> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina/5dalnst_polotu-_maksimalna_visota-_chas_padnnya.md).
# Дальність польоту, максимальна висота, час падіння
Розглянемо наведену вище задачу. Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon\_0$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Виведімо формули для дальностi польоту $$L,$$ максимальної висоти пiдйому $$H,$$ часу пiдняття на максимальну висоту $$t^\prime$$ й запишімо рівняння руху та проекцій швидкостей.
\
Запишемо рiвняння руху та проекцiй швидкостей. \
\
**Проекцiя на вiсь .** Система координат обрана таким чином, що $$x\_0 = 0$$. У напрямку осi $$x$$ швидкiсть постiйна i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Проекцiя початкової швидкостi $$\upsilon\_{0x} = \upsilon\_0 \cos \alpha.$$
$$
\begin{cases}
x = \upsilon\_0 \cos \alpha \cdot t \\
\upsilon\_x = \upsilon\_0 \cos \alpha
\end{cases}
$$
\
**Проекцiя на вiсь .** Система координат обрана таким чином, що $$y\_0 = 0$$. У напрямку осі $$y$$ швидкiсть змiнна, на неї впливає прискорення $$\vec{g}$$, спрямоване протилежно до напрямку вiсi. Проекцiя початкової швидкостi $$\upsilon\_{0y} = \upsilon\_0 \sin \alpha.$$
$$\begin{cases} y = \upsilon\_0 \sin \alpha \cdot t - \dfrac{gt^2}{2}\\\ \upsilon\_y = \upsilon\_0 \sin \alpha - gt \end{cases}$$
1. **Час польоту i час пiдняття тiла.**
2. Дальнiсть польоту $$L$$ дорiвнює координатi $$x$$ в той момент, коли координата $$y = 0$$ (в момент приземлення тiла). Прирiвнявши $$y(t) = 0$$, можна вiднайти час польоту тiла $$T.$$
3. $$0 = \upsilon\_0 \sin \alpha · T - \dfrac{gT^2}{2}$$
4. $$T(\dfrac{g}{2}T - \upsilon\_0 \sin \alpha) =$$$$ 0 \Rightarrow \dfrac{g}{2}T - v\_0 \sin \alpha $$$$= 0$$
5.
6. **Час польоту тiла:**
7. Ми з вами в попередньому розділі доводили те, що час пiдняття тiла дорiвнює часові спуску. Отже, час пiдняття дорiвнює половинi часу польоту тiла.
8.
9. **Час пiдняття тiла:**
10. **Дальнiсть польоту тiла.**
11. Як вже було зазначено у попередньому пунктi, $$L = x(t) = \upsilon\_0 \cos \alpha \cdot T$$. Пiдставивши час польоту $$T$$ iз попереднього пункту, отримаємо:
12.
13. $$L = \dfrac{2 v\_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$$
14.
15. Iз тригонометрiї: $$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha.$$
16.
17. **Максимальна висота.**
18. Максимальна висота $$H$$ – координата $$y$$ в момент часу $$t = t'$$ (час пiдйому).
19.
20. $$H = y(t^\prime) = \upsilon\_0 \sin \alpha \cdot t^\prime - \dfrac{gt'^2}{2}$$
21.
22. Пiдставимо $$t^\prime = \dfrac{\upsilon\_0 \sin \alpha}{g}$$ iз попереднього пункту:
23.
24. $$H - \dfrac{\upsilon\_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \dfrac{\upsilon\_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$
25.
26.
27. **Максимальна висота:**
\
Задача 2 **ПЕТРО ТА ГАРМАТА**
Петро знайшов на подвір'ї $$152$$-мм гаубицю, взяв із собою та повiз у велике поле, де можна безпечно розважатися з такою «iграшкою». Спершу, він націлив гармату пiд кутом $$30^\circ$$, вистрiлив i виміряв час польоту снаряда $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$ Маючи цi данi, вiн вирахував швидкiсть снаряда. Потiм Петро вистрiлив пiд кутами $$60^\circ$$ та $$45^\circ$$ i порiвняв дальностi польотів снарядiв кожного з трьох кутiв, пiд якими стрiляв. Вiн визначив кут із найбільшою дальністю, а потiм в загальному випадку довiв, що саме за такого кута дальнiсть польоту має бути максимальна. Для цього ж кута Петро також визначив максимальну висоту пiдняття снаряда. Задоволений даними, які одержав, вiн забрав гармату додому. Що ж, відтворімо експеримент Петра.
Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати**Розв’язання.**Щоб відтворити експерименти, будемо використовувати формули, я.**Швидкiсть снаряда**Кут $$\alpha = 30^\circ$$, час польоту $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$$$T = \dfrac{2 \upsilon\_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon\_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$**Дальність польоту**Дальнiсть польоту обраховуємо за формулою:$$L = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$(1)$$Для кутiв $$30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$$ вiдповiдно:$$L\_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$Порiвнявши, бачимо, що за $$45^\circ$$ дальнiсть польоту найбiльша. Але це була вибiрка з трьох кутiв. У загальному випадку легко показати, що саме за умови, що кут дорівнює $$45^\circ$$, дальнiсть польоту максимальна. $$L$$ у формулi $$(1)$$ буде максимальна, якщо $$\sin 2 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ.$$**Максимальна висота**Маємо кут $$\alpha = 45^\circ$$ та формулу для визначення максимальної висоти:$$H = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$**Вiдповiдь.****Швидкiсть снаряда**$$T = \dfrac{2 \upsilon\_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon\_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$**Дальність польоту**$$L = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$L\_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$**Максимальна висота**$$H = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$
Тіло кинули під кутом $$50^\circ$$ та воно пролетіло певну відстань. Під яким ще кутом можна кинути тіло, щоб воно пролетіло таку саму відстань? $$30^\circ$$ $$35^\circ$$ $$40^\circ$$ $$60^\circ$$
Користуючись тригонометричною формулою зведення:\
$$\sin 2 \cdot 50^\circ =$$$$ \sin 100^\circ =$$$$ \cos 10^\circ =$$$$ \sin 80^\circ \Rightarrow \sin 2 \alpha =$$$$ 80^\circ \Rightarrow$$$$ \sin \alpha = 40^\circ .$$