Проекції швидкості

Визначення Миттєва швидкiсть спрямована по дотичнiй до траєкторiї в точцi, яку ми розглядаємо.

• Проекцiя на вертикальну вiсь Як вже зазначалося, вздовж вертикальної осі маємо рiвноприскорений рух. У випадку, коли вiсь спрямована вгору (протилежно до напрямку прискорення вiльного падiння):

$$\upsilon_y = \upsilon_{0y} - gt$$

• Проекцiя на горизонтальну вiсь У горизонтальному напрямку маємо рiвномiрний рух. Проекцiя швидкостi не змiнюється протягом всього руху.

$$\upsilon_x = \upsilon_{0x}$$

Із зазначеного вище зрозуміло, що проекцiя швидкостi на вiсь $$y$$ змiнюється протягом усього руху. Наприклад, на рисунку вище у першiй точцi $$\upsilon_y > 0$$, адже кут мiж дотичною та вiссю $$x$$ – гострий. У другiй точцi (верхня точка траєкторiї) $$\upsilon_y=0$$, кут дорiвнює нулеві. У третiй точцi $$\upsilon_y

Знайти кожну з проекцiй у певній точцi можна, знаючи модуль миттєвої швидкостi та кут мiж дотичною та вiссю $$x$$. Наприклад, якщо вiдомо, що тiло кинуто пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту зi швидкiстю $$\upsilon$$.

Iз тригонометричних спiввiдношень у прямокутному трикутнику:

$$\upsilon_x = \upsilon \cos \alpha; \ \upsilon_y = \upsilon \sin \alpha$$

Iз теореми Пiфагора, знаючи проекцiї швидкостi, можемо знайти її модуль:

$$\upsilon = \sqrt{\upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}$$

Кут мiж напрямком швидкостi та вiссю $$x$$ можна визначити також iз тригонометричних спiввiдношень:

$$tg \alpha = \dfrac{\upsilon_y}{\upsilon_x}$$

Задача 1 РОБОТА З ГРАФIКАМИ

Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Напрям вертикальної осi обрано вгору, горизонтальної – вправо. Намалюйте схематично графiки траєкторiї $$y(x)$$, проекцiй швидкостi $$\upsilon_x(t)$$ та $$\upsilon_y(t)$$.

Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язання.Розглянемо кожен графiк: Траєкторiя $$y(x)$$ Траєкторiя руху тiла, кинутого пiд кутом до горизонту, – парабола. Горизонтальна проекцiя швидкостi $$\upsilon_x(t)$$ Горизонтальна складова швидкостi не змiнюється протягом руху i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Під час вибору осей таким чином, як зазначено в умовi, $$\upsilon_{0x} \gt 0$$. Отже, це пряма лiнiя, паралельна осi часу. Вертикальна проекцiя швидкостi $$\upsilon_y(t)$$ Вертикальна складова швидкостi безперервно змiнюється пiд дiєю прискорення вiльного падiння $$\vec{g}$$. Маємо рiвноприскорений рух.$$\upsilon_y = \upsilon_{0y}-gt$$ Під час вибору осей в такий спосіб, як зазначено в умовi, $$\upsilon_{0y} \gt 0$$. З плином часу ця проекцiя стає рiвною нулеві (верхня точка траєкторiї), а потiм проекцiя стає вiд’ємною (рух донизу).Вiдповiдь.

Тіло кинули під кутом $$60^\circ$$ до горизонту. Початкова швидкість дорівнює 30 м/с. Чому дорівнює проекція початкової швидкості на вісь $$x$$? 20 м/с 15 м/с 12 м/с 30 м/с Із тригонометричних співвідношень у трикутнику: $$\upsilon_x =$$$$ \upsilon \thinspace \cos \alpha \Rightarrow$$$$ \upsilon_x = 30 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \thinspace \text{(м/с)}$$

Чому дорівнює проекція початкової швидкості на вісь $$y$$? 20 м/с 25.5 м/с 15 м/с 30 м/с Із тригонометричних співвідношень у трикутнику: $$\upsilon_y =$$$$ \upsilon \thinspace \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \upsilon_y =$$$$ 30 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} =$$$$ 30 \cdot \dfrac{1.7}{2} \approx$$$$ 30 \cdot 0.85 =$$$$ 25.5 \thinspace \text{(м/с)}$$