Фізика: Класична механіка
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Одновимірна кінематика
    • Механічний рух
    • Основні поняття одновимірної кінематики
    • Рівномірний прямолінійний рух
      • Вiдноснiсть швидкостей та перемiщень
      • Проекцiя вектора
      • Рiвняння руху
      • Проекцiя швидкостi та перемiщення
      • Середня швидкiсть
    • Рiвноприскорений прямолiнiйний рух
      • Миттєва швидкiсть
      • Прискорення та гальмування
      • Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху
    • Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння
  • Двовимірна кінематика
    • Характер двовимірного руху
    • Проекції швидкості
    • Практична частина
      • Дальність польоту, максимальна висота, час падіння
      • Тіло, що кинуте горизонтально
    • Градуси та радіани
    • Криволінійний рух
      • Тангенціальне та доцентрове прискорення
      • Загальна характеристика криволінійного руху
      • Рівномірний рух по колу
      • Виведення. Доцентрове прискорення (додатково)
      • Важливі приклади
  • Концепція сили
    • Інертність та маса
    • Сила: рівнодійна сила
    • Перший закон Ньютона
    • Другий закон Ньютона та сила тяжіння
    • Третій закон Ньютона
    • Реакцiя опори та пiдвiсу
    • Сила реакції опори та вага
    • Приклади. Рух у ліфті
      • Система тіл, що з'єднанні ниткою
    • Сила пружності та закон Гука
    • Послідовне та паралельне з'єднання пружин
  • Сила тертя
    • Сила тертя спокою
    • Сила тертя ковзання
      • Тiло на вертикальнiй стiнцi
    • Тiло на похилiй площинi
  • Динамiка та статика
    • Сили, що створюють доцентрове прискорення
      • Сила натягу нитки
      • Сила тиску
      • Сила тертя
    • Статика та умови рiвноваги
      • Перша умова рiвноваги
      • Друга умова рiвноваги та момент сили
    • Центр тяжiння та центр мас
    • Стiйкiсть рiвноваги
  • Iмпульс, робота, потужнiсть
    • Механiчна робота
      • Геометричний змiст роботи
      • Робота сили тяжiння
      • Робота сили пружностi
    • Робота та енергiя
      • Кiнетична енергiя
      • Консервативнi та неконсервативнi сили
      • Потенцiальна енергiя
      • Закон збереження механiчної енергiї
    • Потужнiсть та ККД
    • Iмпульс та його зв’язок з силою
      • Імпульс тіла і другий закон Ньютона
      • Закон збереження iмпульсу
    • Імпульс та кінетична енергія
      • Закони збереження, пружні та непружні зіткнення
      • Абсолютно пружне зіткнення
      • Абсолютно непружне зіткнення
      • Зіткнення у двох вимірах
  • Закон Всесвітнього тяжіння
    • Застосування закону збереження та розгляд Закону Всесвiтнього тяжiння
    • Супутники
    • Перша та друга космiчнi швидкостi
  • Механіка рідин та газів
    • Тиск
    • Атмосферний тиск
    • Закон Паскаля
    • Сполученi посудини
    • Закон Архiмеда
    • Закон Бернуллi
  • Додаток
    • Вектори
      • Рівність векторів
      • Координати векторів
      • Операції над векторами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Двовимірна кінематика
  2. Практична частина

Дальність польоту, максимальна висота, час падіння

PreviousПрактична частинаNextТіло, що кинуте горизонтально

Last updated 6 years ago

Was this helpful?

Розглянемо наведену вище задачу. Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon_0$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Виведімо формули для дальностi польоту $$L,$$ максимальної висоти пiдйому $$H,$$ часу пiдняття на максимальну висоту $$t^\prime$$ й запишімо рівняння руху та проекцій швидкостей.

Запишемо рiвняння руху та проекцiй швидкостей. Проекцiя на вiсь . Система координат обрана таким чином, що x0=0x_0 = 0x0​=0. У напрямку осi xxx швидкiсть постiйна i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Проекцiя початкової швидкостi υ0x=υ0cos⁡α.\upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha.υ0x​=υ0​cosα.

{x=υ0cos⁡α⋅tυx=υ0cos⁡α\begin{cases} x = \upsilon_0 \cos \alpha \cdot t \\ \upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha \end{cases}{x=υ0​cosα⋅tυx​=υ0​cosα​

$$\begin{cases} y = \upsilon_0 \sin \alpha \cdot t - \dfrac{gt^2}{2}\\ \upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt \end{cases}$$

  1. Час польоту i час пiдняття тiла.

  2. Дальнiсть польоту $$L$$ дорiвнює координатi $$x$$ в той момент, коли координата $$y = 0$$ (в момент приземлення тiла). Прирiвнявши $$y(t) = 0$$, можна вiднайти час польоту тiла $$T.$$

  3. $$0 = \upsilon_0 \sin \alpha · T - \dfrac{gT^2}{2}$$

  4. $$T(\dfrac{g}{2}T - \upsilon_0 \sin \alpha) =$$$$ 0 \Rightarrow \dfrac{g}{2}T - v_0 \sin \alpha $$$$= 0$$

  5. Час польоту тiла:

  6. Ми з вами в попередньому розділі доводили те, що час пiдняття тiла дорiвнює часові спуску. Отже, час пiдняття дорiвнює половинi часу польоту тiла.

  7. Час пiдняття тiла:

  8. Дальнiсть польоту тiла.

  9. Як вже було зазначено у попередньому пунктi, $$L = x(t) = \upsilon_0 \cos \alpha \cdot T$$. Пiдставивши час польоту $$T$$ iз попереднього пункту, отримаємо:

  10. $$L = \dfrac{2 v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$$

  11. Iз тригонометрiї: $$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha.$$

  12. Максимальна висота.

  13. Максимальна висота $$H$$ – координата $$y$$ в момент часу $$t = t'$$ (час пiдйому).

  14. $$H = y(t^\prime) = \upsilon_0 \sin \alpha \cdot t^\prime - \dfrac{gt'^2}{2}$$

  15. Пiдставимо $$t^\prime = \dfrac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}$$ iз попереднього пункту:

  16. $$H - \dfrac{\upsilon_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \dfrac{\upsilon_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$

  17. Максимальна висота:

Задача 2 ПЕТРО ТА ГАРМАТА

Петро знайшов на подвір'ї $$152$$-мм гаубицю, взяв із собою та повiз у велике поле, де можна безпечно розважатися з такою «iграшкою». Спершу, він націлив гармату пiд кутом $$30^\circ$$, вистрiлив i виміряв час польоту снаряда $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$ Маючи цi данi, вiн вирахував швидкiсть снаряда. Потiм Петро вистрiлив пiд кутами $$60^\circ$$ та $$45^\circ$$ i порiвняв дальностi польотів снарядiв кожного з трьох кутiв, пiд якими стрiляв. Вiн визначив кут із найбільшою дальністю, а потiм в загальному випадку довiв, що саме за такого кута дальнiсть польоту має бути максимальна. Для цього ж кута Петро також визначив максимальну висоту пiдняття снаряда. Задоволений даними, які одержав, вiн забрав гармату додому. Що ж, відтворімо експеримент Петра.

Тіло кинули під кутом $$50^\circ$$ та воно пролетіло певну відстань. Під яким ще кутом можна кинути тіло, щоб воно пролетіло таку саму відстань? $$30^\circ$$ $$35^\circ$$ $$40^\circ$$ $$60^\circ$$

Користуючись тригонометричною формулою зведення: $$\sin 2 \cdot 50^\circ =$$$$ \sin 100^\circ =$$$$ \cos 10^\circ =$$$$ \sin 80^\circ \Rightarrow \sin 2 \alpha =$$$$ 80^\circ \Rightarrow$$$$ \sin \alpha = 40^\circ .$$

Проекцiя на вiсь . Система координат обрана таким чином, що y0=0y_0 = 0y0​=0. У напрямку осі yyy швидкiсть змiнна, на неї впливає прискорення g⃗\vec{g}g​, спрямоване протилежно до напрямку вiсi. Проекцiя початкової швидкостi υ0y=υ0sin⁡α.\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha.υ0y​=υ0​sinα.

Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язання.Щоб відтворити експерименти, будемо використовувати формули, я.Швидкiсть снарядаКут $$\alpha = 30^\circ$$, час польоту $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$$$T = \dfrac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$Дальність польотуДальнiсть польоту обраховуємо за формулою:$$L = \dfrac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$(1)$$Для кутiв $$30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$$ вiдповiдно:$$L_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$Порiвнявши, бачимо, що за $$45^\circ$$ дальнiсть польоту найбiльша. Але це була вибiрка з трьох кутiв. У загальному випадку легко показати, що саме за умови, що кут дорівнює $$45^\circ$$, дальнiсть польоту максимальна. $$L$$ у формулi $$(1)$$ буде максимальна, якщо $$\sin 2 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ.$$Максимальна висотаМаємо кут $$\alpha = 45^\circ$$ та формулу для визначення максимальної висоти:$$H = \dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$Вiдповiдь.Швидкiсть снаряда$$T = \dfrac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$Дальність польоту$$L = \dfrac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$L_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$Максимальна висота$$H = \dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$