Закон збереження iмпульсу

Під час отримання рiвняння другого закона Ньютона в імпульсній формі, ми роздiлили сили, якi дiють на частинки, на внутрiшнi (сили взаємодiї мiж частинками) та зовнiшнi. За вiдсутностi зовнiшнiх сил система тiл називається замкненою. Iншими словами, замкнена система — це система, в якiй наявнi лише сили, обумовленi взаємодiєю тiл цiєї системi. У попередньому роздiлi ми вже з’ясували з вами, що змiна сумарного iмпульсу системи дорiвнює сумарнiй зовнiшнiй силi, яка дiє на систему тiл.

$$\frac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = \Sigma \vec{F_{}}_{зовн}$$

Отже, якщо система замкнена, що означає, що в ній відсутні зовнішні сили, то рівняння набуває вигляду:

$$\frac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = 0$$

Виходить, що зміна імпульсу в замкненій системі дорівнює нулеві. Це у свою чергу означає, що за відсутності зовнішніх сил імпульс системи залишається незмінним.

Визначення Закон збереження імпульсу Для системи тіл, що взаємодіють між собою (незалежно від природи взаємодії), за відсутності зовнішніх сиил сумарний імпульс тіл є величиною сталою:імпульс системи до взаємодії $$=$$ імпульс системи після взаємодії

$$\Sigma \vec{p}_i = \Sigma m_i \vec{\upsilon}_i = const \Rightarrow \Sigma \vec{p}_i = \Sigma \vec{p}_i^{\prime}$$,

де $$\Sigma \vec{p}_i$$ — сумарний імпульс системи після взаємодії.

Закон збереження iмпульсу на рiвнi з законом збереження енергiї є одним iз найважливiших законiв у фiзицi, а його застосування виходить далеко за межi класичної механiки, як i його визначення. Наприклад, iмпульсом володiє свiтло, а саме фотони – частинки, якi є носiями свiтла (їхня маса рiвна нулеві). Рiзного роду квазiчастинки (не є частинками в класичному розумiннi, як-от м’ячик, горошина тощо), якi описують дуже складнi явища у квантовiй фiзицi, також володiють iмпульсом i для них виконується Закон Збереження Імпульсу.

Розгляньмо відразу приклад:

Потяг масою $$m_1 = 10 \thinspace \text{т}$$ їде до нерухомого потяга масою $$m_2 = 7 \thinspace \text{т}$$ зі швидкістю $$\upsilon_1 = 20 \thinspace \text{м/с}$$. Після зіткнення потяги скріплюються і починають рухатися разом. Яка швидкість потягів після зіткнення?

Розв’язання. Якщо знехтувати силами тертя, опору повітря тощо, то ми маємо приклад замкненої системи. Вважаємо, що єдині сили, наявні в даній задачі — сили, які виникають внаслідок взаємодії двох потягів. Отже, зміна загального імпульсу системи, яка в даному разі складається із двох потягів, дорівнює нулеві.

$$\dfrac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = \Sigma \vec{F_{}}_{зовн} \rightarrow | F_{зовн} = 0| \rightarrow \dfrac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = 0$$

Оскільки зміна імпульсу дорівнює нулеві, імпульс системи до зіткнення дорівнює імпульсу системи після зіткнення.

$$\Sigma \vec{p} = \Sigma \vec{p}^{\prime}$$

До зіткнення. Перший потяг з масою $m_1$ рухається зі швидкістю $\upsilon_1$, другий потяг з масою $m_2$ — нерухомий ($\upsilon_2 = 0$). Сумарний імпульс:

$$m_1 \upsilon_1 + m_2 \upsilon_2$$

Після зіткнення. Два потяги тепер зчеплені, їхня загальна маса — $m_1 + m_2$ і рухаються вони зі швидкістю $\upsilon^{\prime}$. Імпульс системи:

$$(m_1 + m_2) \upsilon^{\prime}$$

Отже, закон збереження імпульсу в даному випадку виглядає так:

$$m_1 \upsilon_1 = (m_1 + m_2) \upsilon^{\prime}$$

Звідси отримаємо швидкість потягів після зіткнення:

$$\upsilon^{\prime} = \dfrac{m_1 \upsilon_1}{m_1 + m_2} = \dfrac{10000 \cdot 20}{10000 + 7000} \approx 11.8 \thinspace \text{м/с}$$

Як бачимо, швидкість, з якою потяги рухаються після зіткнення, трішки більша за половину швидкості першого потяга до зіткнення. Перевірте самостійно, що якщо б потяги були однакової маси, то швидкість вийшла б рівно в два рази меншою.