Абсолютно пружне зіткнення
Нехай маємо два тіла, які зіштовхнулися абсолютно пружно. Розглядаємо одновимірний загальний випадок на прикладі двох тіл. Тобто маємо довільне співвідношення мас цих тіл та довільні швидкості обох тіл.
У попередньому розділі ми вже встановили, що якщо ми працюємо з абсолютно пружним зіткненням, то кінетична енергія до зіткнення дорівнює кінетичній енергії після зіткнення. Отже, можемо записати два рівняння в загальному випадку: закон збереження імпульсу та закон збереження механічної енергії. Ще одне зауваження: оскільки наразі ми маємо одновимірну задачу, тобто тіла можуть рухатися тільки по горизонталі, працюємо одразу зі скалярними величинаами і домовимось, що швидкість $$\upsilon \gt 0$$, якщо напрямлена вправо, і $$\upsilon \lt 0$$, якщо напрямлена вліво. $$ m_1 \upsilon_1 + m_2 \upsilon_2 = m_1 \upsilon_1^\prime + m_2 \upsilon_2^\prime \tag{6} $$ $$ \dfrac{m_1 \upsilon_1^2}{2} + \dfrac{m_2 \upsilon_2^2}{2} = \dfrac{m_1 {\upsilon_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m_2 {\upsilon_2^\prime}^2}{2} \tag{7} $$ З цих двох рівнянь можна отримати швидкості після зіткнення $$\upsilon^\prime$$ та проаналізувати результати. Почнемо з рівняння $$(7)$$. Одразу скоротимо двійки у знаменнику: $$ m_1 \upsilon_1^2 + m_2 \upsilon_2^2 = m_1 {\upsilon_1^\prime}^2 + m_2 {\upsilon_2^\prime}^2 $$ Перенесемо доданки зі швидкостями першого тіла до і після зіткнення вліво, а доданки зі швидкостями другого тіла до і після зіткнення вправо: $$ m_1 \upsilon_1^2 - m_1 {\upsilon_1^\prime}^2 = m_2 {\upsilon_2^\prime}^2 - m_2 \upsilon_2^2 $$ $$ m_1 (\upsilon_1^2 - {\upsilon_1^\prime}^2) = m_2 ({\upsilon_2^\prime}^2 - \upsilon_2^2) $$ $$ m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1^\prime)(\upsilon_1 + \upsilon_1^\prime) = m_2 (\upsilon_2^\prime - \upsilon_2)(\upsilon_2^\prime + \upsilon_2) \tag{8} $$ Тепер звернемося до рівняння $$(6)$$ і так само перенесемо доданки для першого тіла вліво, а доданки для другого тіла вправо: $$ m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1^\prime) = m_2(\upsilon_2^\prime - \upsilon_2) \tag{9} $$ Якщо використати рівність $$(9)$$ у рівнянні $$(8)$$, то отримаємо дуже цікавий результат: $$ \upsilon_1 + \upsilon_1^\prime = \upsilon_2 + \upsilon_2^\prime $$ Перенесемо швидкості до зіткнення вліво, а швидкості після зіткнення – вправо: $$ \upsilon_1 - \upsilon_2 = - (\upsilon_1^\prime - \upsilon_2^\prime) $$ Таким чином, ми дійшли до надзвичайно цікавого висновку $$\Rightarrow$$ при абсолютно пружному зіткненні модуль відносної швидкості тіл до зіткнення дорівнює модулю відносної швидкості тіл після зіткнення, незалежно від мас цих тіл.
Крім того, за допомогою двох рівнянь $$(6)$$ та $$(10)$$ ми можемо отримати швидкості кожного з тіл після зіткнення, виразивши їх через маси та швидкості тіл до зіткнення. Спробуйте це зробити самостійно, а я одразу запишу результат: $$ \upsilon_1^\prime = \left(\dfrac{m_1 - m_2}{m_1+m_2}\right)\upsilon_1 + \left(\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}\right) \upsilon_2 \tag{11} $$ $$ \upsilon_2^\prime = \left(\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}\right)\upsilon_1 + \left(\dfrac{m_2 - m_1}{m_1+m_2}\right) \upsilon_2 \tag{12} $$
Ну що ж, у нас з’явився простір для роздумів. Розглянемо деякі випадки, щоб пересвідчитися в логічності наших висновків. Розгляньмо різні зіткнення кульок. Вважаємо, що удар – центральний$$\Rightarrow$$ центри мас кульок під час удару лежать на одній прямій. Це потрібно для того, щоб рух кульок відбувався вздовж однієї прямої (одновимірний випадок).
Маса другого тіла набагато більша за масу першого.
Перше тіло рухається зі швидкістю $$\upsilon_1$$ на друге тіло, яке перебуває у стані спокою $$(\upsilon_2 = 0)$$.
Спочатку інтуіція. Уявіть зображену вище ситуацію. Наприклад, тенісний м’ячик зіштовхується з нерухомим м’ячем для боулінгу. Інтуіція підказує, що тенісний м’ячик відлетить назад, а м’яч для боулінгу майже не поворухнеться. Перевірмо за допомогою формул $$(11)$$ і $$(12)$$. Для ситуації з другим нерухомим тілом формули виглядають так:
$$ \upsilon_1^\prime = \left(\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 $$ $$ \upsilon_2^\prime = \left(\dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 $$
Одразу видно, що швидкість першого тіла після зіткнення буде напрямлена вліво, адже чисельник $$(m_1 - m_2) \lt 0$$. Також видно, що при $$m_2$$, набагато більшій за $$m_1$$, швидкість першого тіла після зіткнення за модулем буде наближатися до початкової швидкості першого тіла до зіткнення. Швидкість другого тіла при дуже маленькій $$m_1$$ порівняно з $$m_2$$ буде наближатися до нуля. Приблизно це і підказувала наша інтуїція. Спробуйте підставити різні числа та погратися з цим виразом.
$$ \upsilon_1^\prime \rightarrow - \upsilon_1 $$ $$ \upsilon_2^\prime \rightarrow 0 $$
Маси тіл – однакові.
Друге тіло перебуває у стані спокою, а перше рухається до нього зі швидкістю $$\upsilon_1$$.
Знову запишемо рівняння $$(11)$$ і $$(12)$$:
$$ \upsilon_1^\prime = \left(\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 $$ $$ \upsilon_2^\prime = \left(\dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 $$
Врахуємо, що маси тіл однакові $$(m_1 = m_2)$$:
$$ \upsilon_1^\prime = 0 $$ $$ \upsilon_2^\prime = \upsilon_1 $$
Надзвичайно цікавий результат. Виходить, що
якщо маси тіл однакові і одне з тіл перебуває у стані спокою, а інше зіштовхується з ним (центральний удар), то перше тіло повністю зупиниться, а друге почне рухатись з тією ж швидкістю, з якою рухалося перше тіло до зіткнення.
Спостерігати таке явище можна під час гри у більярд, якщо ви поцілите однією кулею у центр другої кулі.
Маса першого тіла більша за масу другого тіла.
Друге тіло знову в стані спокою, а перше рухається до нього. Приготуйтесь до того, що це буде найцікавіший випадок!
Знову скористаємося інтуїцією. Якщо велике тіло налітає на мале, то ймовірно, що перше тіло рухається далі в тому самому напрямку. Єдине запитання, що відбувається при цьому з малим тілом. Інтуїція підказує, що воно також буде рухатися в тому ж напрямку. Та чи швидше, ніж перше тіло? Якщо швидше, то наскільки? Пропоную знову ж таки записати рівняння $$(11)$$ і $$(12)$$ для даного випадку:
$$ \upsilon_1^\prime = \left(\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 $$ $$ \upsilon_2^\prime = \left(\dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 $$
Тепер вважаємо, що маса першого тіла набагато більша за масу другого $$(m_1 \gg m_2)$$ і подивимось на те, що буде відбуватися зі швидкостями тіл у такому випадку. Аналогічне дослідження ми провели в першому випадку, але там було навпаки. Отже, якщо $$m_1 \gg m_2$$, то швидкість першого тіла при взаємодії наближається до тієї самої швидкості, яку тіло мало до взаємодії, причому зі знаком плюс.
$$ \upsilon_1^\prime \rightarrow \upsilon_1 $$
Це підтверджує наші інтуїтивні міркування. Якщо, наприклад, шар для боулінгу налітає на м’ячик для настільного тенісу, то, звичайно, що таке зіткнення не сильно змінить швидкість шару. Тепер поглянемо на формулу для швидкості меншого тіла:
$$ \upsilon_2 = \left(\dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\right) \upsilon_1 \Rightarrow |m_1 \gg m_2| \Rightarrow \upsilon_2^\prime = 2\upsilon_1 $$
Цей результат говорить нам про те,
що максимальна швидкість, яку може розвинути менше тіло зі стану спокою при зіткненні з більшим, у два разі більша за початкову швидкість першого. Це не дуже інтуїтивний результат.
З іншого боку він випливає також з розглянутого раніше висновку з формули $$(11)$$, який свідчить, що відносна швидкість двох тіл до зіткнення за модулем дорівнює відносній швидкості тіл після зіткнення.
Також останнє, що дуже важливо зрозуміти. Формули $$(12)$$ і $$(13)$$ зовсім не обов’язкові для запам’ятовування. Ми їх отримали, щоб було легше досліджувати різні випадки зіткнень. Ви завжди можете розв’язати будь-яку задачу, використовуючи закон збереження імпульсу та закон збереження кінетичної енергії в початковому вигляді. Задача 2 Абсолютно пружне зіткнення двох кульок
Нехай дві кульки однакової маси рухаються назустріч одна одній. Швидкість першої кульки до зіткнення 10 м/с, а швидкість другої – 15 м/с. Розрахувати швидкості та визначити напрямки руху кульок після зіткнення. Вважати, що удар – центральний.
Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати
Розв’язок.Оскільки удар центральний, задача одновимірна. Нехай позитивний напрямок осі – вправо. Тоді проекція швидкості $$\upsilon \gt 0$$, якщо швидкість напрямлена вправо і $$\upsilon \lt 0$$ при напрямку вліво. Зіткнення абсолютно пружне, отже, ми можемо записати закон збереження імпульсу та закон збереження механічної енергії.$$ m \upsilon_1 + m \upsilon_2 = m \upsilon_1^\prime + m \upsilon_2^\prime $$$$ \dfrac{m \upsilon_1^2}{2} + \dfrac{m \upsilon_2^2}{2} = \dfrac{m {\upsilon_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m {\upsilon_2^\prime}^2}{2} $$Поділимо перше рівняння на $$m$$, а друге – на $$m/2$$:$$ \upsilon_1 + \upsilon_2 = \upsilon_1^\prime + \upsilon_2^\prime $$$$ \upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 = {\upsilon_1^\prime}^2 + {\upsilon_2^\prime}^2 $$Перетворимо перше і друге рівняння, перенісши швидкості першого тіла до і після зіткнення вліво, а швидкості другого тіла – вправо:$$ \upsilon_1 - {\upsilon_1^\prime} = {\upsilon_2^\prime} - \upsilon_2 $$$$ \upsilon_1^2 - {\upsilon_1^\prime}^2 = {\upsilon_2^\prime}^2 - \upsilon_2^2 $$Використаємо формули різниці квадратів у другому рівнянні:$$ (\upsilon_1 - \upsilon_1^\prime)(\upsilon_1 + \upsilon_1^\prime) = (\upsilon_2^\prime - \upsilon_2)(\upsilon_2^\prime + \upsilon_2) $$Поділивши це рівняння на перше, отримаємо:$$ \upsilon_1 + \upsilon_1^\prime = \upsilon_2^\prime + \upsilon_2 $$Отже, маємо просту систему з двох рівнянь з двома невідомими:$$ \begin{cases} \upsilon_1 - \upsilon_1^\prime = \upsilon_2^\prime - \upsilon_2 \\ \upsilon_1 + \upsilon_1^\prime = \upsilon_2^\prime + \upsilon_2 \end{cases} $$Розв’язавши її відносно $$\upsilon_1^\prime$$ та $$\upsilon_2^\prime$$, маємо:$$ \begin{cases} \upsilon_1^\prime = \upsilon_2 = -15 \thinspace \text{м/с} \\ \upsilon_2^\prime = \upsilon_1 = 10 \thinspace \text{м/с} \end{cases} $$
Ми прийшли до ще одного надцікавого висновку. Рівні за масою тіла при абсолютно пружному зіткненні «обмінюються» швидкостями (звичайно, імпульсами також).Вiдповiдь.
$$ \begin{cases} \upsilon_1^\prime = \upsilon_2 = -15 \thinspace \text{м/с} \\ \upsilon_2^\prime = \upsilon_1 = 10 \thinspace \text{м/с} \end{cases} $$
Ми прийшли до ще одного надцікавого висновку. Рівні за масою тіла при абсолютно пружному зіткненні «обмінюються» швидкостями (звичайно, імпульсами також).