> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://physics.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://physics.ed-era.com/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/kinetichna_energiya.md).

# Кiнетична енергiя

Щоб детальнiше зрозумiти концепцiю енергiї, розгляньмо приклад.

Нехай машина масою $$m$$ розганяється зi швидкостi $$\upsilon\_1$$ до $$\upsilon\_2$$ протягом відстані $$d$$ пiд дiєю постiйної результуючої сили $$d$$:

Iз другого закону Ньютона:

$$F = ma$$

Розгляньмо кiнематику процесу.

Рiвняння швидкостi:

$$\upsilon\_2 =$$$$ \upsilon\_1 + at \Rightarrow t =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2 - \upsilon\_1}{a}$$

Рiвняння руху:

$$x =$$$$ x\_0 + \upsilon\_1 t + \dfrac{at^2}{2}$$$$ \Rightarrow d =$$$$ \upsilon\_1 t + \dfrac{at^2}{2}$$

Пiдставмо вираз для $$t$$ в рiвняння руху:

$$d - \upsilon\_1 \cdot \dfrac{\upsilon\_2 - \upsilon\_1}{a}$$$$ + \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)^2}{2a}$$$$ - \dfrac{2 \upsilon\_1(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)}{2a}$$$$ + \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)^2}{2a}$$

Винесімо $$(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)$$ за дужки:

$$d =$$$$ \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)(2\upsilon\_1 + \upsilon\_2 - \upsilon\_1)}{2a}$$$$ = \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)(\upsilon\_2 + \upsilon\_1)}{2a} =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2^2 - \upsilon\_1^2}{2a}$$

Із визначення роботи:

$$A =$$$$ Fd =$$$$ mad$$

Пiдставмо отримане вище $$d$$:

$$A =$$$$ ma \dfrac{\upsilon\_2^2 - \upsilon\_1^2}{2a} =$$$$ m \dfrac{\upsilon\_2^2 - \upsilon\_1^2}{2}$$

| $$A =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2}$$ |
| ------------------------------------------------------------------- |

Так ми дiйшли до визначення кiнетичної енергiї.

 Визначення**Кiнетична енергiя** (kinetikos – рух) – енергiя руху тiла.

$$E\_к =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$

Як бачимо, енергiя має таку саму розмiрнiсть, як i робота – Дж. Також зрозумiле стає i визначення енергiї. Тiло, маючи певну кiнетичну енергiю, може виконати роботу. Наприклад, кiнетична енергiя молотка, яким ми вбиваємо цвях, переходить в енергiю цвяха (виконується робота).

Тепер ми можемо також переписати формулу для роботи:

| $$A =$$$$ K\_2 - K\_1 =$$$$ \Delta K$$ |
| -------------------------------------- |

**Теорема про кiнетичну енергiю:** робота, що виконана результуючою силою, прикладеною до тiла, дорiвнює змiнi його кiнетичної енергiї.

Важливо розумiти, що в цiй теоремi йдеться саме про **результуючу силу**, тобто про **сумарну роботу**, яку виконано над тiлом.

Нехай ви з постiйною швидкiстю $$\upsilon$$ піднімаєте тіло вгору вгору, прикладаючи силу $$\vec{F}$$.

Чому дорiвнює сумарна робота, яку було виконано над тiлом протягом піднімання на висоту $$h$$? З теореми, що маємо вище, виходить, що сумарна робота дорiвнює нулеві, адже $$\upsilon\_2 =$$$$ \upsilon\_1 =$$$$ \upsilon = const$$. Не вiриться? Перевiрмо.

Із другого закону Ньютона:

$$F - mg = 0$$$$ \thinspace (v = const; \thinspace a = 0) \Rightarrow$$$$ F = mg$$

Робота, яку виконуєте ви, прикладаючи силу $$F$$, додатня i дорiвнює:

$$A\_1 =$$$$ Fh =$$$$ mgh$$

Робота, яку виконує сила тяжiння, вiд’ємна, адже сила тяжiння дiє в протилежному напрямку від вектора перемiщення:

$$A\_2 =$$$$ -mgh$$

Ось i виходить, що сумарна робота дорiвнює нулеві:

$$A\_{\Sigma} =$$$$ A\_1 + A\_2 =$$$$ 0$$