> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/silatertya/tilo_na_pohilii_ploschini.md).

# Тiло на похилiй площинi

Багато задач стосуються тiл, якi розташовані на похилiй площинi.

Розберімося з цим типом завдань на конкретних експериментах.

**Експеримент 1: як визначити коефiцiєнт тертя?**

Нехай ми маємо тiло та похилу площину, кут нахилу якої ми можемо змiнювати, i метрична лiнiйка.

Повiльно збiльшуючи кут нахилу площини, спостерiгаємо за поведiнкою тiла. Досягнувши певного кута $$\alpha$$ тiло зрушиться i почне «сповзати» вниз. Розберемося у цьому переломному моменті. Фактично, момент початку руху означає, що сила тертя вже дорiвнює своєму максимальному значенню $$\mu N$$. Вiсь $$x$$ в цьому випадку дуже зручно розмiстити вздовж поверхнi, тодi вiсь $$y$$ – перпендикулярна i напрямлена вздовж напрямку сили реакцiї опори $$\vec{N}$$. Вважаємо, що в момент початку руху прискорення ще дорiвнює нулеві.

Другий закон Ньютона:

$$m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F\_T} = 0$$

Вiсь $$x$$ :

$$mg \sin \alpha - F\_T = 0 \Rightarrow F\_T = mg \sin \alpha$$

Вiсь $$y$$ :

$$-mg \cos \alpha + N = 0 \Rightarrow N = mg \cos \alpha$$

Згадаємо, що в момент зрушення тiла $$F\_T = \mu N$$. Пiдставимо у вираз для сили тертя:

| $$\mu N = mg \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \mu mg \cos \alpha =$$$$ mg \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \mu = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =$$$$ tg\ \alpha$$ |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

Ми отримали вираз для коефiцiєнта тертя. Тепер, використавши лiнiйку, яку ми мали, можемо використати те, що тангенс дорiвнює протилежному катету, подiленому на прилеглий.

**Важливо $${\Large!}$$** Коефiцiєнт тертя **не залежить** вiд маси тiла та площi стику поверхонь.

**Коефiцiєнт тертя залежить лише вiд матерiалiв стикових поверхонь.**

**Експеримент 2: в який бiк рухається система?**

Маємо два тiла з масами $$m\_1$$ та $$m\_2$$. Визначити умови для трьох станiв системи:\
 1\) стан спокою системи;\
 2\) прискорення другого тiла напрямлене вгору;\
 3\) прискорення другого тiла напрямлене вниз.

* **Момент перед початком руху другого тiла вниз**\
   У цей момент сила тертя, що дiє на перше тiло, напрямлена вниз по похилiй площинi. Прискорення у цей момент ще дорiвнює нулеві. Сила тертя дорiвнює максимальнiй силi тертя спокою $$\mu N$$.![](/files/-LWNRC8QRA1O4jE3VDJ4) Проекцiя на вiсь $$x$$ для першого тіла:\
  $$T - F\_T - m\_1 g \sin \alpha =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ T =$$$$ m\_1 g \sin \alpha + F\_T$$ Проекцiя на вiсь $$y$$ для другого тiла: $$T = m\_2 g$$\
  \
  Сила натягу нитки для першого i для другого тiла – однакова, адже маємо один нерозтяжний трос, що сполучає цi тiла.**Умова руху другого тiла вниз:**

  | $$m\_2 g \ge m\_1 g \sin \alpha + F\_T $$ |
  | ----------------------------------------- |

  Сила тертя в момент початку руху дорiвнює $$F\_T = \mu N$$. $$N$$ можна визначити за допомогою розгляду проекцiй сил, що прикладенi до першого тiла, на вiсь $$y$$.
*  **Момент перед початком руху другого тiла вгору**Тут вiдмiннiсть у тому, що сила тертя для першого тiла тепер напрямлена в інший бік. Тобто, збігається за напрямом з силою натягу нитки. Далi проводимо аналогiчнi до першого випадку розрахунки.![](/files/-LWNRC8YKIBilmJgTjVn) Проекцiя на вiсь $$x$$ для першого тiла:$$T + F\_T - m\_1 g \sin \alpha =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ T =$$$$ m\_1 g \sin \alpha - F\_T$$ Проекцiя на вiсь $$y$$ для другого тiла: $$T = m\_2 g$$Знову-таки сила натягу однакова для першого i другого тiла.**Умова руху другого тiла вгору:**

  | $$m\_2 g \le m\_1 g \sin \alpha - F\_T $$ |
  | ----------------------------------------- |

**Рекомендуємо подивитися наш експеримент, який покаже цікаве застосування сили тертя на практиці ;)**