$ \dfrac{A_к}{A_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{mgl \sin \alpha}{mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)} = \thinspace $$$$ \dfrac{\sin \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} = \thinspace $$$$ \dfrac{\dfrac{1}{2}}{0.4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} \approx \thinspace $$$$ 0.6 = \thinspace $$$$ 60 \%$$