У попередньому розділі ми вже встановили, що якщо ми працюємо з абсолютно пружним зіткненням, то кінетична енергія до зіткнення дорівнює кінетичній енергії після зіткнення. Отже, можемо записати два рівняння в загальному випадку: закон збереження імпульсу та закон збереження механічної енергії. Ще одне зауваження: оскільки наразі ми маємо одновимірну задачу, тобто тіла можуть рухатися тільки по горизонталі, працюємо одразу зі скалярними величинаами і домовимось, що швидкість $\upsilon \gt 0$, якщо напрямлена вправо, і $\upsilon \lt 0$, якщо напрямлена вліво.
$ m_1 \upsilon_1 + m_2 \upsilon_2 = m_1 \upsilon_1^\prime + m_2 \upsilon_2^\prime \tag{6} $ $ \dfrac{m_1 \upsilon_1^2}{2} + \dfrac{m_2 \upsilon_2^2}{2} = \dfrac{m_1 {\upsilon_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m_2 {\upsilon_2^\prime}^2}{2} \tag{7} $
З цих двох рівнянь можна отримати швидкості після зіткнення $\upsilon^\prime$ та проаналізувати результати. Почнемо з рівняння $(7)$. Одразу скоротимо двійки у знаменнику:
$ m_1 \upsilon_1^2 + m_2 \upsilon_2^2 = m_1 {\upsilon_1^\prime}^2 + m_2 {\upsilon_2^\prime}^2 $
Перенесемо доданки зі швидкостями першого тіла до і після зіткнення вліво, а доданки зі швидкостями другого тіла до і після зіткнення вправо:
$ m_1 \upsilon_1^2 - m_1 {\upsilon_1^\prime}^2 = m_2 {\upsilon_2^\prime}^2 - m_2 \upsilon_2^2 $ $ m_1 (\upsilon_1^2 - {\upsilon_1^\prime}^2) = m_2 ({\upsilon_2^\prime}^2 - \upsilon_2^2) $ $ m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1^\prime)(\upsilon_1 + \upsilon_1^\prime) = m_2 (\upsilon_2^\prime - \upsilon_2)(\upsilon_2^\prime + \upsilon_2) \tag{8} $
Тепер звернемося до рівняння $(6)$ і так само перенесемо доданки для першого тіла вліво, а доданки для другого тіла вправо:
$ m_1(\upsilon_1 - \upsilon_1^\prime) = m_2(\upsilon_2^\prime - \upsilon_2) \tag{9} $
Якщо використати рівність $(9)$ у рівнянні $(8)$, то отримаємо дуже цікавий результат:
$ \upsilon_1 + \upsilon_1^\prime = \upsilon_2 + \upsilon_2^\prime $
Перенесемо швидкості до зіткнення вліво, а швидкості після зіткнення – вправо:
$ \upsilon_1 - \upsilon_2 = - (\upsilon_1^\prime - \upsilon_2^\prime) $
Таким чином, ми дійшли до надзвичайно цікавого висновку $\Rightarrow$ при абсолютно пружному зіткненні модуль відносної швидкості тіл до зіткнення дорівнює модулю відносної швидкості тіл після зіткнення, незалежно від мас цих тіл.