Рівномірний рух по колу
Визначення Рiвномiрний рух по колу – рух по колу з постiйною за модулем швидкiстю. Під час такого руху ми маємо лише доцентрове прискорення, адже модуль швидкостi – незмiнний протягом всього руху. Тангенцiальне прискорення $a_T = 0$.
На рисунку зображено рiвномiрний рух тiла по колу та положення точки у два моменти часу
t1t_1
та
t2t_2
.
Основнi характеристики та величини:
  1. 1.
    Перiод обертання $T \thinspace (c)$ – час, за який тiло здiйснює повний оберт. Якщо за деякий час $t$ було здiйснено $N$ обертiв, то перiод:
    $T = \dfrac{t}{N}$
  2. 2.
    Частота обертання $\nu \thinspace (c^{-1}, \thinspace Гц)$ – кiлькiсть повних обертiв, якi здiйснить тiло за одиницю часу. Якщо за деякий час $t$ було здiйснено $N$ обертiв, то частота:
    $\nu = \dfrac{N}{t} = \dfrac{1}{T}$
  3. 3.
    Кут повороту $\Delta \varphi$ (рад) – кут, на який повертається радiус кола, спрямований з центра до дослiджуваної точки за час руху тiла $\Delta t$. У секцiї $1$ ми розглядали зв’язок кута в радiанах із довжиною дуги та радiусом кола.
    $\varphi = \dfrac{l}{R} \Rightarrow l = R \varphi$
  4. 4.
    Лiнiйна швидкiсть $\upsilon$ (м/с) – дорiвнює довжинi дуги, яку проходить тiло за одиницю часу $t$. Лiнiйна швидкiсть завжди спрямована по дотичнiй до траєкторiї, а у випадку рiвномiрного руху по колу рiвна за модулем у кожнiй точцi. Тiло здiйснює повний оберт, тобто проходить довжину дуги, що дорiвнює довжинi кола, за час $T$ (перiод). Довжина кола $L = 2 \pi R$.
    $\upsilon = \dfrac{L}{T} = \dfrac{2 \pi R}{T} = 2 \pi \nu R$
  5. 5.
    Кутова швидкiсть $\omega \thinspace \text{(рад/с)}$ – дорiвнює вiдношенню кута повороту до часу $\Delta t$, за який цей поворот було здiйснено. Повний оберт вiдповiдає кутові повороту $2 \pi$. Час, за який здiйснюється повний оберт, – перiод $T$.
    $\omega = \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \dfrac{2 \pi}{T} = 2 \pi \nu$
  • Зв’язок мiж лiнiйною та кутовою швидкiстю Якщо порiвняти одержані вирази для лiнiйної $(\upsilon = 2 \pi \nu R)$ та кутової швидкості $(\omega = 2 \pi \nu)$, видно, що зв’язок мiж цими швидкостями:
    $\upsilon = \omega R$
    Цей вираз також випливає зі зв’язку кута повороту з довжиною дуги i радiусом:
    $l = R \varphi \Rightarrow |: t \ | $$\Rightarrow \dfrac{l}{t}$$ = R \dfrac{\varphi}{t} \Rightarrow | \thinspace \upsilon $$= \dfrac{l}{t}, \thinspace \omega $$= \dfrac{\varphi}{t} \thinspace | $$\Rightarrow \upsilon$$ = \omega R$
  • Доцентрове прискорення $a_Д \thinspace (\text{м/c}^2)$ – прискорення, що в будь-якiй точцi спрямоване перпендикулярно до швидкостi. Під час рівномірного руху по колу радiуса $R$ зi швидкiстю $\upsilon.$$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R}$ Якщо цiкавитесь детальним виведенням цiєї формули, розберiть наступний пiдрозділ.
Задача 1 ПЕТРО ТА КОМАХА
Кулька на нитці завдовжки $1.2$ метра здiйснює рiвномiрний рух по колу. Кут мiж ниткою та вертикаллю дорiвнює $30^\circ$. Петро за допомогою годинника визначив, що кулька робить $60$ обертiв за пiвхвилини. Знайти: перiод обертання кульки, частоту, лiнiйну та кутову швидкiсть, доцентрове прискорення.
Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати
Розв’язання.Перш за все, час спостерiгання $0.5$ хв потрiбно перевести у СI: $0.5$ хв $= 30$ с.
По-друге, для подальших дiй нам потрiбно знати радiус кола.
$\sin \alpha = \dfrac{R}{L} \Rightarrow R = L \cdot \sin \alpha = 1.2 \cdot \dfrac{1}{2} = 0.6 \thinspace (\text{м})$
Перiод обертання кульки дорiвнює часові спостерiгання, подiленому на кiлькiсть здiйснених обертiв:
$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{30}{60} = 0.5 \thinspace (\text{c})$
Частота – обернена до перiоду величина$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \thinspace (\text{c}^{-1})$
Лiнiйну швидкiсть визначають як вiдношення пройденого шляху до часу, за який було подолано цей шлях. Повний оберт долається за перiод $T$:
$\upsilon = \dfrac{2 \pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14 \cdot 0.6}{0.5} \approx 7.5 \thinspace (\text{м/с})$
Кутова швидкiсть дорiвнює вiдношенню кута повороту до часу, за який цей кут було подолано. Кут повороту для повного оберту $2 \pi$, вiдповiдний час – $T$.$\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14}{0.5} \approx 12.6 \thinspace (\text{рад/с})$
Доцентрове прискорення:$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R} = \dfrac{7.5^2}{0.6} \approx 93.8 \thinspace (\text{м/с}^2)$
Вiдповiдь.
  • Перiод обертання кульки:$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{30}{60} = 0.5 \thinspace (\text{c})$
  • Частота:$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \thinspace (\text{c}^{-1})$
  • Лiнiйна швидкiсть:
  • $\upsilon = \dfrac{2 \pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14 \cdot 0.6}{0.5} \approx 7.5 \thinspace (\text{м/с})$
  • Кутова швидкiсть:$\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14}{0.5} \approx 12.6 \thinspace (\text{рад/с})$
  • Доцентрове прискорення:$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R} = \dfrac{7.5^2}{0.6} \approx 93.8 \thinspace (\text{м/с}^2)$
Last modified 3yr ago
Copy link