> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/zakon_zberezhennya_mehanichno_energi.md).

# Закон збереження механiчної енергiї

Тепер, комбiнуючи знання про роботу та види енергiй, ми з легкiстю дійдемо до поняття повної механiчної енергiї. Знову звернімося до прикладу з силою тяжiння:

Тiло рухається пiд дiєю сили тяжiння. На висотi $$h\_1$$ має швидкiсть $$\upsilon\_1$$, на висотi $$h\_2$$ – $$\upsilon\_2$$.

*  Згiдно з теоремою про кiнетичну енергiю (підрозділ $$7.2.1$$), робота, яку виконує сила тяжiння, дорiвнює рiзницi кiнетичних енергiй тiла в кiнцевому та початковому станах:
* $$A =$$$$ E\_{К2} - E\_{К1} =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2}$$$$ - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2}$$
*  Роботу сили тяжiння можна одержати i за допомогою потенцiальної енергiї (попереднiй підрозділ). Тут навпаки: початковий стан – кiнцевий:
* $$A =$$$$ E\_{П2} - E\_{П1} =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2$$

Прирiвнявши вирази для роботи, маємо:

| $$\dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2 \Rightarrow $$$$ \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} + mgh\_1 =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} + mgh\_2$$ |
| -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

 Визначення**Повна механiчна енергiя** – сума потенцiальної енергiї та кiнетичної енергiй тiла.

$$E =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2} + mgh$$

**Повна механiчна енергiя системи тiл** – це сума повних енергiй усiх тiл, що входять у систему.

**Закон збереження повної механiчної енергiї**: У полi консервативних сил сума кiнетичної та потенцiальної енергiй залишається постiйною.

$$E\_1 =$$$$ E\_2 =$$$$ E =$$$$ const$$

 Задача 2 **АМЕРИКАНСЬКI ГIРКИ**Вiзок американських гiрок починає зiсковзувати з висоти $$H$$ з нульовою початковою швидкiстю. На якiй висотi $$h$$ візок матиме швидкiсть рiвно втричі меншу, нiж у найнижчiй точцi? Для розрахункiв силою тертя мiж вiзком та гiркою можна знехтувати.

 Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG8_rhk9K-1esIfP)![](/files/-LWNRG8bN_GYDI2ULUn1)**Розв’язання.**Для початку розпишімо повну механiчну енергiю для кожної з точок.

1.  В умовi сказано, що початкова швидкiсть нульова $$\rightarrow E\_{К1} =$$$$ 0$$. Натомiсть вiзок розташований на висотi $$H$$ вiд нульового рiвня, який вiдповiдає найнижчiй точцi (наш вибiр). Отже, потенцiальна енергiя: $$E\_П =$$$$ mgH$$, а повна енергiя:$$E\_1 =$$$$ E\_П =$$$$ mgH$$
2.  У найнижчiй точцi (нульовий рiвень) потенцiальна енергiя дорiвнює нулеві: $$E\_П =$$$$ 0$$. З iншого боку, саме в цiй точцi вiзок набуває максимальної швидкостi, адже вся потенцiальна енергiя перейшла в кiнетичну. Повна енергiя:$$E\_2 =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2}$$
3.  У третiй точцi вiзок має i кiнетичну, i потенцiальну енергiю. Повна енергiя:$$E\_3 =$$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon\_3^2}{2}$$

Визначмо швидкiсть вiзка у другiй точцi, використовуючи закон збереження повної механiчної енергiї:

$$E\_1 =$$$$ E\_2 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} \Rightarrow $$$$ \upsilon\_2 = $$$$ \sqrt{2gH}$$

З умови в третiй точцi швидкiсть утричі менша за швидкiсть у другiй точцi: $$\upsilon\_3 =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2}{3} =$$$$ \dfrac{\sqrt{2gH}}{3}$$. Скористаймось законом збереження енергiї для першого та третього випадку (могли i для другого та третього):

$$E\_1 =$$$$ E\_3 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon\_3^2}{2} \Rightarrow $$$$ h = $$$$ \dfrac{gH - \dfrac{\upsilon\_3^2}{2}}{g}$$

Пiдставимо $$\upsilon\_3$$, яку одержали вище:

| $$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$ |
| -------------------------------------------------- |

**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG8d3RjSgUuRZmmP)

| $$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$ |
| -------------------------------------------------- |

 Задача 3 **МЕРТВА ПЕТЛЯ**Вiзок на американських гiрках починає зiсковзувати вниз з нульовою початковою швидкiстю. Попереду його чекає мертва петля. З якої мiнiмальної висоти $$H\_{min}$$ можна вiдпустити вiзок, щоб вiн все ж таки здiйснив повний оберт у петлi?

 Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG8fhZdISEgwxo84)![](/files/-LWNRG8hfa4tQf_ehrfq)**Розв’язок.**Для початку порахуймо, має бути мiнiмальна лiнiйна швидкiсть вiзка, щоб вiн не «вiдiрвався» у верхнiй точцi. Ми це робили, розглядаючи динаміку руху тiла по колу, але згадаймо ще раз. У верхнiй точцi на вiзок дiють двi сили: сила тяжiння $$mg$$ та сила реакцiї опори $$N$$. Обидвi – вертикально вниз. Вiзок вiдiрветься в той момент, коли сила реакцiї опори стане рiвною нулеві: це означатиме, що вiзок нiяк не тисне на опору. Доцентрове прискорення у верхнiй точцi також спрямоване вертикально вниз. Другий закон Ньютона:

$$mg + N = $$$$ m a\_д \quad $$$$ | \thinspace N \ge 0 \thinspace | $$$$ \quad m a\_д \ge mg$$

$$a\_д = $$$$ \dfrac{\upsilon^2}{R} \Rightarrow \upsilon^2 \ge gR$$

Тепер можемо скористатися законом збереження повної механiчної енергiї. Повна енергiя на висотi $$H$$ з нульовою швидкiстю:

$$E =$$$$ mgH$$

Повна енергiя у верхнiй точцi мертвої петлi на висотi $$2R$$ зі швидкістю $$\upsilon$$:

$$E = $$$$ 2mgR + \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$

Пiдставмо мiнiмальну отриману мiнiмальну швидкiсть, яку одержали, та прирiвняємо повнi енергiї:

$$mgH\_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H\_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$

**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG8j-o-6knYzwZQW)$$mgH\_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H\_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$