# Закон збереження механiчної енергiї Тепер, комбiнуючи знання про роботу та види енергiй, ми з легкiстю дійдемо до поняття повної механiчної енергiї. Знову звернімося до прикладу з силою тяжiння: Тiло рухається пiд дiєю сили тяжiння. На висотi $$h\_1$$ має швидкiсть $$\upsilon\_1$$, на висотi $$h\_2$$ – $$\upsilon\_2$$. * Згiдно з теоремою про кiнетичну енергiю (підрозділ $$7.2.1$$), робота, яку виконує сила тяжiння, дорiвнює рiзницi кiнетичних енергiй тiла в кiнцевому та початковому станах: * $$A =$$$$ E\_{К2} - E\_{К1} =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2}$$$$ - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2}$$ * Роботу сили тяжiння можна одержати i за допомогою потенцiальної енергiї (попереднiй підрозділ). Тут навпаки: початковий стан – кiнцевий: * $$A =$$$$ E\_{П2} - E\_{П1} =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2$$ Прирiвнявши вирази для роботи, маємо: | $$\dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2 \Rightarrow $$$$ \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} + mgh\_1 =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} + mgh\_2$$ | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Визначення**Повна механiчна енергiя** – сума потенцiальної енергiї та кiнетичної енергiй тiла. $$E =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2} + mgh$$ **Повна механiчна енергiя системи тiл** – це сума повних енергiй усiх тiл, що входять у систему. **Закон збереження повної механiчної енергiї**: У полi консервативних сил сума кiнетичної та потенцiальної енергiй залишається постiйною. $$E\_1 =$$$$ E\_2 =$$$$ E =$$$$ const$$ Задача 2 **АМЕРИКАНСЬКI ГIРКИ**Вiзок американських гiрок починає зiсковзувати з висоти $$H$$ з нульовою початковою швидкiстю. На якiй висотi $$h$$ візок матиме швидкiсть рiвно втричі меншу, нiж у найнижчiй точцi? Для розрахункiв силою тертя мiж вiзком та гiркою можна знехтувати. Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG8_rhk9K-1esIfP)![](/files/-LWNRG8bN_GYDI2ULUn1)**Розв’язання.**Для початку розпишімо повну механiчну енергiю для кожної з точок. 1. В умовi сказано, що початкова швидкiсть нульова $$\rightarrow E\_{К1} =$$$$ 0$$. Натомiсть вiзок розташований на висотi $$H$$ вiд нульового рiвня, який вiдповiдає найнижчiй точцi (наш вибiр). Отже, потенцiальна енергiя: $$E\_П =$$$$ mgH$$, а повна енергiя:$$E\_1 =$$$$ E\_П =$$$$ mgH$$ 2. У найнижчiй точцi (нульовий рiвень) потенцiальна енергiя дорiвнює нулеві: $$E\_П =$$$$ 0$$. З iншого боку, саме в цiй точцi вiзок набуває максимальної швидкостi, адже вся потенцiальна енергiя перейшла в кiнетичну. Повна енергiя:$$E\_2 =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2}$$ 3. У третiй точцi вiзок має i кiнетичну, i потенцiальну енергiю. Повна енергiя:$$E\_3 =$$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon\_3^2}{2}$$ Визначмо швидкiсть вiзка у другiй точцi, використовуючи закон збереження повної механiчної енергiї: $$E\_1 =$$$$ E\_2 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} \Rightarrow $$$$ \upsilon\_2 = $$$$ \sqrt{2gH}$$ З умови в третiй точцi швидкiсть утричі менша за швидкiсть у другiй точцi: $$\upsilon\_3 =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2}{3} =$$$$ \dfrac{\sqrt{2gH}}{3}$$. Скористаймось законом збереження енергiї для першого та третього випадку (могли i для другого та третього): $$E\_1 =$$$$ E\_3 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon\_3^2}{2} \Rightarrow $$$$ h = $$$$ \dfrac{gH - \dfrac{\upsilon\_3^2}{2}}{g}$$ Пiдставимо $$\upsilon\_3$$, яку одержали вище: | $$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$ | | -------------------------------------------------- | **Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG8d3RjSgUuRZmmP) | $$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$ | | -------------------------------------------------- | Задача 3 **МЕРТВА ПЕТЛЯ**Вiзок на американських гiрках починає зiсковзувати вниз з нульовою початковою швидкiстю. Попереду його чекає мертва петля. З якої мiнiмальної висоти $$H\_{min}$$ можна вiдпустити вiзок, щоб вiн все ж таки здiйснив повний оберт у петлi? Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG8fhZdISEgwxo84)![](/files/-LWNRG8hfa4tQf_ehrfq)**Розв’язок.**Для початку порахуймо, має бути мiнiмальна лiнiйна швидкiсть вiзка, щоб вiн не «вiдiрвався» у верхнiй точцi. Ми це робили, розглядаючи динаміку руху тiла по колу, але згадаймо ще раз. У верхнiй точцi на вiзок дiють двi сили: сила тяжiння $$mg$$ та сила реакцiї опори $$N$$. Обидвi – вертикально вниз. Вiзок вiдiрветься в той момент, коли сила реакцiї опори стане рiвною нулеві: це означатиме, що вiзок нiяк не тисне на опору. Доцентрове прискорення у верхнiй точцi також спрямоване вертикально вниз. Другий закон Ньютона: $$mg + N = $$$$ m a\_д \quad $$$$ | \thinspace N \ge 0 \thinspace | $$$$ \quad m a\_д \ge mg$$ $$a\_д = $$$$ \dfrac{\upsilon^2}{R} \Rightarrow \upsilon^2 \ge gR$$ Тепер можемо скористатися законом збереження повної механiчної енергiї. Повна енергiя на висотi $$H$$ з нульовою швидкiстю: $$E =$$$$ mgH$$ Повна енергiя у верхнiй точцi мертвої петлi на висотi $$2R$$ зі швидкістю $$\upsilon$$: $$E = $$$$ 2mgR + \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$ Пiдставмо мiнiмальну отриману мiнiмальну швидкiсть, яку одержали, та прирiвняємо повнi енергiї: $$mgH\_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H\_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$ **Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG8j-o-6knYzwZQW)$$mgH\_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H\_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$ --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://physics.ed-era.com/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/zakon_zberezhennya_mehanichno_energi.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.