Робота сили пружностi

Нехай ми утримуємо пружину в розтягнутою. Для цього, згiдно з другим законом Ньютона:
$$F_П = F$$
Тепер ми вiдпускаємо пружину, i вона пiд дiєю сили пружностi повертається в стан рівноваги $$x = 0$$. Яку роботу виконує сила пружностi?
Сила пружностi залежить вiд видовження $$x$$:
$$F_П = -kx$$
"–", тому що вiсь $$x$$ спрямована в протилежний бік від дiї сили пружностi. З iншої сторони напрямлена вздовж вектора перемiщення. Отже, робота – додатня, але як її вирахувати? Просто перемножити силу $$kx$$ на модуль перемiщення $$x$$ ми не можемо, оскількия сила змiнна i в кожнiй точцi набуває різних значень.
Зобразімо модуль сили $$kx$$ на графіку $$F(x)$$:
Як вже було значено, робота дорiвнює площi фiгури пiд графiком $$F(x)$$. За умови видовження на вiдстань $$x$$ маємо трикутник з основою рiвною $$x$$, висотою – $$kx$$. Площа трикутника дорiвнює висотi, помноженiй на основу i подiленiй на 2.
Отже, коли сила пружностi спiвнапрямлена з напрямком змiни видовження, вона виконує додатню роботу, яка рiвна $$\dfrac{kx^2}{2}$$.
Ось iнша ситуацiя: ми прикладаємо силу $$F$$, щоб видовжити пружину на $$x$$. Сила пружностi в такому випадку спрямована протилежно до вектора перемiщення. Отже, робота сили пружностi буде вiд’ємна:
$$A_П = - \dfrac{kx^2}{2}$$