Потужнiсть та ККД
Ви, напевно, нерiдко чули термiн «потужнiсть». Наприклад, його часто вживають стосовно роботи двигунiв: «Потужнiсть двигуна цього автомобiля – 200 кiнських сил».
Визначення Потужнiсть – робота, що виконана за одиницю часу. Отже, потужнiсть характеризує швидкiсть виконання роботи. Середня потужнiсть за промiжок часу $t$: $P =$$ \dfrac{A}{t} = $$ \dfrac{F S \cos \alpha}{t} = $$ F \upsilon_{сер} \cos \alpha$ Миттєва потужнiсть: $P = $$ F \upsilon \cos \alpha$ SI: $\dfrac{\text{Дж}}{\text{с}} =$ Вт
Одиниця потужностi у SI – Ват. Названа на честь шотландського винахiдника Джеймса Ватта (1736 – 1819). Він і визначив знайому вам з автомобільної індустрії одиницю – «кінську силу». Якось Джеймсові Ватту потрiбно було визначити потужнiсть парового двигуна, який він розробив. Вiн визначив, що добрий кiнь може працювати ввесь день з певною середньою потужнiстю. Потiм, щоб його не звинуватили у перебiльшеннi під час продажу його парового двигуна, вiн визначив «кiнську силу» як значення, помножене на 1.5, i вийшло 746 Ват.
$1$ к.с. $= 746$ Вт
Задача 4 РIВНЯННЯ РУХУ ТА ПОТУЖНIСТЬ
Нехай тiло масою з $5$ кг рухається пiд дiєю сили вздовж осi $Ox$. Рiвняння руху: $x = -2 + 10t + 4t^2$.
1. Яка сила дiє на тiло? 2. Яку роботу виконано над тілом протягом $3$ секунд? 3. Чому дорiвнює миттєва потужнiсть на третiй секундi руху? 4. Чому дорiвнює середня потужнiсть протягом $3$ секунд руху?
Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Сила $F = ma$. Для визначення прискорення $a$ порiвняймо шаблон рiвняння руху з тим, яке в умовi:
$x = \thinspace $$ x_0 + \upsilon t + \dfrac{at^2}{2}$ та $x = -2 + 10t + 4t^2 \Rightarrow \thinspace $$ a = \thinspace $$ 8 \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$
$F = \thinspace $$ ma = \thinspace $$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$ 40 \thinspace \text{Н}$
Робота, що дiє протягом $3$ секунд, дорiвнює силi, прикладенiй до тiла, помноженiй на модуль перемiщення. Силу ми визначили вище $F = \thinspace $$ 40 \thinspace \text{Н}$. Перемiщення – це рiзниця мiж кiнцевою координатою $x(3) = \thinspace $$ -2 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 = \thinspace $$ 64 \thinspace \text{м}$ та початковою координатою $x_0 = \thinspace $$ -2 \thinspace \text{м}$:
$A = \thinspace $$ F S = \thinspace $$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$ 2640 \thinspace \text{Дж}$
Миттєва потужнiсть на третiй секундi руху дорiвнює силi, помноженiй на миттєву швидкiсть у вiдповiдну секунду руху. Виходячи iз рiвняння руху в умовi: початкова швидкiсть $\upsilon_0 = 10$ м/c, прискорення $a = 8$ м/$с^2$. Рiвняння для швидкостi: $\upsilon = \thinspace $$ \upsilon_0 + at \Rightarrow \thinspace $$ \upsilon = \thinspace $$ 10 + 8t$. Швидкiсть на третiй секундi руху: $\upsilon_3 = \thinspace $$ 10 + 8 \cdot 3 = \thinspace $$ 34$ м/с.
$P_3 = \thinspace $$ F \upsilon (3) = \thinspace $$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$ 1360 \thinspace \text{Вт}$
Середню потужнiсть можна одержати, перемноживши силу на середню швидкiсть протягом вiдповiдного часу. Оскільки ми маємо справу з рiвноприскоренним рухом, швидкiсть змiнюється лiнiйно. Отже, середня швидкiсть протягом трьох секунд можна розрахувати як середнє арифметичне початкової швидкостi та швидкостi на третiй секундi руху.
$P_{3сер} = \thinspace $$ F \upsilon_3 = \thinspace $$ F \cdot \dfrac{\upsilon_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$ 880 \thinspace \text{Вт}$
Вiдповiдь.
$F = \thinspace $$ ma = \thinspace $$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$ 40 \thinspace \text{Н}$$A = \thinspace $$ F S = \thinspace $$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$P_3 = \thinspace $$ F \upsilon (3) = \thinspace $$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$P_{3сер} = \thinspace $$ F \upsilon_3 = \thinspace $$ F \cdot \dfrac{\upsilon_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$ 880 \thinspace \text{Вт}$
Коефiцiєнт корисної дiї
Робота будь-якого механiзму базується на перетвореннi своєї енергiї в певну потрiбну. Наприклад, робота вантажного крана – перетворення електричної енергiї на механiчну (пiдняття вантажу на певну висоту). Робота двигуна автомобiля – перетворення його енергiї на кiнетичну енергiю автомобiля, що, в свою чергу, є виконанням роботи з перемiщення автiвки. Враховуючи/через певні чинники, такі як сила тертя, опору тощо, жоден механiзм не може повністю (без втрат) перетворити свою енергiю на здiйснення певної роботи. Саме тому i виникла потреба у визначеннi коефiцiєнта корисної дiї (ККД) механiзма.
ВизначенняКоефiцiєнт корисної дiї (ККД) – вiдношення корисної роботи/потужностi до повної витраченої роботи/потужностi. Втрати є в будь-якому механiзмi, корисна робота завжди меньша від витраченої.
$\eta \thinspace $$= \dfrac{A_к}{A_з} = \thinspace $$ \dfrac{P_к}{P_з}

Приклади

Для кожного з прикладiв маємо задачу: пiдняти вантаж $m = 200$ кг на висоту $h = 10$ метрів.
  1. 1.
    Маємо вантажний кран з ККД $= 70 \%$. Потужнiсть крана $1.5$ кВт. За який час кран зможе пiдняти вантаж на потрiбну висоту?
  2. 2.
    Передусiм, щораз у задачах на ККД потрiбно чiтко розiбратися з тим, що тут корисна робота/потужність, а що — витрачена робота/потужність. У цьому разi корисна робота – це робота з пiднімання вантажу на висоту $h$.Витрачена робота – та, яку виконав кран.
  3. 3.
    $A_к = \thinspace $$ mgh \Rightarrow \thinspace $$ P_к = \thinspace $$ \dfrac{mgh}{t}$
  4. 4.
    Витрачена потужнiсть (потужнiсть крана) дана в умовi: $P_З = 1.5$ кВт.
  5. 5.
    $\eta = \thinspace $$ \dfrac{P_к}{P_з} = \thinspace $$ \dfrac{mgh}{t \cdot P_з} \Rightarrow \thinspace $$ t = \thinspace $$ \dfrac{mgh}{\eta \cdot P_з} = \thinspace $$ \dfrac{200 \cdot 9.8 \cdot 10}{0.7 \cdot 1.5 \cdot 10^3} \approx \thinspace $$ 18.7 \thinspace \text{c} $
  6. 6.
    Для рiвномiрного пiднімання вантажу на висоту $h$ використовують похилу площину. Кут нахилу – $\alpha = 30^\circ$. Коефiцiєнт тертя $\mu = 0.4$. Чому дорiвнює ККД похилої площини?
  7. 7.
  8. 8.
    Корисна робота – робота з пiднімання вантажу на висоту $h: \ A_к = mgh$. Можемо виразити висоту $h$ через довжину похилої площини $l$ та синус кута $\alpha: \ A_к = \thinspace $$ mgl \sin \alpha$. Витрачена робота – робота сили $F$ з перемiщення тiла вздовж похилої площини: $A_з = \thinspace $$ Fl$. Щоб тiло рухалось рiвномiрно, сума всiх прикладених сил повинна дорiвнювати нулеві.
  9. 9.
    $Oy \ : \ N - mg \cos \alpha = \thinspace $$ 0 \Rightarrow \thinspace $$ N = \thinspace $$ mg \cos \alpha; \ F_Т = \thinspace $$ \mu N = \thinspace $$ \mu mg \cos \alpha$
  10. 10.
    $Ox \ : \ F - F_Т - mg \sin \alpha = \thinspace $$ 0 \Rightarrow \thinspace $$ F = \thinspace $$ F_Т + mg \sin \alpha = \thinspace $$ \mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha$
  11. 11.
    $F = \thinspace $$ mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$
  12. 12.
    Витрачена робота:
  13. 13.
  14. 14.
  15. 15.
    $A_з = \thinspace $$ Fl = \thinspace $$ mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$
  16. 16.
    Тепер можемо отримати ККД:
  17. 17.
  18. 18.
  19. 19.
    $\eta = \thinspace $$ \dfrac{A_к}{A_з} = \thinspace $$ \dfrac{mgl \sin \alpha}{mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)} = \thinspace $$ \dfrac{\sin \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} = \thinspace $$ \dfrac{\dfrac{1}{2}}{0.4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} \approx \thinspace $$ 0.6 = \thinspace $$ 60 \%$
Copy link