Операції над векторами

Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою.

Модуль вектора

Як вже було зазначено модуль вектора
AB=a(a1;a2)\vec{AB} = \vec{a} \thinspace (a_1;a_2)
– це довжина відрізка
ABAB
, що позначається
AB=a|\vec{AB_{ }}|=|\thinspace \vec{a} \thinspace|
.
Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка:
AB=(x2x1)2+(y2y1)2.|\thinspace \vec{AB} \thinspace|=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}.
Або ж через координати вектора:
a=a12+a22.|\thinspace \vec{a} \thinspace|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.

Додавання векторів

У координатному вигляді в результаті додавання векторів
a(a1;a2)\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)
та
b(b1;b2)\vec{b} \thinspace (b_1;b_2)
отримаємо вектор
c(c1;c2)\vec{c} \thinspace (c_1;c_2)
, такий що:
c1=a1+b1;c_1=a_1+b_1;
c2=a2+b2.c_2=a_2+b_2.
Суму векторів записують як:
c=a+b.\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}.
Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються.
Властивості операції додавання векторів
  • Комутативність: $$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$.
  • Асоціативність: $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$.
  • Додавання нульового вектора: $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$.
Для геометричної побудови вектора суми
c=a+b\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}
використовують «правило трикутника» або «правило паралелограма».
«Правило трикутника»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого:
За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора:
«Правило паралелограма»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів:
Віднімання векторів
ab\vec{a} - \vec{b}
еквівалентне додаванню протилежного вектора:
a+(b)\vec{a} + (-\vec{b})
.

Множення вектора на скаляр

При множенні вектора
a(a1;a2)\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)
на скалярну величину
λ\lambda
, кожна координата вектора множиться на цей скаляр:
λa=(λa1;λa2).\lambda\vec{a} = (\lambda a_1;\lambda a_2).
Властивості операції множення вектора на скаляр
  • Комутативність: $$\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$$.
  • Асоціативність: $$\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$$.
  • Дистрибутивність відносно додавання чисел: $$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$$
  • Дистрибутивність відносно додавання векторів: $$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$$.
З точки зору геометрїї при множенні довжина вектора збільшується в
λ|\thinspace \lambda \thinspace|
разів:
λa=(λa1)2+(λa2)2=λ2(a12+a22)=λa12+a22=λa|\thinspace \lambda\vec{a} \thinspace|=\sqrt{(\lambda a_1)^2 + (\lambda a_2)^2} = \sqrt{\lambda^2 (a_1^2+a_2^2)}=|\thinspace \lambda \thinspace|\sqrt{a_1^2+a_2^2} = |\thinspace \lambda \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{a} \thinspace|
При цьому: 1. якщо
λ>0\lambda > 0
, то напрямок вектора зберігається; 2. якщо
λ<0\lambda < 0
, то напрямок вектора змінюється на протилежний:

Скалярний добуток векторів

Означення Скалярним добутком двох векторів $$\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b_1;b_2)$$ називається число $$a_1 b_1+a_2 b_2$$. Скалярний добуток позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ або $$(\vec{a},\vec{b})$$.
Скалярний добуток вектора самого на себе називається скалярним квадратом, який дорівнює квадрату довжини вектора:
(a,a)=a2=a2.(\vec{a},\vec{a}) = \vec{a}^2 = |\thinspace \vec{a} \thinspace|^2.
Означення Скалярний добуток також можна виразити як добуток довжин векторів та косинусу кута між цими векторами:$$(\vec{a},\vec{b})=|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| \cdot \cos{\varphi}$$
Зауваження: якщо вектори $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними $$\varphi = \dfrac{\pi}{2}$$ і $$\cos{\varphi} = \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 0$$, то з вищенаведеного означення випливає, що скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю, і навпаки.
Властивості скалярного добутку векторів
  • Комутативність: $$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$$.
  • Асоціативність: $$\lambda(\vec{a}, \vec{b}) = (\lambda\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a},\lambda\vec{b})$$.
  • Дистрибутивність: $$(\vec{a} + \vec{b},\vec{c}) = (\vec{a},\vec{c}) + (\vec{b},\vec{c})$$.
Знайдіть косинус кута між векторами $$\vec{a}(4;9)$$ і $$\vec{b}(-2;5)$$-0.7-0.500.50.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \] Тобто, \[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] Отже, маємо: \[ cos(\varphi) = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1 ^2 +a_2 ^2} \cdot \sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \]
Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?01-11 або -1Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде $$0$$ у випадку, коли вони співнапрямленні і $$180^\circ$$, якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1.

Проекція та розкладання вектора на компоненти

Одиничним називається вектор одиничної довжини.
Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають ортами. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі $$Ox$$ позначають $$\vec{e_1}$$ (або $$\vec{i}$$), а вздовж вісі $$Oy$$ – відповідно $$\vec{e_2}$$ (або $$\vec{j}$$). У координатному представленні їх можна записати: $$\vec{e_1} (1;0)$$ та $$\vec{e_2} (0;1)$$.
Візьмемо два вектора довільної довжини:
a1\vec{a_1}
, який напрямлений вздовж вісі
OxOx
, а інший,
a2\vec{a_2}
– вздовж
OyOy
. Запишемо сумарний вектор, який позначимо
a\vec{a}
:
a1(a1;0)+a2(0;a2)=a(a1;a2).\vec{a_1} \thinspace (a_1;0) + \vec{a_2} \thinspace (0;a_2) = \vec{a} \thinspace (a_1;a_2).
У свою чергу, вектор
a1\vec{a_1}
можна виразити через орт
e1\vec{e_1}
: вони мають однаковий напрямок і відрізняються лише довжиною:
a1(a1;0)=a1e1(1;0).\vec{a_1} \thinspace (a_1;0)=a_1 \vec{e_1} \thinspace (1;0).
Аналогічним чином:
$$\vec{a_2} \thinspace (0;a_2)=a_2 \vec{e_2} \thinspace (0;1).$$
Підставивши ці вирази до виразу для вектора
a\vec{a}
, отримуємо:
a=a1e1+a2e2.\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2}.
Легко помітити, що коефіцієнти при ортах – це координати вектора, або, як ще називають, проекції на осі координат. Виконана операція називається розкладанням вектора на проекції (компоненти).
Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації двох інших відомих векторів:
$$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}.$$