> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/13vazhliv_prikladi.md).

# Важливі приклади

Зараз ми розглянемо два дуже важливi типи завдань з теми рiвномiрного руху по колу та пiдходи до розв’язання таких задач.

**1. Швидкiсть рiзних точок на колесi**

На ЗНО дуже часто трапляються завдання на комбiнування двох видiв руху: поступального та обертального. Важливий факт: якщо точка рухається поступально зi швидкiстю $$\vec{\upsilon\_п}$$ та обертально з лiнiйною швидкiстю $$\vec{\upsilon\_о}$$, то результуюча швидкiсть точки:

$$\vec{\upsilon\_{ }} = \vec{\upsilon\_п} + \vec{\upsilon\_о}$$

**Розгляньмо приклад.** Автомобiль рухається рiвномiрно по горизонтальнiй дорозi **без проковзування** зi швидкiстю $$\vec{\upsilon}$$. Визначити швидкостi вказаних точок.

* Почнімо з **точки крiплення колеса** (вiсь обертання). Оскільки вiсь прикрiплена до автомобiля, то її швидкiсть дорівнює швидкостi автомобiля.

  | $$\upsilon\_о = \upsilon$$ |
  | -------------------------- |
* Тепер розгляньмо **першу точку**![](/files/-LWNRCYX7SXMYpM5PaF9)Швидкiсть цiєї точки складається з лiнiйної швидкостi обертання колеса $$\vec{\upsilon\_{о}}$$, спрямованої ліворуч та поступальної швидкостi $$\vec{\upsilon}$$, спрямованої праворуч:

  | $$\vec{\upsilon\_1} = \vec{\upsilon\_{о}} + \vec{\upsilon\_{ }}$$ |
  | ----------------------------------------------------------------- |

  З iншого боку, не дарма те, що колесо рухається без проковзування, в умовi виокремлено жирним. Це означає, що в системi вiдлiку «Земля» ця точка прив’язана до неї, тобто нерухома. Отже, розглядаючи модулі швидкостей одержуємо:

  | $$\upsilon\_1 = 0 \Rightarrow \vec{\upsilon\_{о}} = \vec{\upsilon\_{ }}$$ |
  | ------------------------------------------------------------------------- |

   $${\Large!}$$ **Важливо пам’ятати:** що якщо точка дотикається до якоїсь поверхнi i при цьому сказано, що вона рухається без проковзування, то швидкiсть цiєї точки дорiвнює швидкостi цiєї поверхнi.
*  **Друга точка.**![](/files/-LWNRCYZMDXB5-Sq4OQw)Швидкостi обертального та поступального руху спрямовані вправо. Також з попереднього пункту ми знаємо, що швидкiсть обертання дорiвнює швидкостi поступального руху:

  | $$\vec{\upsilon\_2} = \vec{\upsilon\_{о}} + \vec{\upsilon\_{ }} \Rightarrow \upsilon\_2 = 2\upsilon$$ |
  | ----------------------------------------------------------------------------------------------------- |
* **Третя точка.**![](/files/-LWNRCYamn9ggLbRvCVK)Швидкiсть обертального руху спрямована вертикально вгору. Швидкiсть поступального руху, як завжди, – праворуч. Векторну суму можна знайти? за правилом паралелограма. Модуль кінцевого/остаточного вектора можна знайти за допомогою теореми Пiфагора:

  | $$\upsilon\_3 = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2} = \upsilon \sqrt{2}$$ |
  | -------------------------------------------------------------------- |
* **Четверта точка.**![](/files/-LWNRCYcjgzWVAipIJRd)Швидкiсть обертального руху спрямована по дотичнiй до поверхнi колеса. Швидкiсть поступального руху – вправо. Iз геометрiї кут мiж векторами $$= 45^\circ$$. За допомогою теореми косинусiв:

  | $$\upsilon\_4 = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2 - 2 \upsilon \cdot \upsilon \cdot \cos (135^\circ)} \approx 1.85v$$ |
  | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
*  **Будь-яка точка.** Результуюча швидкiсть будь-якої точки – це векторна сума швидкостi обертання та поступальної швидкостi. Головне спочатку визначит, куди i яка з цих швидкостей спрямована.

**2. Шкiви та шестернi рiзних радiусiв**

Ще один поширений тип задач стосується з’єднаних механiзмiв, що обертаються. Цi механiзми мають рiзнi радiуси (або у випадку шестерень – рiзну кiлькiсть зубцiв) та, вiдповдно, рiзнi перiоди обертання.

 **Потрiбно розумiти тільки двi речi для вирiшення таких задач:**

* Точки, що обертаються на рiзних тiлах (рiзних радiусiв, наприклад) та поєднанi мiж собою за допомогою дроту (як на цьому рисунку), або перебувають у безпосередньому без проковзування, мають **однакову швидкiсть.**$$\upsilon\_2 = \upsilon\_3 \Rightarrow \dfrac{R\_2}{T\_2} = \dfrac{R\_3}{T\_3}$$ **або** $$R\_2 \nu\_2 = R\_3 \nu\_3$$
*  Частини (наприклад, рiзного радiуса) одного i того самого тiла мають **однаковi кутовi швидкостi,** адже кут повороту за промiжок часу однаковий для всiх точок на тiлi.$$\omega\_3 = \omega\_4 \Rightarrow T\_3 = T\_4$$$$\omega\_1 = \omega\_2 \Rightarrow T\_1 = T\_2$$