# Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху

Розглядаючи рівномірний прямолінійний рух, ми з вами встановили, що площа фігури, обмеженої графіком $$\upsilon\_x(t)$$, віссю часу та лініями $$t=t\_1$$ і $$t=t\_2$$, дорівнює проекції переміщення, яке здійcнило тіло за цей проміжок часу.

Погляньмо на площу потрібної фігури на графіку $$\upsilon\_x(t)$$ для рівноприскореного прямолінійного руху.

![](https://4033899624-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSJT6Lq36yi15cb%2F-LWNR1UacGCQGTRitqNS%2F-LWNRFTyHT1qoSEzX3Sw%2F6.svg?generation=1547672047956698\&alt=media)

Проекція переміщення: $$S\_x = S\_{\text{трикутника}} + S\_{\text{прямокутника}}$$

$$S\_{\text{трикутника}} = \dfrac{h\cdot a}{2}$$ $$= \dfrac{(\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})(t\_2-t\_1)}{2}$$ $$=\dfrac{(\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})\Delta t}{2}$$ $$= \dfrac{(\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})\Delta t\cdot\Delta t}{2\Delta t}$$ $$=\dfrac{a\Delta t^2}{2}$$

$$S\_{\text{прямокутника}} = (\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})(t\_2-t\_1)$$ $$=\upsilon\_{0x}(t\_2-t\_1)$$$$= \upsilon\_{0x}\Delta t \Rightarrow$$$$\boxed{S\_x=\upsilon\_{0x}\Delta t + \dfrac{a \Delta t^2}{2}}$$

Проекція переміщення дорівнює різниці між координатами початку руху і кінця руху $$\rightarrow S\_x=x - x\_0$$, підставляючи цей вираз у вираз для переміщення, отримуємо рівняння рівноприскореного прямолінійного руху.

 Визначення **Проекція переміщення на вісь $$x:$$** \\\[S\_x = \upsilon\_{0x}t +\dfrac{at^2}{2}\\] **Проекція швидкості на вісь $$x:$$** \\\[\upsilon\_x=\upsilon\_{0x}+at\\] **Рівняння рівноприскореного прямолінійного руху:** \\\[x(t)=x\_0+\upsilon\_{0x}t+\dfrac{at^2}{2}\\] $$x(t)$$ – координата тіла у момент часу $$t$$;\
 $$x\_0$$ – початкова координата тіла;\
 $$\upsilon\_{0x}$$ – проекція початкової швидкості на вісь $$x$$;\
 $$a\_x$$ – проекція прискорення на вісь $$x$$.

Як видно, залежність $$x(t)$$ – квадратична, тобто присутній член $$t^2$$. Вид цієї функції – параболічний (iз видами функцій ви можете детально ознайомитись в курсі з математики).

 Задача 2 **ГАЛЬМУВАННЯ АВТОМОБІЛЯ**

Міністерство транспорту у м. Київ вирішило провести дослідження, як саме величина гальмівного шляху в залежить від швидкості автомобіля. Так як різні машини гальмують по-різному, було вирішено знайти відношення величин гальмівного шляху для двох різних початкових швидкостей $$\upsilon'\_{0x}$$ та\
$$\upsilon''\_{0x}$$, тобто $$\dfrac{l''}{l'}$$. Вважайте, що прискорення, з яким автомобіль рухається під час гальмування, однакове в обох випадках.

**Дано:** $$\upsilon'\_{0x}, \ \upsilon''\_{0x}, \ a'\_x=a''\_x$$

**Знайти:** $$\dfrac{l''}{l'}$$

 Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиСпрямуймо вісь $$x$$ у бік руху, тоді $$\upsilon\_{0x}>0, \ a\_x![](https://4033899624-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSJT6Lq36yi15cb%2F-LWNR1UacGCQGTRitqNS%2F-LWNRFU35XlKvYsqaWKZ%2F7.svg?generation=1547672047978190\&alt=media)**Розв’язання.**Спрямуймо вісь $$x$$ у бік руху, тоді $$\upsilon\_{0x}>0, \ a\_x![](https://4033899624-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSJT6Lq36yi15cb%2F-LWNR1UacGCQGTRitqNS%2F-LWNRFU5RqhdWIi5X_gw%2F7.svg?generation=1547672054303079\&alt=media)Нехай модуль прискорення дорівнює $$a$$. Тоді $$a'\_x=a''\_x=-a$$. Помістимо початок координат у точку, з якої починаємо досліджувати гальмування $$x\_0=0$$. Рівняння руху для обох випадків:\\\[l'=x'=\upsilon'\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}, \ l''=x''=\upsilon''\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\\]Щоб знайти час зупинки автомобіля, треба розв’язати рівняння швидкості (зупинка $$\rightarrow \upsilon\_x=0$$):\\\[\upsilon\_x=\upsilon\_{0x}-at \Rightarrow 0=\upsilon\_{0x}-at\Rightarrow t=\dfrac{\upsilon\_{0x}}{a}\\]Підставимо час у рівняння залежності координати від часу:\\\[x=\upsilon\_{0x}\cdot\dfrac{\upsilon\_{0x}}{a}-\dfrac{a\cdot\upsilon^2\_{0x}}{2a^2}=\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{a}-\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{2a}=\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{2a}\\]Отже, відношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\\\[\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2\_{0x}}{\upsilon'^2\_{0x}}\\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $$80$$ км/год приблизно в $$1.7$$ разів більший ніж для $$60$$ км/год.**Вiдповiдь.**Bідношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\\\[\dfrac{l''}{l'}=\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2\_{0x}}{\upsilon'^2\_{0x}}\\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $$80$$ км/год приблизно в $$1.7$$ разів більший ніж для $$60$$ км/год.

Рух тіла описує рівняння $$x = 4 - 3t + 2t^2$$, де всі величини виражено в одиницях SI. Визначте проекцію швидкості тіла на вісь $$Ox$$ через 2 с після початку руху. -6 м/с 5 м/с 6 м/с 8 м/с

Порівняймо рівняння з умови з рівнянням одновимірного руху $$x = x\_0 + \upsilon\_{0}t + \dfrac{at^2}{2}$$.\
Отже, маємо $$\upsilon\_0 = -3 \thinspace \text{м/с}, \\, a = 4 \thinspace \text{м/с}^2$$, а формула для швидкості $$\upsilon = \upsilon\_0 + at$$ матиме вигляд $$\upsilon = -3 + 4t$$ .\
Підставивши час 2 с знайдемо правильну відповідь $$\upsilon = 5 \thinspace \text{м/с}$$.