Прискорення та гальмування

Визначення Рівноприскорений прямолінійний рух – рух, під час якого за будь-які однакові проміжки часу швидкість тіла змінюється на однакові величини.

Прискорення рівноприскореного прямолінійного руху – векторна величина, яка дорівнює відношенню зміни швидкості тіла до проміжку часу, за який ця зміна відбулася: $$\vec{a} = \dfrac{\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon}_0}{\Delta t}$$

У системі SI – $$\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$$

Під час рівноприскореного прямолінійного руху: 1. Прискорення постійне – $\vec{a}=const$ 2. Проекція швидкості – пряма лінія, кут нахилу якої визначає прискорення: $\upsilon_x(t)=\upsilon_{0x}+a_xt$

На рисунку зображено зміну швидкості на $1$ м/с кожної наступної секунди. Побудуймо відповідний графік залежності проекції швидкості від часу $\upsilon_x(t)$:

Початкова швидкість, з якої ми почали розглядати рух $\upsilon_{0x}= 1$ м/с $\rightarrow$ графік починається з точки $(0,1)$. Кут нахилу прямої $\upsilon_x(t)$ визначає прискорення (аналогічно до визначення швидкості із графіку $x(t)$).

Що більший нахил прямої $\boldsymbol \upsilon_x(t)$, то більше прискорення $\boldsymbol a_x$.

Зв’язок з похідною Ви вже помітили схожість у визначенні проекції швидкості, як тангенса кута нахилу прямої $$x(t)$$, з визначенням проекції прискорення, як тангенса кута нахилу прямої $$\upsilon_x(t)$$. Похідна взагалі вказує на швидкість зміни величини. Проекція швидкості – це швидкість зміни координати, а проекція прискорення – це швидкість зміни проекції швидкості. У школі розглядається тільки рівноприскорений рух, але якщо б прискорення було змінним, то знадобилося б означення миттєвого прискорення, аналогічно до миттєвої швидкості, і виражалося б воно так: $$a_x=\lim\limits_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta \upsilon_x}{\Delta t}=\upsilon_x^\prime (t)=x^{\prime \prime}(t)$$ Отже, проекція швидкості – похідна від координати, проекція прискорення – похідна від проекції швидкості. А в курсі математики ви ще ознайомитесь з визначенням другої похідної, тобто «похідної від похідної» (саме це і зображує $$x^{\prime \prime}(t)$$).

Задача 1 РОБОТА З ГРАФІКАМИ

Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиРозв’язання. Розгляньмо кожну ділянку окремо:Перша ($$t_1 = 0 \thinspace \text{c}, t_2 = 3 \thinspace \text{c}$$).Проекція прискорення:\[a_{1x} = -2 \thinspace \dfrac{\text{м}}{\text{c}^2}\]Тоді рівняння швидкості:\[\upsilon_{1x}=\upsilon_{0x}+a_{1x}t=2-2t\]Проекція швидкості через три секунди руху:\[\upsilon_{1x}(3)=-4 \thinspace \dfrac{\text{м}}{\text{c}}\]Друга ($$t_1 = 3 \thinspace \text{c}, t_2 = 5 \thinspace \text{c}$$).Проекція прискорення:\[a_{2x} = 4 \thinspace \text{м/c}^2\]Тоді рівняння швидкості:\[\upsilon_{2x}=\upsilon_{1x}+a_{2x}t=-4+4t\]Проекція швидкості за три секунди руху:\[\upsilon_{2x}(2)=4 \thinspace \text{м/c}\]Третя ($$t_1 = 5 \thinspace \text{c}, t_2 = 9 \thinspace \text{c}$$).Проекція прискорення:\[a_{3x} = 1 \thinspace \text{м/c}^2\]Тоді рівняння швидкості:\[\upsilon_{3x}=\upsilon_{2x}+a_{3x}t=4+t\]Проекція швидкості за чотири секунди руху:\[\upsilon_{3x}(4)=8 \thinspace \text{м/c}\]Вiдповiдь.Визначимо формулу швидкості для кожної з ділянок:Перша ($$t_1 = 0 \thinspace \text{c}, t_2 = 3 \thinspace \text{c}$$).\[\upsilon_{1x}=\upsilon_{0x}+a_{1x}t=2-2t\]Друга ($$t_1 = 3 \thinspace \text{c}, t_2 = 5 \thinspace \text{c}$$).\[\upsilon_{2x}=\upsilon_{1x}+a_{2x}t=-4+4t\]Третя ($$t_1 = 5 \thinspace \text{c}, t_2 = 9 \thinspace \text{c}$$).\[\upsilon_{3x}=\upsilon_{2x}+a_{3x}t=4+t\]