Виведення. Доцентрове прискорення (додатково)

Цей підрозділ для читачів, які зацікавлені в тому, як саме було отримано формулу для доцентрового прискорення. Тут буде трiшки математичних концепцiй, але навiть якщо ви поки що не маєте вiдповiдних знань – не страшно. Я впевнений, що на рiвнi розумiння ви впораєтесь із цим виведенням. Ми з вами вже мали досвiд у визначеннi миттєвих величин у точцi. Зараз нам потрiбно визначити миттєве прискорення.

$$\vec{a} = \lim\limits_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t}$$

Цей математичний запис означає, що ми маємо розiбратися з тим, як змiнюється швидкiсть за дуже-дуже малий промiжок часу (саме це означає вираз $$\Delta t \rightarrow 0)$$. Для наочності зобразимо на рисунку змiну швидкостi за умовно маленький промiжок часу.

Звертаємо вашу увагу на те, що, звичайно, вiзуалiзувати надзвичайно маленький промiжок – неможливо, але можна наблизитись до розумiння того, що буде вiдбуватися під час подальшого зменшення цього промiжку. Розгляньмо змiну швидкостi за цей час, тобто зведімо вектори $$\vec{\upsilon_1}$$ та $$\vec{\upsilon_2}$$ у одну точку.

Бачимо, що на дуже малому промiжкові часу вектор $\Delta \vec{\upsilon}$ наближатиметься до перпендикуляра до швидкостi у точцi. Отже, з напрямком більш-менш розiбралися. Тепер звернімо увагу на трикутники. У нас є трикутник (верхнiй рисунок), що утворений двома радiусами та хордою $\Delta l$, і трикутник з векторною рiзницею швидкостей (нижнiй рисунок). Ви вже помiтили, що в обох випадках маємо кут $\Delta \varphi$. За умови наближення/за наближення малих кутiв цi трикутники – подібні, тобто, по сутi, є змаштабовані копiї однин одного. Це означає, що спiввiдношення мiж сторонами одного трикутника дорiвнює спiввiдношенню мiж вiдповiдними сторонами iншого.

$$\dfrac{\Delta \upsilon}{\upsilon} \approx \dfrac{\Delta l}{R} \Rightarrow \Delta \upsilon = \dfrac{\upsilon}{R} \Delta l$$

Щоб знайти прискорення, нам потрiбно подiлити $$\Delta \upsilon$$ на маленький промiжок часу $$\Delta t$$. Дiлимо обидвi частини рiвняння:

$$a_Д = \dfrac{\upsilon}{R} \cdot \dfrac{\Delta l}{\Delta t}$$

Також важливо, що з наближенням промiжку часу до нуля довжина $\Delta l$ щораз ближча до довжини дуги мiж двома точками. А довжина дуги, подiлена на час, за який ця дуга була пройдена, – визначає лiнiйну швидкiсть $\upsilon \thinspace : \ \upsilon = \dfrac{\Delta l}{\Delta t}$.

Отже, маємо:

$$a_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$

Аналiз формули: Що бiльша швидкiсть, то бiльшим мусить бути доцентрове прискорення. Iнтуїтивно зрозумiлий такий момент: що швидше рухається машина перед поворотом, то бiльше в неї шансiв «вилетiти» за дорожню смугу. Доцентрове прискорення у випадку з машиною обумовлене тертям мiж шинами та поверхнею дороги. Саме тому пiд час дощу, коли дорога слизькіша, вiрогiднiсть «вилетiти» пiдвищується. Ми ще повернемося до цього у розділі «динамiка руху тiла по колу».

Тепер поговорімо про радiус. Що менший радiус, то бiльше потрiбне доцентрове прискорення. Тут треба чітко розрізняти поняття радiус та кривизна. Що бiльший радiус, то менша кривизна. Поворот меншого радiуса означає, що це «крутіший» поворот. Отже, потрiбно, щоб було краще зчеплення з дорогою i, вiдповiдно, бiльше доцентрове прискорення.