# Операції над векторами Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою. ## Модуль вектора Як вже було зазначено модуль вектора $$\vec{AB} = \vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ – це довжина відрізка $$AB$$, що позначається $$|\vec{AB\_{ }}|=|\thinspace \vec{a} \thinspace|$$. Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка: $$|\thinspace \vec{AB} \thinspace|=\sqrt{(x\_2-x\_1 )^2+(y\_2-y\_1 )^2}.$$ Або ж через координати вектора: $$|\thinspace \vec{a} \thinspace|=\sqrt{a\_1^2+a\_2^2}.$$ ## Додавання векторів У координатному вигляді в результаті додавання векторів $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b\_1;b\_2)$$ отримаємо вектор $$\vec{c} \thinspace (c\_1;c\_2)$$, такий що: $$c\_1=a\_1+b\_1;$$ $$c\_2=a\_2+b\_2.$$ Суму векторів записують як: $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}.$$ Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються. Властивості операції додавання векторів * Комутативність: $$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$. * Асоціативність: $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$. * Додавання нульового вектора: $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$. Для **геометричної побудови** вектора суми $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$$ використовують **«правило трикутника»** або **«правило паралелограма»**. **«Правило трикутника»**: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого: За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора: **«Правило паралелограма»**: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів: Віднімання векторів $$\vec{a} - \vec{b}$$ еквівалентне додаванню протилежного вектора: $$\vec{a} + (-\vec{b})$$. ## Множення вектора на скаляр При множенні вектора $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ на скалярну величину $$\lambda$$, кожна координата вектора множиться на цей скаляр: $$\lambda\vec{a} = (\lambda a\_1;\lambda a\_2).$$ Властивості операції множення вектора на скаляр * Комутативність: $$\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$$. * Асоціативність: $$\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$$. * Дистрибутивність відносно додавання чисел: $$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$$ * Дистрибутивність відносно додавання векторів: $$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$$. З точки зору геометрїї при множенні довжина вектора збільшується в $$|\thinspace \lambda \thinspace|$$ разів: $$|\thinspace \lambda\vec{a} \thinspace|=\sqrt{(\lambda a\_1)^2 + (\lambda a\_2)^2} = \sqrt{\lambda^2 (a\_1^2+a\_2^2)}=|\thinspace \lambda \thinspace|\sqrt{a\_1^2+a\_2^2} = |\thinspace \lambda \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{a} \thinspace|$$ При цьому: 1. якщо $$\lambda > 0$$, то напрямок вектора зберігається; 2. якщо $$\lambda < 0$$, то напрямок вектора змінюється на протилежний: ## Скалярний добуток векторів Означення **Скалярним добутком** двох векторів $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b\_1;b\_2)$$ називається **число** $$a\_1 b\_1+a\_2 b\_2$$. Скалярний добуток позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ або $$(\vec{a},\vec{b})$$. Скалярний добуток вектора самого на себе називається **скалярним квадратом**, який дорівнює квадрату довжини вектора: $$(\vec{a},\vec{a}) = \vec{a}^2 = |\thinspace \vec{a} \thinspace|^2.$$ Означення **Скалярний добуток** також можна виразити як добуток довжин векторів та косинусу кута між цими векторами:$$(\vec{a},\vec{b})=|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| \cdot \cos{\varphi}$$![](/files/-LWNRDnF4UPRWmDb8Hc-) **Зауваження**: якщо вектори $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними $$\varphi = \dfrac{\pi}{2}$$ і $$\cos{\varphi} = \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 0$$, то з вищенаведеного означення випливає, що **скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю**, і навпаки. Властивості скалярного добутку векторів * Комутативність: $$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$$. * Асоціативність: $$\lambda(\vec{a}, \vec{b}) = (\lambda\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a},\lambda\vec{b})$$. * Дистрибутивність: $$(\vec{a} + \vec{b},\vec{c}) = (\vec{a},\vec{c}) + (\vec{b},\vec{c})$$. Знайдіть косинус кута між векторами $$\vec{a}(4;9)$$ і $$\vec{b}(-2;5)$$-0.7-0.500.50.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \\\[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \\] Тобто, \\\[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \\] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \\\[ (\vec{a}, \vec{b}) = a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 \\] Отже, маємо: \\\[ cos(\varphi) = \dfrac{a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2}{\sqrt{a\_1 ^2 +a\_2 ^2} \cdot \sqrt{b\_1 ^2 + b\_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \\] Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?01-11 або -1Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде $$0$$ у випадку, коли вони співнапрямленні і $$180^\circ$$, якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1. ## Проекція та розкладання вектора на компоненти **Одиничним** називається вектор одиничної довжини. Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають **ортами**. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі $$Ox$$ позначають $$\vec{e\_1}$$ (або $$\vec{i}$$), а вздовж вісі $$Oy$$ – відповідно $$\vec{e\_2}$$ (або $$\vec{j}$$). У координатному представленні їх можна записати: $$\vec{e\_1} (1;0)$$ та $$\vec{e\_2} (0;1)$$. Візьмемо два вектора довільної довжини: $$\vec{a\_1}$$, який напрямлений вздовж вісі $$Ox$$, а інший, $$\vec{a\_2}$$ – вздовж $$Oy$$. Запишемо сумарний вектор, який позначимо $$\vec{a}$$: $$\vec{a\_1} \thinspace (a\_1;0) + \vec{a\_2} \thinspace (0;a\_2) = \vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2).$$ У свою чергу, вектор $$\vec{a\_1}$$ можна виразити через орт $$\vec{e\_1}$$: вони мають однаковий напрямок і відрізняються лише довжиною: $$\vec{a\_1} \thinspace (a\_1;0)=a\_1 \vec{e\_1} \thinspace (1;0).$$ Аналогічним чином: $$\vec{a\_2} \thinspace (0;a\_2)=a\_2 \vec{e\_2} \thinspace (0;1).$$ Підставивши ці вирази до виразу для вектора $$\vec{a}$$, отримуємо: $$\vec{a} = a\_1\vec{e\_1} + a\_2\vec{e\_2}.$$ Легко помітити, що **коефіцієнти при ортах – це координати вектора**, або, як ще називають, **проекції на осі координат**. Виконана операція називається **розкладанням вектора на проекції (компоненти)**. Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді **лінійної комбінації** двох інших відомих векторів: $$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}.$$ ![](/files/-LWNRDnIMCrJWoXa6UlI) --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://physics.ed-era.com/trigonometry/vector1/vector4.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.