Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху
Розглядаючи рівномірний прямолінійний рух, ми з вами встановили, що площа фігури, обмеженої графіком
υx(t)\upsilon_x(t)
, віссю часу та лініями
t=t1t=t_1
і
t=t2t=t_2
, дорівнює проекції переміщення, яке здійcнило тіло за цей проміжок часу.
Погляньмо на площу потрібної фігури на графіку
υx(t)\upsilon_x(t)
для рівноприскореного прямолінійного руху.
Проекція переміщення:
Sx=Sтрикутника+SпрямокутникаS_x = S_{\text{трикутника}} + S_{\text{прямокутника}}
Sтрикутника=ha2S_{\text{трикутника}} = \dfrac{h\cdot a}{2}
=(υxυ0x)(t2t1)2= \dfrac{(\upsilon_x-\upsilon_{0x})(t_2-t_1)}{2}
=(υxυ0x)Δt2=\dfrac{(\upsilon_x-\upsilon_{0x})\Delta t}{2}
=(υxυ0x)ΔtΔt2Δt= \dfrac{(\upsilon_x-\upsilon_{0x})\Delta t\cdot\Delta t}{2\Delta t}
=aΔt22=\dfrac{a\Delta t^2}{2}
Sпрямокутника=(υxυ0x)(t2t1)S_{\text{прямокутника}} = (\upsilon_x-\upsilon_{0x})(t_2-t_1)
=υ0x(t2t1)=\upsilon_{0x}(t_2-t_1)
=υ0xΔt= \upsilon_{0x}\Delta t \Rightarrow
Sx=υ0xΔt+aΔt22\boxed{S_x=\upsilon_{0x}\Delta t + \dfrac{a \Delta t^2}{2}}
Проекція переміщення дорівнює різниці між координатами початку руху і кінця руху
Sx=xx0\rightarrow S_x=x - x_0
, підставляючи цей вираз у вираз для переміщення, отримуємо рівняння рівноприскореного прямолінійного руху.
Визначення Проекція переміщення на вісь $x:$ \[S_x = \upsilon_{0x}t +\dfrac{at^2}{2}\] Проекція швидкості на вісь $x:$ \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+at\] Рівняння рівноприскореного прямолінійного руху: \[x(t)=x_0+\upsilon_{0x}t+\dfrac{at^2}{2}\] $x(t)$ – координата тіла у момент часу $t$; $x_0$ – початкова координата тіла; $\upsilon_{0x}$ – проекція початкової швидкості на вісь $x$; $a_x$ – проекція прискорення на вісь $x$.
Як видно, залежність
x(t)x(t)
– квадратична, тобто присутній член
t2t^2
. Вид цієї функції – параболічний (iз видами функцій ви можете детально ознайомитись в курсі з математики).
Задача 2 ГАЛЬМУВАННЯ АВТОМОБІЛЯ
Міністерство транспорту у м. Київ вирішило провести дослідження, як саме величина гальмівного шляху в залежить від швидкості автомобіля. Так як різні машини гальмують по-різному, було вирішено знайти відношення величин гальмівного шляху для двох різних початкових швидкостей $\upsilon'_{0x}$ та $\upsilon''_{0x}$, тобто $\dfrac{l''}{l'}$. Вважайте, що прискорення, з яким автомобіль рухається під час гальмування, однакове в обох випадках.
Дано: $\upsilon'_{0x}, \ \upsilon''_{0x}, \ a'_x=a''_x$
Знайти: $\dfrac{l''}{l'}$
Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиСпрямуймо вісь $x$ у бік руху, тоді $\upsilon_{0x}>0, \ a_x
Розв’язання.Спрямуймо вісь $x$ у бік руху, тоді $\upsilon_{0x}>0, \ a_x
Нехай модуль прискорення дорівнює $a$. Тоді $a'_x=a''_x=-a$. Помістимо початок координат у точку, з якої починаємо досліджувати гальмування $x_0=0$. Рівняння руху для обох випадків:\[l'=x'=\upsilon'_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}, \ l''=x''=\upsilon''_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\]Щоб знайти час зупинки автомобіля, треба розв’язати рівняння швидкості (зупинка $\rightarrow \upsilon_x=0$):\[\upsilon_x=\upsilon_{0x}-at \Rightarrow 0=\upsilon_{0x}-at\Rightarrow t=\dfrac{\upsilon_{0x}}{a}\]Підставимо час у рівняння залежності координати від часу:\[x=\upsilon_{0x}\cdot\dfrac{\upsilon_{0x}}{a}-\dfrac{a\cdot\upsilon^2_{0x}}{2a^2}=\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{a}-\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{2a}=\dfrac{\upsilon^2_{0x}}{2a}\]Отже, відношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\[\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2_{0x}}{\upsilon'^2_{0x}}\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $80$ км/год приблизно в $1.7$ разів більший ніж для $60$ км/год.Вiдповiдь.Bідношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\[\dfrac{l''}{l'}=\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2_{0x}}{\upsilon'^2_{0x}}\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $80$ км/год приблизно в $1.7$ разів більший ніж для $60$ км/год.
Рух тіла описує рівняння $x = 4 - 3t + 2t^2$, де всі величини виражено в одиницях SI. Визначте проекцію швидкості тіла на вісь $Ox$ через 2 с після початку руху. -6 м/с 5 м/с 6 м/с 8 м/с
Порівняймо рівняння з умови з рівнянням одновимірного руху $x = x_0 + \upsilon_{0}t + \dfrac{at^2}{2}$. Отже, маємо $\upsilon_0 = -3 \thinspace \text{м/с}, \, a = 4 \thinspace \text{м/с}^2$, а формула для швидкості $\upsilon = \upsilon_0 + at$ матиме вигляд $\upsilon = -3 + 4t$ . Підставивши час 2 с знайдемо правильну відповідь $\upsilon = 5 \thinspace \text{м/с}$.
Copy link