# Додаток ## Додаток ## Тригонометричні функції **Тригонометричні функції** – функції, що залежать від кута і пов'язують між собою кути трикутника та відношення довжин його сторін. Вони мають широкий спектр застосувань у математиці і, відповідно, в областях науки, де математика застосовується для опису різних явищ та процесів. Безпосередньо у фізиці тригонометрія використовується для представлення векторів у різних системах координат і моделюванні періодичних процесів (звукових хвиль, електромагнітних коливань, зміни середньої температури протягом року тощо). Сучасна наука використовує 6 базових тригонометричних функцій: *sin, cos, tg, ctg, sec, csc*; через перші дві виражаються всі інші. Для визначення тригонометричних функцій кута $$\alpha$$ потрібно взяти **прямокутний** трикутник, що містить цей кут $$\alpha$$. Сторони трикутника матимуть наступні назви: * **Гіпотенуза** – сторона **прямокутного** трикутника, що лежить навпроти його прямого кута. Вона завжди є найдовшою зі сторін трикутника. * **Прилеглий катет** – сторона, що лежить між прямим кутом і кутом $$\alpha$$. * **Протилеглий катет** – сторона, що лежить навпроти кута $$\alpha$$. Тепер у нас є все необхідне для означення основних тригонометричних функій. * **Синус кута** – це відношення довжини протилеглого катета до гіпотенузи. У нашому випадку: $$\sin(\alpha) = \dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а} = \dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#4A90E2}h}$$ * **Косинус кута** – це відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи:$$\cos(\alpha) = \dfrac{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а}=\dfrac{\color{#417505}a}{\color{#4A90E2}h}$$ * **Тангенс кута** – це відношення довжини протилеглого катета до прилеглого катета: $$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}=\dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#417505}a}$$Розділивши чисельних і знаменник на довжину гіпотинузи, отримаємо:$$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}b/ \color{#4A90E2}h}{\color{#417505}a/ \color{#4A90E2}h} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$ Ще три основні тригонометричні функції є оберненими до попередніх: * **Котангенс кута**: $$\text{ctg}(\alpha) = \dfrac{1}{\text{tg}(\alpha)} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$ * **Секанс кута**: $$\sec(\alpha) = \dfrac{1}{\sin(\alpha)}$$ * **Косеканс кута**: $$\csc(\alpha) = \dfrac{1}{\cos(\alpha)}$$ Усі ці функції є періодичними, тобто повторюють свої значення при певній змінні кута. Для функцій sin, cos, sec і csc величина цієї зміни становить $$2\pi$$, для tg, ctg – $$\pi$$. $$\sin(\alpha) = \sin(\alpha \pm 2\pi k), \\, k = \overline{1, 2, 3,...} $$ $$\text{tg}(\alpha) = \sin(\alpha \pm \pi k), \\, k = \overline{1, 2, 3,...} $$Аналогічно й для cos, ctg, sec, csc. ![](/files/-LWNRDRUMTQi5qRo375n)Графік залежності функцій sin та cos від кута на проміжку $$\[0; 2\pi]$$![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Circle_cos_sin.gif) Як видно з графіку, функції $$\sin$$ та $$\cos$$ мають однакову форму, проте відрізняються фазою на $$\dfrac{\pi}{2}$$: $$\sin(\alpha) = \cos(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$ $$\cos(\alpha) = \sin(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$ Варто знати також деякі тригонометричні співвідношення. * Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ * Формули длясуми/різниці кутів: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ * Якщо кути $$\alpha$$ та $$\beta$$ рівні між собою, то формули суми/різниці спрощуються до формул подвійних кутів: $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$ $$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)= 2 \cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$ * Формули функцій половинного кута: $$\sin\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$$ $$\cos\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$$ * Формули для суми/різниці функцій кута: $$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2\sin\big(\dfrac{\alpha \pm \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha \mp \beta}{2}\big)$$ $$\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$ $$\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\sin\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$ --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://physics.ed-era.com/trigonometry.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.