Операції над векторами

Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою.

Модуль вектора

Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка:

Або ж через координати вектора:

Додавання векторів

Суму векторів записують як:

Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються.

Властивості операції додавання векторів

  • Комутативність: $$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$.

  • Асоціативність: $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$.

  • Додавання нульового вектора: $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$.

«Правило трикутника»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого:

За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора:

«Правило паралелограма»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів:

Множення вектора на скаляр

Властивості операції множення вектора на скаляр

  • Комутативність: $$\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$$.

  • Асоціативність: $$\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$$.

  • Дистрибутивність відносно додавання чисел: $$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$$

  • Дистрибутивність відносно додавання векторів: $$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$$.

Скалярний добуток векторів

Означення Скалярним добутком двох векторів $$\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b_1;b_2)$$ називається число $$a_1 b_1+a_2 b_2$$. Скалярний добуток позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ або $$(\vec{a},\vec{b})$$.

Скалярний добуток вектора самого на себе називається скалярним квадратом, який дорівнює квадрату довжини вектора:

Зауваження: якщо вектори $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними $$\varphi = \dfrac{\pi}{2}$$ і $$\cos{\varphi} = \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 0$$, то з вищенаведеного означення випливає, що скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю, і навпаки.

Властивості скалярного добутку векторів

  • Комутативність: $$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$$.

  • Асоціативність: $$\lambda(\vec{a}, \vec{b}) = (\lambda\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a},\lambda\vec{b})$$.

  • Дистрибутивність: $$(\vec{a} + \vec{b},\vec{c}) = (\vec{a},\vec{c}) + (\vec{b},\vec{c})$$.

Знайдіть косинус кута між векторами $$\vec{a}(4;9)$$ і $$\vec{b}(-2;5)$$-0.7-0.500.50.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \] Тобто, \[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] Отже, маємо: \[ cos(\varphi) = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1 ^2 +a_2 ^2} \cdot \sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \]

Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?01-11 або -1Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде $$0$$ у випадку, коли вони співнапрямленні і $$180^\circ$$, якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1.

Проекція та розкладання вектора на компоненти

Одиничним називається вектор одиничної довжини.

Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають ортами. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі $$Ox$$ позначають $$\vec{e_1}$$ (або $$\vec{i}$$), а вздовж вісі $$Oy$$ – відповідно $$\vec{e_2}$$ (або $$\vec{j}$$). У координатному представленні їх можна записати: $$\vec{e_1} (1;0)$$ та $$\vec{e_2} (0;1)$$.

Аналогічним чином:

$$\vec{a_2} \thinspace (0;a_2)=a_2 \vec{e_2} \thinspace (0;1).$$

Легко помітити, що коефіцієнти при ортах – це координати вектора, або, як ще називають, проекції на осі координат. Виконана операція називається розкладанням вектора на проекції (компоненти).

Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації двох інших відомих векторів:

$$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}.$$

Last updated