Закон збереження механiчної енергiї
Тепер, комбiнуючи знання про роботу та види енергiй, ми з легкiстю дійдемо до поняття повної механiчної енергiї. Знову звернімося до прикладу з силою тяжiння:
Тiло рухається пiд дiєю сили тяжiння. На висотi $h_1$ має швидкiсть $\upsilon_1$, на висотi $h_2$ – $\upsilon_2$.
  • Згiдно з теоремою про кiнетичну енергiю (підрозділ $7.2.1$), робота, яку виконує сила тяжiння, дорiвнює рiзницi кiнетичних енергiй тiла в кiнцевому та початковому станах:
  • $A =$$ E_{К2} - E_{К1} =$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2}$$ - \dfrac{m \upsilon_1^2}{2}$
  • Роботу сили тяжiння можна одержати i за допомогою потенцiальної енергiї (попереднiй підрозділ). Тут навпаки: початковий стан – кiнцевий:
  • $A =$$ E_{П2} - E_{П1} =$$ mgh_1 - mgh_2$
Прирiвнявши вирази для роботи, маємо:
$\dfrac{m \upsilon_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon_1^2}{2} =$$ mgh_1 - mgh_2 \Rightarrow $$ \dfrac{m \upsilon_1^2}{2} + mgh_1 =$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2} + mgh_2$
ВизначенняПовна механiчна енергiя – сума потенцiальної енергiї та кiнетичної енергiй тiла.
$E =$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2} + mgh$
Повна механiчна енергiя системи тiл – це сума повних енергiй усiх тiл, що входять у систему.
Закон збереження повної механiчної енергiї: У полi консервативних сил сума кiнетичної та потенцiальної енергiй залишається постiйною.
$E_1 =$$ E_2 =$$ E =$$ const$
Задача 2 АМЕРИКАНСЬКI ГIРКИВiзок американських гiрок починає зiсковзувати з висоти $H$ з нульовою початковою швидкiстю. На якiй висотi $h$ візок матиме швидкiсть рiвно втричі меншу, нiж у найнижчiй точцi? Для розрахункiв силою тертя мiж вiзком та гiркою можна знехтувати.
Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати
Розв’язання.Для початку розпишімо повну механiчну енергiю для кожної з точок.
  1. 1.
    В умовi сказано, що початкова швидкiсть нульова $\rightarrow E_{К1} =$$ 0$. Натомiсть вiзок розташований на висотi $H$ вiд нульового рiвня, який вiдповiдає найнижчiй точцi (наш вибiр). Отже, потенцiальна енергiя: $E_П =$$ mgH$, а повна енергiя:$E_1 =$$ E_П =$$ mgH$
  2. 2.
    У найнижчiй точцi (нульовий рiвень) потенцiальна енергiя дорiвнює нулеві: $E_П =$$ 0$. З iншого боку, саме в цiй точцi вiзок набуває максимальної швидкостi, адже вся потенцiальна енергiя перейшла в кiнетичну. Повна енергiя:$E_2 =$$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2}$
  3. 3.
    У третiй точцi вiзок має i кiнетичну, i потенцiальну енергiю. Повна енергiя:$E_3 =$$ mgh + \dfrac{m \upsilon_3^2}{2}$
Визначмо швидкiсть вiзка у другiй точцi, використовуючи закон збереження повної механiчної енергiї:
$E_1 =$$ E_2 \Rightarrow $$ mgH = $$ \dfrac{m \upsilon_2^2}{2} \Rightarrow $$ \upsilon_2 = $$ \sqrt{2gH}$
З умови в третiй точцi швидкiсть утричі менша за швидкiсть у другiй точцi: $\upsilon_3 =$$ \dfrac{\upsilon_2}{3} =$$ \dfrac{\sqrt{2gH}}{3}$. Скористаймось законом збереження енергiї для першого та третього випадку (могли i для другого та третього):
$E_1 =$$ E_3 \Rightarrow $$ mgH = $$ mgh + \dfrac{m \upsilon_3^2}{2} \Rightarrow $$ h = $$ \dfrac{gH - \dfrac{\upsilon_3^2}{2}}{g}$
Пiдставимо $\upsilon_3$, яку одержали вище:
$h = $$ H - \dfrac{H}{9} = $$ \dfrac{8H}{9}$
Вiдповiдь.
$h = $$ H - \dfrac{H}{9} = $$ \dfrac{8H}{9}$
Задача 3 МЕРТВА ПЕТЛЯВiзок на американських гiрках починає зiсковзувати вниз з нульовою початковою швидкiстю. Попереду його чекає мертва петля. З якої мiнiмальної висоти $H_{min}$ можна вiдпустити вiзок, щоб вiн все ж таки здiйснив повний оберт у петлi?
Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати
Розв’язок.Для початку порахуймо, має бути мiнiмальна лiнiйна швидкiсть вiзка, щоб вiн не «вiдiрвався» у верхнiй точцi. Ми це робили, розглядаючи динаміку руху тiла по колу, але згадаймо ще раз. У верхнiй точцi на вiзок дiють двi сили: сила тяжiння $mg$ та сила реакцiї опори $N$. Обидвi – вертикально вниз. Вiзок вiдiрветься в той момент, коли сила реакцiї опори стане рiвною нулеві: це означатиме, що вiзок нiяк не тисне на опору. Доцентрове прискорення у верхнiй точцi також спрямоване вертикально вниз. Другий закон Ньютона:
$mg + N = $$ m a_д \quad $$ | \thinspace N \ge 0 \thinspace | $$ \quad m a_д \ge mg$
$a_д = $$ \dfrac{\upsilon^2}{R} \Rightarrow \upsilon^2 \ge gR$
Тепер можемо скористатися законом збереження повної механiчної енергiї. Повна енергiя на висотi $H$ з нульовою швидкiстю:
$E =$$ mgH$
Повна енергiя у верхнiй точцi мертвої петлi на висотi $2R$ зі швидкістю $\upsilon$:
$E = $$ 2mgR + \dfrac{m \upsilon^2}{2}$
Пiдставмо мiнiмальну отриману мiнiмальну швидкiсть, яку одержали, та прирiвняємо повнi енергiї:
$mgH_{min} =$$ 2mgR =$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H_{min} =$$ \dfrac{5gR}{2}$
Вiдповiдь.
$mgH_{min} =$$ 2mgR =$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H_{min} =$$ \dfrac{5gR}{2}$
Last modified 3yr ago
Copy link