> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/trigonometry.md). # Додаток ## Додаток ## Тригонометричні функції **Тригонометричні функції** – функції, що залежать від кута і пов'язують між собою кути трикутника та відношення довжин його сторін. Вони мають широкий спектр застосувань у математиці і, відповідно, в областях науки, де математика застосовується для опису різних явищ та процесів. Безпосередньо у фізиці тригонометрія використовується для представлення векторів у різних системах координат і моделюванні періодичних процесів (звукових хвиль, електромагнітних коливань, зміни середньої температури протягом року тощо). Сучасна наука використовує 6 базових тригонометричних функцій: *sin, cos, tg, ctg, sec, csc*; через перші дві виражаються всі інші. Для визначення тригонометричних функцій кута $$\alpha$$ потрібно взяти **прямокутний** трикутник, що містить цей кут $$\alpha$$. Сторони трикутника матимуть наступні назви: * **Гіпотенуза** – сторона **прямокутного** трикутника, що лежить навпроти його прямого кута. Вона завжди є найдовшою зі сторін трикутника. * **Прилеглий катет** – сторона, що лежить між прямим кутом і кутом $$\alpha$$. * **Протилеглий катет** – сторона, що лежить навпроти кута $$\alpha$$. Тепер у нас є все необхідне для означення основних тригонометричних функій. * **Синус кута** – це відношення довжини протилеглого катета до гіпотенузи. У нашому випадку: $$\sin(\alpha) = \dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а} = \dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#4A90E2}h}$$ * **Косинус кута** – це відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи:$$\cos(\alpha) = \dfrac{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а}=\dfrac{\color{#417505}a}{\color{#4A90E2}h}$$ * **Тангенс кута** – це відношення довжини протилеглого катета до прилеглого катета: $$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}=\dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#417505}a}$$Розділивши чисельних і знаменник на довжину гіпотинузи, отримаємо:$$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}b/ \color{#4A90E2}h}{\color{#417505}a/ \color{#4A90E2}h} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$ Ще три основні тригонометричні функції є оберненими до попередніх: * **Котангенс кута**: $$\text{ctg}(\alpha) = \dfrac{1}{\text{tg}(\alpha)} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$ * **Секанс кута**: $$\sec(\alpha) = \dfrac{1}{\sin(\alpha)}$$ * **Косеканс кута**: $$\csc(\alpha) = \dfrac{1}{\cos(\alpha)}$$ Усі ці функції є періодичними, тобто повторюють свої значення при певній змінні кута. Для функцій sin, cos, sec і csc величина цієї зміни становить $$2\pi$$, для tg, ctg – $$\pi$$. $$\sin(\alpha) = \sin(\alpha \pm 2\pi k), \\, k = \overline{1, 2, 3,...} $$ $$\text{tg}(\alpha) = \sin(\alpha \pm \pi k), \\, k = \overline{1, 2, 3,...} $$Аналогічно й для cos, ctg, sec, csc. ![](/files/-LWNRDRUMTQi5qRo375n)Графік залежності функцій sin та cos від кута на проміжку $$\[0; 2\pi]$$![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Circle_cos_sin.gif) Як видно з графіку, функції $$\sin$$ та $$\cos$$ мають однакову форму, проте відрізняються фазою на $$\dfrac{\pi}{2}$$: $$\sin(\alpha) = \cos(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$ $$\cos(\alpha) = \sin(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$ Варто знати також деякі тригонометричні співвідношення. * Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ * Формули длясуми/різниці кутів: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ * Якщо кути $$\alpha$$ та $$\beta$$ рівні між собою, то формули суми/різниці спрощуються до формул подвійних кутів: $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$ $$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)= 2 \cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$ * Формули функцій половинного кута: $$\sin\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$$ $$\cos\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$$ * Формули для суми/різниці функцій кута: $$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2\sin\big(\dfrac{\alpha \pm \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha \mp \beta}{2}\big)$$ $$\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$ $$\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\sin\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$