Фізика: Класична механіка
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Одновимірна кінематика
    • Механічний рух
    • Основні поняття одновимірної кінематики
    • Рівномірний прямолінійний рух
      • Вiдноснiсть швидкостей та перемiщень
      • Проекцiя вектора
      • Рiвняння руху
      • Проекцiя швидкостi та перемiщення
      • Середня швидкiсть
    • Рiвноприскорений прямолiнiйний рух
      • Миттєва швидкiсть
      • Прискорення та гальмування
      • Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху
    • Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння
  • Двовимірна кінематика
    • Характер двовимірного руху
    • Проекції швидкості
    • Практична частина
      • Дальність польоту, максимальна висота, час падіння
      • Тіло, що кинуте горизонтально
    • Градуси та радіани
    • Криволінійний рух
      • Тангенціальне та доцентрове прискорення
      • Загальна характеристика криволінійного руху
      • Рівномірний рух по колу
      • Виведення. Доцентрове прискорення (додатково)
      • Важливі приклади
  • Концепція сили
    • Інертність та маса
    • Сила: рівнодійна сила
    • Перший закон Ньютона
    • Другий закон Ньютона та сила тяжіння
    • Третій закон Ньютона
    • Реакцiя опори та пiдвiсу
    • Сила реакції опори та вага
    • Приклади. Рух у ліфті
      • Система тіл, що з'єднанні ниткою
    • Сила пружності та закон Гука
    • Послідовне та паралельне з'єднання пружин
  • Сила тертя
    • Сила тертя спокою
    • Сила тертя ковзання
      • Тiло на вертикальнiй стiнцi
    • Тiло на похилiй площинi
  • Динамiка та статика
    • Сили, що створюють доцентрове прискорення
      • Сила натягу нитки
      • Сила тиску
      • Сила тертя
    • Статика та умови рiвноваги
      • Перша умова рiвноваги
      • Друга умова рiвноваги та момент сили
    • Центр тяжiння та центр мас
    • Стiйкiсть рiвноваги
  • Iмпульс, робота, потужнiсть
    • Механiчна робота
      • Геометричний змiст роботи
      • Робота сили тяжiння
      • Робота сили пружностi
    • Робота та енергiя
      • Кiнетична енергiя
      • Консервативнi та неконсервативнi сили
      • Потенцiальна енергiя
      • Закон збереження механiчної енергiї
    • Потужнiсть та ККД
    • Iмпульс та його зв’язок з силою
      • Імпульс тіла і другий закон Ньютона
      • Закон збереження iмпульсу
    • Імпульс та кінетична енергія
      • Закони збереження, пружні та непружні зіткнення
      • Абсолютно пружне зіткнення
      • Абсолютно непружне зіткнення
      • Зіткнення у двох вимірах
  • Закон Всесвітнього тяжіння
    • Застосування закону збереження та розгляд Закону Всесвiтнього тяжiння
    • Супутники
    • Перша та друга космiчнi швидкостi
  • Механіка рідин та газів
    • Тиск
    • Атмосферний тиск
    • Закон Паскаля
    • Сполученi посудини
    • Закон Архiмеда
    • Закон Бернуллi
  • Додаток
    • Вектори
      • Рівність векторів
      • Координати векторів
      • Операції над векторами
Powered by GitBook
On this page
  • Модуль вектора
  • Додавання векторів
  • Множення вектора на скаляр
  • Скалярний добуток векторів
  • Проекція та розкладання вектора на компоненти

Was this helpful?

  1. Додаток
  2. Вектори

Операції над векторами

Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою.

Модуль вектора

Як вже було зазначено модуль вектора AB⃗=a⃗ (a1;a2)\vec{AB} = \vec{a} \thinspace (a_1;a_2)AB=a(a1​;a2​) – це довжина відрізка ABABAB, що позначається ∣AB⃗∣=∣ a⃗ ∣|\vec{AB_{ }}|=|\thinspace \vec{a} \thinspace|∣AB​​∣=∣a∣.

Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка:

∣ AB⃗ ∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2.|\thinspace \vec{AB} \thinspace|=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}.∣AB∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​.

Або ж через координати вектора:

∣ a⃗ ∣=a12+a22.|\thinspace \vec{a} \thinspace|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.∣a∣=a12​+a22​​.

Додавання векторів

У координатному вигляді в результаті додавання векторів a⃗ (a1;a2)\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)a(a1​;a2​) та b⃗ (b1;b2)\vec{b} \thinspace (b_1;b_2)b(b1​;b2​) отримаємо вектор c⃗ (c1;c2)\vec{c} \thinspace (c_1;c_2)c(c1​;c2​), такий що:

c1=a1+b1;c_1=a_1+b_1;c1​=a1​+b1​;

c2=a2+b2.c_2=a_2+b_2.c2​=a2​+b2​.

Суму векторів записують як:

c⃗=a⃗+b⃗.\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}.c=a+b.

Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються.

Властивості операції додавання векторів

  • Комутативність: $$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$.

  • Асоціативність: $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$.

  • Додавання нульового вектора: $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$.

Для геометричної побудови вектора суми c⃗=a⃗+b⃗\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}c=a+b використовують «правило трикутника» або «правило паралелограма».

«Правило трикутника»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого:

За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора:

«Правило паралелограма»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів:

Віднімання векторів a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}a−b еквівалентне додаванню протилежного вектора: a⃗+(−b⃗)\vec{a} + (-\vec{b})a+(−b).

Множення вектора на скаляр

При множенні вектора a⃗ (a1;a2)\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)a(a1​;a2​) на скалярну величину λ\lambdaλ, кожна координата вектора множиться на цей скаляр:

λa⃗=(λa1;λa2).\lambda\vec{a} = (\lambda a_1;\lambda a_2).λa=(λa1​;λa2​).

Властивості операції множення вектора на скаляр

  • Комутативність: $$\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$$.

  • Асоціативність: $$\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$$.

  • Дистрибутивність відносно додавання чисел: $$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$$

  • Дистрибутивність відносно додавання векторів: $$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$$.

З точки зору геометрїї при множенні довжина вектора збільшується в ∣ λ ∣|\thinspace \lambda \thinspace|∣λ∣ разів:

∣ λa⃗ ∣=(λa1)2+(λa2)2=λ2(a12+a22)=∣ λ ∣a12+a22=∣ λ ∣⋅∣ a⃗ ∣|\thinspace \lambda\vec{a} \thinspace|=\sqrt{(\lambda a_1)^2 + (\lambda a_2)^2} = \sqrt{\lambda^2 (a_1^2+a_2^2)}=|\thinspace \lambda \thinspace|\sqrt{a_1^2+a_2^2} = |\thinspace \lambda \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{a} \thinspace|∣λa∣=(λa1​)2+(λa2​)2​=λ2(a12​+a22​)​=∣λ∣a12​+a22​​=∣λ∣⋅∣a∣

При цьому: 1. якщо λ>0\lambda > 0λ>0, то напрямок вектора зберігається; 2. якщо λ<0\lambda < 0λ<0, то напрямок вектора змінюється на протилежний:

Скалярний добуток векторів

Означення Скалярним добутком двох векторів $$\vec{a} \thinspace (a_1;a_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b_1;b_2)$$ називається число $$a_1 b_1+a_2 b_2$$. Скалярний добуток позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ або $$(\vec{a},\vec{b})$$.

Скалярний добуток вектора самого на себе називається скалярним квадратом, який дорівнює квадрату довжини вектора:

(a⃗,a⃗)=a⃗2=∣ a⃗ ∣2.(\vec{a},\vec{a}) = \vec{a}^2 = |\thinspace \vec{a} \thinspace|^2.(a,a)=a2=∣a∣2.

Зауваження: якщо вектори $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними $$\varphi = \dfrac{\pi}{2}$$ і $$\cos{\varphi} = \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 0$$, то з вищенаведеного означення випливає, що скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю, і навпаки.

Властивості скалярного добутку векторів

  • Комутативність: $$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$$.

  • Асоціативність: $$\lambda(\vec{a}, \vec{b}) = (\lambda\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a},\lambda\vec{b})$$.

  • Дистрибутивність: $$(\vec{a} + \vec{b},\vec{c}) = (\vec{a},\vec{c}) + (\vec{b},\vec{c})$$.

Знайдіть косинус кута між векторами $$\vec{a}(4;9)$$ і $$\vec{b}(-2;5)$$-0.7-0.500.50.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \] Тобто, \[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] Отже, маємо: \[ cos(\varphi) = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1 ^2 +a_2 ^2} \cdot \sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \]

Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?01-11 або -1Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде $$0$$ у випадку, коли вони співнапрямленні і $$180^\circ$$, якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1.

Проекція та розкладання вектора на компоненти

Одиничним називається вектор одиничної довжини.

Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають ортами. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі $$Ox$$ позначають $$\vec{e_1}$$ (або $$\vec{i}$$), а вздовж вісі $$Oy$$ – відповідно $$\vec{e_2}$$ (або $$\vec{j}$$). У координатному представленні їх можна записати: $$\vec{e_1} (1;0)$$ та $$\vec{e_2} (0;1)$$.

Візьмемо два вектора довільної довжини: a1⃗\vec{a_1}a1​​, який напрямлений вздовж вісі OxOxOx, а інший, a2⃗\vec{a_2}a2​​ – вздовж OyOyOy. Запишемо сумарний вектор, який позначимо a⃗\vec{a}a:

a1⃗ (a1;0)+a2⃗ (0;a2)=a⃗ (a1;a2).\vec{a_1} \thinspace (a_1;0) + \vec{a_2} \thinspace (0;a_2) = \vec{a} \thinspace (a_1;a_2).a1​​(a1​;0)+a2​​(0;a2​)=a(a1​;a2​).

У свою чергу, вектор a1⃗\vec{a_1}a1​​ можна виразити через орт e1⃗\vec{e_1}e1​​: вони мають однаковий напрямок і відрізняються лише довжиною:

a1⃗ (a1;0)=a1e1⃗ (1;0).\vec{a_1} \thinspace (a_1;0)=a_1 \vec{e_1} \thinspace (1;0).a1​​(a1​;0)=a1​e1​​(1;0).

Аналогічним чином:

$$\vec{a_2} \thinspace (0;a_2)=a_2 \vec{e_2} \thinspace (0;1).$$

Підставивши ці вирази до виразу для вектора a⃗\vec{a}a, отримуємо:

a⃗=a1e1⃗+a2e2⃗.\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2}.a=a1​e1​​+a2​e2​​.

Легко помітити, що коефіцієнти при ортах – це координати вектора, або, як ще називають, проекції на осі координат. Виконана операція називається розкладанням вектора на проекції (компоненти).

Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації двох інших відомих векторів:

$$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}.$$

PreviousКоординати векторів

Last updated 6 years ago

Was this helpful?

Означення Скалярний добуток також можна виразити як добуток довжин векторів та косинусу кута між цими векторами:$$(\vec{a},\vec{b})=|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| \cdot \cos{\varphi}$$