Дальність польоту, максимальна висота, час падіння

Розглянемо наведену вище задачу. Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon_0$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Виведімо формули для дальностi польоту $$L,$$ максимальної висоти пiдйому $$H,$$ часу пiдняття на максимальну висоту $$t^\prime$$ й запишімо рівняння руху та проекцій швидкостей.

Запишемо рiвняння руху та проекцiй швидкостей. Проекцiя на вiсь . Система координат обрана таким чином, що x0=0x_0 = 0. У напрямку осi xx швидкiсть постiйна i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Проекцiя початкової швидкостi υ0x=υ0cosα.\upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha.

{x=υ0cosαtυx=υ0cosα\begin{cases} x = \upsilon_0 \cos \alpha \cdot t \\ \upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha \end{cases}

Проекцiя на вiсь . Система координат обрана таким чином, що y0=0y_0 = 0. У напрямку осі yy швидкiсть змiнна, на неї впливає прискорення g\vec{g}, спрямоване протилежно до напрямку вiсi. Проекцiя початкової швидкостi υ0y=υ0sinα.\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha.

$$\begin{cases} y = \upsilon_0 \sin \alpha \cdot t - \dfrac{gt^2}{2}\\ \upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt \end{cases}$$

  1. Час польоту i час пiдняття тiла.

  2. Дальнiсть польоту $$L$$ дорiвнює координатi $$x$$ в той момент, коли координата $$y = 0$$ (в момент приземлення тiла). Прирiвнявши $$y(t) = 0$$, можна вiднайти час польоту тiла $$T.$$

  3. $$0 = \upsilon_0 \sin \alpha · T - \dfrac{gT^2}{2}$$

  4. $$T(\dfrac{g}{2}T - \upsilon_0 \sin \alpha) =$$$$ 0 \Rightarrow \dfrac{g}{2}T - v_0 \sin \alpha $$$$= 0$$

  5. Час польоту тiла:

  6. Ми з вами в попередньому розділі доводили те, що час пiдняття тiла дорiвнює часові спуску. Отже, час пiдняття дорiвнює половинi часу польоту тiла.

  7. Час пiдняття тiла:

  8. Дальнiсть польоту тiла.

  9. Як вже було зазначено у попередньому пунктi, $$L = x(t) = \upsilon_0 \cos \alpha \cdot T$$. Пiдставивши час польоту $$T$$ iз попереднього пункту, отримаємо:

  10. $$L = \dfrac{2 v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$$

  11. Iз тригонометрiї: $$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha.$$

  12. Максимальна висота.

  13. Максимальна висота $$H$$ – координата $$y$$ в момент часу $$t = t'$$ (час пiдйому).

  14. $$H = y(t^\prime) = \upsilon_0 \sin \alpha \cdot t^\prime - \dfrac{gt'^2}{2}$$

  15. Пiдставимо $$t^\prime = \dfrac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}$$ iз попереднього пункту:

  16. $$H - \dfrac{\upsilon_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \dfrac{\upsilon_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$

  17. Максимальна висота:

Задача 2 ПЕТРО ТА ГАРМАТА

Петро знайшов на подвір'ї $$152$$-мм гаубицю, взяв із собою та повiз у велике поле, де можна безпечно розважатися з такою «iграшкою». Спершу, він націлив гармату пiд кутом $$30^\circ$$, вистрiлив i виміряв час польоту снаряда $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$ Маючи цi данi, вiн вирахував швидкiсть снаряда. Потiм Петро вистрiлив пiд кутами $$60^\circ$$ та $$45^\circ$$ i порiвняв дальностi польотів снарядiв кожного з трьох кутiв, пiд якими стрiляв. Вiн визначив кут із найбільшою дальністю, а потiм в загальному випадку довiв, що саме за такого кута дальнiсть польоту має бути максимальна. Для цього ж кута Петро також визначив максимальну висоту пiдняття снаряда. Задоволений даними, які одержав, вiн забрав гармату додому. Що ж, відтворімо експеримент Петра.

Тіло кинули під кутом $$50^\circ$$ та воно пролетіло певну відстань. Під яким ще кутом можна кинути тіло, щоб воно пролетіло таку саму відстань? $$30^\circ$$ $$35^\circ$$ $$40^\circ$$ $$60^\circ$$

Користуючись тригонометричною формулою зведення: $$\sin 2 \cdot 50^\circ =$$$$ \sin 100^\circ =$$$$ \cos 10^\circ =$$$$ \sin 80^\circ \Rightarrow \sin 2 \alpha =$$$$ 80^\circ \Rightarrow$$$$ \sin \alpha = 40^\circ .$$

Last updated