> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/trigonometry/vector1/vector4.md). # Операції над векторами Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою. ## Модуль вектора Як вже було зазначено модуль вектора $$\vec{AB} = \vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ – це довжина відрізка $$AB$$, що позначається $$|\vec{AB\_{ }}|=|\thinspace \vec{a} \thinspace|$$. Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка: $$|\thinspace \vec{AB} \thinspace|=\sqrt{(x\_2-x\_1 )^2+(y\_2-y\_1 )^2}.$$ Або ж через координати вектора: $$|\thinspace \vec{a} \thinspace|=\sqrt{a\_1^2+a\_2^2}.$$ ## Додавання векторів У координатному вигляді в результаті додавання векторів $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b\_1;b\_2)$$ отримаємо вектор $$\vec{c} \thinspace (c\_1;c\_2)$$, такий що: $$c\_1=a\_1+b\_1;$$ $$c\_2=a\_2+b\_2.$$ Суму векторів записують як: $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}.$$ Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються. Властивості операції додавання векторів * Комутативність: $$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$. * Асоціативність: $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$. * Додавання нульового вектора: $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$. Для **геометричної побудови** вектора суми $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$$ використовують **«правило трикутника»** або **«правило паралелограма»**. **«Правило трикутника»**: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого: За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора: **«Правило паралелограма»**: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів: Віднімання векторів $$\vec{a} - \vec{b}$$ еквівалентне додаванню протилежного вектора: $$\vec{a} + (-\vec{b})$$. ## Множення вектора на скаляр При множенні вектора $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ на скалярну величину $$\lambda$$, кожна координата вектора множиться на цей скаляр: $$\lambda\vec{a} = (\lambda a\_1;\lambda a\_2).$$ Властивості операції множення вектора на скаляр * Комутативність: $$\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$$. * Асоціативність: $$\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$$. * Дистрибутивність відносно додавання чисел: $$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$$ * Дистрибутивність відносно додавання векторів: $$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$$. З точки зору геометрїї при множенні довжина вектора збільшується в $$|\thinspace \lambda \thinspace|$$ разів: $$|\thinspace \lambda\vec{a} \thinspace|=\sqrt{(\lambda a\_1)^2 + (\lambda a\_2)^2} = \sqrt{\lambda^2 (a\_1^2+a\_2^2)}=|\thinspace \lambda \thinspace|\sqrt{a\_1^2+a\_2^2} = |\thinspace \lambda \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{a} \thinspace|$$ При цьому: 1. якщо $$\lambda > 0$$, то напрямок вектора зберігається; 2. якщо $$\lambda < 0$$, то напрямок вектора змінюється на протилежний: ## Скалярний добуток векторів Означення **Скалярним добутком** двох векторів $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b\_1;b\_2)$$ називається **число** $$a\_1 b\_1+a\_2 b\_2$$. Скалярний добуток позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ або $$(\vec{a},\vec{b})$$. Скалярний добуток вектора самого на себе називається **скалярним квадратом**, який дорівнює квадрату довжини вектора: $$(\vec{a},\vec{a}) = \vec{a}^2 = |\thinspace \vec{a} \thinspace|^2.$$ Означення **Скалярний добуток** також можна виразити як добуток довжин векторів та косинусу кута між цими векторами:$$(\vec{a},\vec{b})=|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| \cdot \cos{\varphi}$$![](https://4033899624-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSJT6Lq36yi15cb%2F-LWNR1UacGCQGTRitqNS%2F-LWNRDnF4UPRWmDb8Hc-%2F9.svg?generation=1547672046737541\&alt=media) **Зауваження**: якщо вектори $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними $$\varphi = \dfrac{\pi}{2}$$ і $$\cos{\varphi} = \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 0$$, то з вищенаведеного означення випливає, що **скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю**, і навпаки. Властивості скалярного добутку векторів * Комутативність: $$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$$. * Асоціативність: $$\lambda(\vec{a}, \vec{b}) = (\lambda\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a},\lambda\vec{b})$$. * Дистрибутивність: $$(\vec{a} + \vec{b},\vec{c}) = (\vec{a},\vec{c}) + (\vec{b},\vec{c})$$. Знайдіть косинус кута між векторами $$\vec{a}(4;9)$$ і $$\vec{b}(-2;5)$$-0.7-0.500.50.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \\\[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \\] Тобто, \\\[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \\] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \\\[ (\vec{a}, \vec{b}) = a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 \\] Отже, маємо: \\\[ cos(\varphi) = \dfrac{a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2}{\sqrt{a\_1 ^2 +a\_2 ^2} \cdot \sqrt{b\_1 ^2 + b\_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \\] Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?01-11 або -1Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде $$0$$ у випадку, коли вони співнапрямленні і $$180^\circ$$, якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1. ## Проекція та розкладання вектора на компоненти **Одиничним** називається вектор одиничної довжини. Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають **ортами**. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі $$Ox$$ позначають $$\vec{e\_1}$$ (або $$\vec{i}$$), а вздовж вісі $$Oy$$ – відповідно $$\vec{e\_2}$$ (або $$\vec{j}$$). У координатному представленні їх можна записати: $$\vec{e\_1} (1;0)$$ та $$\vec{e\_2} (0;1)$$. Візьмемо два вектора довільної довжини: $$\vec{a\_1}$$, який напрямлений вздовж вісі $$Ox$$, а інший, $$\vec{a\_2}$$ – вздовж $$Oy$$. Запишемо сумарний вектор, який позначимо $$\vec{a}$$: $$\vec{a\_1} \thinspace (a\_1;0) + \vec{a\_2} \thinspace (0;a\_2) = \vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2).$$ У свою чергу, вектор $$\vec{a\_1}$$ можна виразити через орт $$\vec{e\_1}$$: вони мають однаковий напрямок і відрізняються лише довжиною: $$\vec{a\_1} \thinspace (a\_1;0)=a\_1 \vec{e\_1} \thinspace (1;0).$$ Аналогічним чином: $$\vec{a\_2} \thinspace (0;a\_2)=a\_2 \vec{e\_2} \thinspace (0;1).$$ Підставивши ці вирази до виразу для вектора $$\vec{a}$$, отримуємо: $$\vec{a} = a\_1\vec{e\_1} + a\_2\vec{e\_2}.$$ Легко помітити, що **коефіцієнти при ортах – це координати вектора**, або, як ще називають, **проекції на осі координат**. Виконана операція називається **розкладанням вектора на проекції (компоненти)**. Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді **лінійної комбінації** двох інших відомих векторів: $$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}.$$ ![](https://4033899624-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSJT6Lq36yi15cb%2F-LWNR1UacGCQGTRitqNS%2F-LWNRDnIMCrJWoXa6UlI%2F12.svg?generation=1547672040279525\&alt=media)