Абсолютно непружне зіткнення

До цього ми з вами розглядали абсолютно пружне зіткнення. Особливістю такого типу зіткнення було те, що виконувались два закони: закон збереження імпульсу та закон збереження кінетичної енергії.

Як вже було зазначено у п.2.2, Закони збереження, пружні та непружні зіткнення, при непружному зіткненні частина кінетичної енергії при зіткненні перетворюється у внутрішню енергію $$Q$$: $$ \Sigma E_{iK} = \Sigma E_{iK}^\prime + Q $$

Що це за внутрiшня енергiя? На що вона може бути витрачена? Наприклад, тiла можуть нагрiтися при зiткненнi $$\Rightarrow$$ частина кiнетичної енергiї витратилася на нагрiвання тiл. Чи менш очевидний приклад. Чому ми казали про те, що зiткнення бiльярдних куль, наприклад, не до кiнця пружне? Тому що, наприклад, зiткнення бiльярдних куль можна почути i це не жарт. Абсолютно пружне зiткнення повинно супроводжуватися тотальною тишею. Тепер повертаємось до абсолютно непружного зiткнення.

В абсолютно непружному зiткненнi пiсля зiткнення частинки «злипаються» i надалi рухаються разом. Якщо система замкнена, то iмпульс системи зберiгається.

Розглянемо приклад:

Дві кульки з масами $$m_1$$ та $$m_2$$ рухаються одна назустріч одній зі швидкостями $$\vec{\upsilon}_1$$ і $$\vec{\upsilon}_2$$. Визначити швидкість двох кульок $$\vec{\upsilon}^\prime$$ після абсолютно непружного зіткнення.

До зіткнення імпульс системи дорівнює: $$ m_1 \vec{\upsilon}_1 + m_2 \vec{\upsilon}_2 $$ Після зіткнення дві кульки сумарної маси $$m_1 + m_2$$ рухаються разом зі швидкістю $$\vec{\upsilon}^\prime$$. Отже, імпульс після зіткнення: $$ (m_1 + m_2) \vec{\upsilon}^\prime $$ Запишемо закон збереження імпульсу за допомогою проекцій швидкостей (вважаємо, що $$\upsilon \gt 0$$, якщо тіло рухається вправо, $$\upsilon \lt 0$$ – якщо тіло рухається вліво): $$ m_1 \upsilon_1 + m_2 \upsilon_2 = (m_1 + m_2) \upsilon^\prime $$ Виражаємо швидкість тіл після зіткнення: $$ \upsilon^\prime = \dfrac{m_1 \upsilon_1 + m_2 \upsilon_2}{m_1 + m_2} $$

У розглянутому випадку можливі два сценарії залежно від співвідношення мас і швидкосте тіл до зіткнення: тіла будуть рухатися вліво або вправо.

Перевірмо отриману формулу. Наприклад, маса першого тіла $$m_1 = 2 \thinspace$$кг, маса другого – $$m_2 = 1 \thinspace$$кг. Перше тіло рухається вправо зі швидкістю 2 м/с, друге тіло рухається назустріч першому зі швидкістю 1 м/с.

$$\upsilon^\prime = \dfrac{m_1 \upsilon_1 + m_2 \upsilon_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{2+1} = 1 \thinspace \text{(м/с)}$$

Отже, після зіткнення тіла будуть рухатися вправо (додатній знак) зі швидкістю 1 м/с.

Задача 3 Балістичний маятник

Балістичний маятник – пристрій для визначення швидкості снаряда (кулі). Принцип дії такий: снаряд влучає у тіло на невагомій нитці. Відбувається непружне зіткнення і тіло разом зі снарядом відхиляється, досягаючи висоти $$h$$ (відома під час експерименту). Знаючи маси снаряда ($$m_1$$) та тіла на нитці ($$m_2$$), потрібно визначити швидкість снаряда $$\upsilon_1$$ до зіткнення.

Схема Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Запишемо закон збереження імпульсу для абсолютно непружного зіткнення. До зіткнення ми маємо ненульовий імпульс лише в снаряда. Після зіткнення два тіла разом починають рухатися з певною швидкістю $$\upsilon^\prime$$.$$m_1 \upsilon_1 = (m_1 + m_2) \upsilon^\prime$$Отже, швидкість снаряда після зіткнення:$$\upsilon^\prime = \dfrac{m_1 \upsilon_1}{m_1 + m_2} \tag{*}$$Пiсля того, як зiткнення вiдбулося, при наближеннi, що неконсервативнi сили вiдсутнi, можна скористатися законом збереження механiчної енергiї. Детальнiше, ситуацiя така: у момент одразу пiсля зiткнення тiло з сумарною масою $$m_1 + m_2$$ має лише кінетичну енергію $$E_{K1}$$ (швидкість – $$\upsilon^\prime$$). У найвищій точці $$h$$ над початковим рівнем тіла повністю зупиняються і їхня механічна енергія дорівнює потенціальний у цій точці $$E_{П1}$$ (див. рисунок). Отже, закон збереження механічної енергії для найнижчого та найвищого положення тіл:$$E_{K1} = E_{П1} \Rightarrow \dfrac{(m_1 + m_2){\upsilon^\prime}^2}{2} = (m_1 + m_2) gh \Rightarrow {\upsilon^\prime}^2 = 2gh$$Підставимо замість швидкості $$\upsilon^\prime$$ вираз $$(*)$$:$$\dfrac{m_1^2 \upsilon_1^2}{(m_1 + m_2)^2} = 2gh \Rightarrow \upsilon_1^2 = \dfrac{2gh(m_1+m_2)^2}{m_1^2}$$Отже, швидкість снаряда перед зіткненням: $$\upsilon_1 = \sqrt{2gh} \cdot \dfrac{m_1 + m_2}{m_1}$$ Перевірмо формулу кількісно. Патрон для автомата Калашникова був розроблений під патрон $$7,62\times39$$ мм. Маса кулі – 8 г. Нехай маса тіла на нитці 2 кг, а висота $$h$$, на яку піднімуть тіло – 40 см $$=$$ 0,4 м. Початкова швидкість снаряда:$$\upsilon_1 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.4} \cdot \dfrac{8 \cdot 10^{-3} + 2}{8 \cdot 10^{-3}} \approx 703 \thinspace (\text{м/с})$$До речі, 700 м/с – приблизна швидкість вильоту кулі з автомата Калашникова.Вiдповiдь.Швидкість снаряда перед зіткненням: $$\upsilon_1 = \sqrt{2gh} \cdot \dfrac{m_1 + m_2}{m_1}$$ Перевірмо формулу кількісно. Патрон для автомата Калашникова був розроблений під патрон $$7,62\times39$$ мм. Маса кулі – 8 г. Нехай маса тіла на нитці 2 кг, а висота $$h$$, на яку піднімуть тіло – 40 см $$=$$ 0,4 м. Початкова швидкість снаряда:$$\upsilon_1 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.4} \cdot \dfrac{8 \cdot 10^{-3} + 2}{8 \cdot 10^{-3}} \approx 703 \thinspace (\text{м/с})$$До речі, 700 м/с – приблизна швидкість вильоту кулі з автомата Калашникова.