# Зміст 1. [Вступне слово](/vstupne_slovo) 2. [Одновимірна кінематика](/1vstup) * [Механічний рух](/1vstup/2mehanichnii_ruh) * [Основні поняття](/1vstup/3osnovni_ponyattya) * [Рівномірний прямолінійний рух](/1vstup/4shlyah_ta_shv) * [Вiдноснiсть швидкостей та перемiщень](/1vstup/4shlyah_ta_shv/5vidnosnist) * [Проекцiя вектора](/1vstup/4shlyah_ta_shv/6proektsiya_vektora) * [Рiвняння руху](/1vstup/4shlyah_ta_shv/7rivnyannya_ruhu) * [Проекцiя швидкостi та перемiщення](/1vstup/4shlyah_ta_shv/8proektsiya) * [Середня швидкiсть](/1vstup/4shlyah_ta_shv/9serednya_shvidkist) * [Рiвноприскорений прямолiнiйний рух](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh) * [Миттєва швидкiсть](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/2miteva_shvidkist) * [Прискорення та гальмування](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/3priskorennya) * [Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/4rivnyannya) * [Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння](/1vstup/5vertikalnii) 3. [Двовимірна кінематика](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu) * [Характер двовимірного руху](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/2harakter_dvovimrnogo_ruhu) * [Проекції швидкості](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/3proekts_shvidkost) * [Практична частина](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina) * [Дальнiсть польоту, максимальна висота, час пiдняття](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina/5dalnst_polotu-_maksimalna_visota-_chas_padnnya) * [Тіло, що кинуте горизонтально](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina/6tilo-_scho_kinute_gorizontalno) * [Градуси та радіани](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/7gradusi_ta_radani) * [Криволінійний рух](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh) * [Тангенціальне та доцентрове прискорення](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/9tangentsalne_ta_dotsentrove_priskorennya) * [Загальна характеристика криволінійного руху](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/10zagalna_harakteristika_krivolninogo_ruhu) * [Рівномірний рух по колу](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/11rvnomrnii_ruh_po_kolu) * [Виведення. Доцентрове прискорення (додатково)](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/12vivedennya_dotsentrove_priskorennya_dodatkovo) * [Важливі приклади](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/13vazhliv_prikladi) 4. [Концепція сили](/1vstup_u_dinamku) 1. [Інертність та маса](/1vstup_u_dinamku/2nertnst_ta_masa) 2. [Сила: рівнодійна сила](/1vstup_u_dinamku/3sila_rvnodina_sil) 3. [Перший закон Ньютона](/1vstup_u_dinamku/4pershii_zakon_nyutona) 4. [Другий закон Ньютона та сила тяжіння](/1vstup_u_dinamku/5drugii_zakon_nyutona_ta_sila_tyazhnnya) 5. [Третій закон Ньютона](/1vstup_u_dinamku/6treti_zakon_nyutona) 6. [Реакція опори та підвісу](/1vstup_u_dinamku/7reaktsiya_opori_ta_pidvisu) 7. [Сила реакції опори та вага](/1vstup_u_dinamku/8sila_reakts_opori_ta_vaga) 8. [Приклади. Рух у ліфті](/1vstup_u_dinamku/10ruh_u_lft) * [Система тіл, що з'єднанні ниткою](/1vstup_u_dinamku/10ruh_u_lft/11sistema_tl-_scho_zdnann_nitkoyu) 9. [Сила пружності та закон Гука](/1vstup_u_dinamku/12sila_pruzhnost_ta_zakon_guka) 10. [Послідовне та паралельне з'єднання пружин](/1vstup_u_dinamku/13posldovne_ta_paralelne_zdnannya_pruzhin) 5. [Сила тертя](/silatertya) 1. [Сила тертя спокою](/silatertya/sila_tertya_spokoyu) 2. [Сила тертя ковзання](/silatertya/sila_tertya_kovzannya) * [Тiло на вертикальнiй стiнцi](/silatertya/sila_tertya_kovzannya/tilo_na_vertikalnii_stintsi) 3. [Тiло на похилiй площинi](/silatertya/tilo_na_pohilii_ploschini) 6. [Динамiка та статика](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu) 1. [Сили, що створюють доцентрове прискорення](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/sili-_scho_stvoryuyut_dotsentrove_priskorennya) * [Сила натягу нитки](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/sili-_scho_stvoryuyut_dotsentrove_priskorennya/sila_natyagu_nitki) * [Сила тиску](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/sili-_scho_stvoryuyut_dotsentrove_priskorennya/sila_tisku) * [Сила тертя](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/sili-_scho_stvoryuyut_dotsentrove_priskorennya/sila_tertya) 2. [Статика та умови рiвноваги](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/statika_ta_umovi_rivnovagi) * [Перша умова рiвноваги](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/statika_ta_umovi_rivnovagi/persha_umova_rivnovagi) * [Друга умова рiвоваги та момент сили](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/statika_ta_umovi_rivnovagi/druga_umova_rivovagi_ta_moment_sili) 3. [Центр тяжiння та центр мас](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/tsentr_tyazhinnya_ta_tsentr_mas) 4. [Стiйкiсть рiвноваги](/vstup_do_dinamiki_ruhu_tila_po_kolu/stiikist_rivnovagi) 7. [Iмпульс, робота, потужнiсть](/impuls-_robota-_potuzhnist) 1. [Механiчна робота](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota) * [Геометричний змiст роботи](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota/geometrichnii_zmist_roboti) * [Робота сили тяжiння](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota/robota_sili_tyazhinnya) * [Робота сили пружностi](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota/robota_sili_pruzhnosti) 2. [Робота та енергiя](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya) * [Кiнетична енергiя](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/kinetichna_energiya) * [Консервативнi та неконсервативнi сили](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/konservativni_ta_nekonservativni_sili) * [Потенцiальна енергiя](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/potentsialna_energiya) * [Закон збереження механiчної енергiї](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/zakon_zberezhennya_mehanichno_energi) 3. [Потужнiсть та ККД](/impuls-_robota-_potuzhnist/potuzhnist_ta_kkd) 4. [Iмпульс та його зв’язок з силою](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_tila_ta_yogo_zvyazok_iz_siloyu) * [Імпульс тіла і другий закон Ньютона](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_tila_ta_yogo_zvyazok_iz_siloyu/impuls_tila_i_drugiy_zakon_nyutona) * [Закон збереження iмпульсу](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_tila_ta_yogo_zvyazok_iz_siloyu/zakon_zberezhennya_impulsu) 5. [Імпульс та кінетична енергія](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya) * [Закони збереження, пружні та непружні зіткнення](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/zakoni_zberejennia-_prujni_ta_neprujni_zitknennia) * [Абсолютно пружне зіткнення](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/absolytno_prujne_zitknennia) * [Абсолютно непружне зіткнення](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/absolytno_neprujne_zitknennia) * [Зіткнення у двох вимірах](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/zitknennia_u_dvoh_vymirah) 8. Закон Всесвітнього тяжіння 1. Застосування закону збереження та розгляд Закону Всесвiтнього тяжiння 2. Супутники 3. Перша та друга космiчнi швидкостi 9. Механіка рідин та газів 1. Тиск 2. Атмосферний тиск 3. Закон Паскаля 4. Сполученi посудини 5. Закон Архiмеда 6. Закон Бернуллi 10. [Додаток](/trigonometry) 1. [Вектори](/trigonometry/vector1) * [Поняття вектора](/trigonometry/vector1) * [Рівність векторів](/trigonometry/vector1/vector2) * [Координати векторів](/trigonometry/vector1/vector3) * [Операції над векторами](/trigonometry/vector1/vector4) # Вступне слово Інтерактивні книги на проекті складаються з авторського структурованого теоретичного матеріалу, вбудованих відео та запитань, відповіді на які оброблюються миттєво. У запитання іноді вбудовано підказки для того, щоб читач міг глибше вивчити конкретну тему. У книзі часто застосовано стилізовані блоки, такі як «означення», «авторський алгоритм», «задача» тощо. Звертайте на них увагу. Визначення **Проект EdEra Books** — соціальний проект інтерактивної освітньої літератури, створений на базі проекту EdEra (ed-era.com). Проект створюють випускники і студенти престижних університетів України та Європи, професіонали й експерти для української молоді та всіх, хто прагне здобувати якісні знання, набувати фахових навичок за допомогою новітніх технологій. ## Технічні можливості Зліва на кожній сторінці ви бачите зміст книги. За допомогою кнопки на панелі (1) зміст можна приховувати та відкривати знову. На цій панелі є кнопка у формі букви «А». Натиснувши на неї, ви відкриєте меню, в якому можна змінювати розмір кегля, режим відображення тощо. Справа є панель (2) з соціальними мережами. Ви можете поділитися з друзями інформацією з кожної сторінки інтерактивної книги. Так ви допоможете людям дізнатися про наш проект, а також продемонструєте, що Ви дуже розумні й читаєте корисну літературу :) ![Функціонал сервісу EdEraBooks](https://rawgit.com/chudaol/ed-era-book-physics/master/book/vstupne_slovo1.png) ## Умови користування та зауваження EdEra Books – соціальний освітній проект, який дозволяє необмежене та безкоштовне використання сервісу в освітніх цілях. Будь-яке копіювання матеріалів проекту на сторонній ресурс можливе лише за умови зазначення авторства та з посиланням на проект (ed-era.com, ed-era.com/books). Команда проекту EdEra вважає, що розробка справді якісного освітнього українського продукту – результат старанної, наполегливої, творчої та колективної роботи. Тому не будьте байдужими, долучайтесь до розвитку й облагороджування цього сервісу: Напрямки співпраці: * **Редагування.** Можливо, Ви знайшли якусь граматичну чи пунктуаційну помилку. Обов'язково сповістіть нам про це! Ми виправимо її. Маємо великий обсяг матеріалу на редагування. Будемо вдячні, якщо візьметесь за цю роботу. Пишіть нам на електронну пошту. * **Експертиза.** У роботі над освітніми продуктами команда й викладачі EdEra увесь час збирають відгуки та радяться з експертами в освітній галузі. Маєте будь-які зауваження, поради, доповнення до матеріалу? Обов'язково зв'яжіться з нами! Ми робимо все, щоб матеріал на проекті був максимально якісним, і не нехтуємо експертною допомогою. **Email:** **Phone:** +380 63 380 60 42 * **Матеріальна допомога.** Проект розробляється власними силами команди та небайдужих людей. Це великий, але, на нашу думку, дуже важливий для українського освітнього простору, обсяг роботи. Навіть невеликий внесок зможе допомогти прискорити і стабілізувати процес розробки та розвитку проекту. # Одновимірна кінематика ## Одновимірна кінематика *Насамперед, радимо вам звернути увагу на розділ* [*Додатки*](/trigonometry)*. Там для початку ви матимете можливість переглянути теми, які стосуються тригонометрії та векторів. Ці знання вам обов'язково знадобляться для подальшого опанування матеріалу.* **Зміст розділу:** * [Одновимірна кінематика](/1vstup) * [Механічний рух](/1vstup/2mehanichnii_ruh) * [Основні поняття механічного руху / одновимірної кінематики](/1vstup/3osnovni_ponyattya) * [Рівномірний прямолінійний рух](/1vstup/4shlyah_ta_shv) * [Вiдноснiсть швидкостей та перемiщень](/1vstup/4shlyah_ta_shv/5vidnosnist) * [Проекцiя вектора](/1vstup/4shlyah_ta_shv/6proektsiya_vektora) * [Рiвняння руху](/1vstup/4shlyah_ta_shv/7rivnyannya_ruhu) * [Проекцiя швидкостi та перемiщення](/1vstup/4shlyah_ta_shv/8proektsiya) * [Середня швидкiсть](/1vstup/4shlyah_ta_shv/9serednya_shvidkist) * [Рiвноприскорений прямолiнiйний рух](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh) * [Миттєва швидкiсть](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/2miteva_shvidkist) * [Прискорення та гальмування](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/3priskorennya) * [Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/4rivnyannya) * [Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння](/1vstup/5vertikalnii) ## Вступ до кінематики **Механіка** – наука про механiчний рух матерiальних тiл, їх рiвновагу та взаємодiю мiж ними. Розділи механіки: * **Кiнематика** – наука, що розглядає механiчний рух, не цiкавлячись причинами, що його зумовили. * **Динамiка** – наука, що розглядає причини виникнення механiчного руху. Ще більше відеоматеріалів в [онлайн-курсі](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/p102/P102/about) від розробників цієї книги [Перейти на курс](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/p102/P102/about) # Механічний рух Визначення **Механiчний рух** – це змiна з часом положення тiла вiдносно iншого тiла – тіла відліку. **Система вiдлiку (СВ)** складається з тiла вiдлiку **(ТВ)**, пов’язаної з ним системи координат та засобу вимiрювання часу. **У SI (Міжнародна система одиниць):** * Довжина – м (метр) * Час – с (секунда) **Механічний рух буває трьох типів** $$\Rightarrow$$ ![](/files/-LWNRFZlphmC36Li0W4u) Рис.2: Види механiчного руху: поступальний, обертальний, коливальний. * Поступальний – рух тiла, при якому будь-який вiдрiзок, пов’язаний з тiлом, залишається паралельним самому собi. На рис.2 $$AB \parallel A^\prime B^\prime$$ * Обертальний – рух, за якого всi точки тiла описують кола, центри яких лежать на однiй прямiй – на **осi обертання**. * Коливальний – рух, за якого є повторення положення з часом. Приклади: маятник, коливання струму в електричному колi тощо. Який рух є поступальним? Рух бумеранга Рух скейтера, який їде прямо Бумеранг під час свого руху обертається, що не підходить під визначення поступального руху. # Основні поняття одновимірної кінематики Визначення **Матерiальна точка (МТ)** – це тiло, розмiрами якого в задачi можна знехтувати. Тодi рух всього тiла ми можна представити, як рух однiєї точки. **МТ** застосовується в кiнематицi i значно спрощує розв’язання задач.
Наприклад, розгляньмо рух автомобiля мiж двома мiстами, розташованими на відстані 100 км одне від одного. Нам не важливо, яка висота чи довжина автомобiля, щоб розглядати характеристики часу, за який автомобiль проходить цю вiдстань. ![](/files/-LWNRBa32Gqg5vm9yxKV) * Траєкторiя – лiнiя, вздовж якої рухається тiло. * Шлях – довжина траєкторiї. * Вектор перемiщення тiла – [вектор](/trigonometry/vector1), що сполучає точку початку та кiнця руху. Модуль вектора перемiщення $$(|\vec{S\_{}}|)$$ (вiдстань вiд початкової до кiнцевої точки) є також найкоротшим шляхом. **Модуль перемiщення тiла по замкнутiй траєкторiї дорiвнює нулеві.** Задача 1 **ПЕТРО ТА КОМАХА** Усi ми бачили, як дивно рухаються комахи, а вже вiдомий нам з відео Петро присвятив цьому аж 10 секунд свого життя. Ще й замалював траєкторiю руху мурахи $$(A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F)$$. Допоможiть йому визначити шлях (довжину траєкторії) та модуль перемiщення за час спостереження, якщо розмiр клiтинки у сiтцi, яку вiн використовував, становить 1 см x 1 см. Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати ![](/files/-LWNRBa5eTKZca9Vptyh) ![](/files/-LWNRBa7tAU38uIwRssq)**Розв’язання.**Траєкторія складається з відрізків $$AB, BC, CD, DE$$ та $$EF$$. Переміщення – вектор $$\vec{AF}$$. Довжини цих відрізків ми знайдемо за допомогою простих теоретичних міркувань та теореми Пiфагора. Вiдрiзок AB – це гiпотенуза прямокутного трикутника, в якого, як видно з рисунка, один із катетiв дорівнює $$1$$ см, а другий – $$2$$ см. Отже, за теоремою Пiфагора:\\\[AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} = 2.24 \thinspace \text{см}\\] Аналогiчно для iнших вiдрiзкiв шляху: $$BC = 5.10$$ см, $$CD = 2$$ см, $$DE = 3.16$$ см, $$EF = 4.24$$ см.**Отже**, повний шлях, який подолала комаха за 10 с спостереження, становитиме:$$l = AB + BC$$$$ + CD + DE$$$$ + EF =$$$$ 16.74 \thinspace \text{см}$$\ За час спостереження мураха перемiстилася з точки $$A$$ в точку $$F$$, вибравши, однак,\ не найкоротший шлях:\\\[|\vec{S\_{ }}| = |\vec{AF}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = 2.24 \thinspace \text{см}\\]**Вiдповiдь.** ![](/files/-LWNRBa9RCEVHhBwjRmb)Повний шлях, що подолала комаха за 10 секунд спостереження, складатиме:$$l = AB + BC$$$$ + CD + DE$$$$ + EF =$$$$ 16.74 \thinspace \text{см}$$\ За час спостереження мураха перемiстився з точки $$A$$ в точку $$F$$, вибравши при цьому\ не найкоротший шлях:\\\[|\vec{S\_{ }}| = |\vec{AF}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = 2.24 \thinspace \text{см}\\] У якому випадку можна вважати тiло матерiальною точкою? Двi шестернi обертаються у механiзмi годинника. Автомобiль їде з Києва до Харкова Шестерні в годиннику схожі за розмірами з самим годинником, а розміри автомобіля на трасі Київ-Харків є нехтовно малими. # Рівномірний прямолінійний рух ## Рівномірний прямолінійний рух ## Шлях та швидкість Визначення **Рiвномiрний прямолiнiйний рух** – рух, під час якого тiло за будь-які однаковi промiжки часу здiйснює однаковi перемiщення
**Швидкiсть рiвномiрного прямолiнiйного руху** – вектор, який дорiвнює вiдношенню перемiщення до промiжку часу, за який це переміщення було здiйснено.\ \\\[\vec{\upsilon}=\dfrac{\vec{S\_{}}}{t}\\] У **SI** – м/с При рiвномiрному прямолiнiйному русi: * Швидкість постійна – $$\vec{\upsilon} = const$$ (лат. constanta – постійна). Відповідно, прискорення – $$\vec{a} = 0$$. * Траєкторiя руху – пряма лiнiя $$\rightarrow$$ модуль перемiщення збігається зi шляхом $$| \vec{S\_{}}| = l$$ ![](/files/-LWNRFWgNVAM27JGzHq7) На рисунку зображена залежнiсть пройденого шляху вiд часу $$l(t)$$. За рівномірного прямолінійного руху: | $$l = \upsilon t$$ | | ------------------ | Подивiмось на графік: * **Перша пряма**: щосекунди пройдений шлях збiльшується на два метри. * **Друга пряма**: кожної наступної секунди пройдений шлях збiльшується на метр. * **Третя пряма**: кожної наступної секунди пройдений шлях збiльшується на пiвметра. $$\upsilon\_1 > \upsilon\_2 > \upsilon\_3$$ Що бiльше швидкiсть руху $$\upsilon$$, то бiльший кут нахилу прямої $$l(t)$$.\ Розберiмося з кутом нахилу прямої $$l(t)$$ детальніше для другого випадку. ![](/files/-LWNRFWiHnQOrgUJXEAK) **Формульно**: тiло пройшло шлях 5 метрiв за 5 секунд $$\Rightarrow$$\ $$\upsilon=\dfrac{l}{t}=\dfrac{5}{5}=1$$ **Геометрично**: прямокутний трикутник з катетами, величина кожного з яких дорівнює 5 м . З визначення тангенса кута в прямокутному трикутнику: тангенс гострого кута – це вiдношення протилежного катета $$(l)$$ до прилеглого $$t \thinspace \Rightarrow$$
$$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{l}{t} =1, \ \alpha = 45^\circ$$
Додатково **Зв'язок з похідною** Можливо, дехто з вас уже знає, що таке похiдна та як її застосовувати. Геометричне означення похiдної – тангенс кута нахилу дотичної до функцiї. Загалом проекцiя швидкостi дорiвнює похiднiй вiд функцiї змiни координати з часом. У додаткових матерiалах до курсу є уривок лекцiї з математики про похідну. ![](/files/-LWNRFWkh8o-vFWOoSZ7) Графiк залежностi модуля швидкостi вiд часу $$\upsilon(t)$$ для трьох випадкiв. Швидкiсть при рiвномiрному прямолiнiйному русi не змiнюється з часом. Отже, це просто пряма лiнiя, паралельна осi часу. Задача 2 **СКЕЙТЕР ТА ВЕЛОСИПЕДИСТ** У школі Микола i Петро посварилися. На перерві Петро тихо вийшов на вулицю, взяв свого скейта i зі сталою швидкістю поїхав додому прямою дорогою. За пів години Микола дiзнався, що Петро поїхав, i, сiвши на свого велосипеда поїхав наздоганяти його зi швидкiстю вдвічі бiльшою за швидкiсть Петра. В результатi Микола наздогнав Петра якраз бiля домiвки. Вiдстань вiд школи до Петрового дому $$15$$ км. Визначіть швидкості, з якими рухалися обидва хлопці. **Дано:** $$ S = 15 \thinspace \text{км}, \ t\_1 =0.5 \thinspace \text{год}, \ \upsilon\_2 = 2\upsilon\_1. $$ **Знайти:** $$ \upsilon\_1, \ \upsilon\_2$$ Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRFWm4IeMsbIk9coy)![](/files/-LWNRFWon9fiTh4KrEek)**Розв’язання.**Нехай $$S\_2$$ - вiдстань, яку проїхав Петро за пiвгодини.\\\[ S\_2 = \upsilon\_1 t\_1 \\]Час руху скейтера на дiлянцi $$S - S\_2: \ t=\dfrac{S-S\_2}{\upsilon\_1}$$.Замінивши $$S\_2$$, маємо:\\\[ t = \dfrac{S - \upsilon\_1 t\_1}{\upsilon\_1} \\]Час руху велосипедиста:\\\[ t = \dfrac{S}{\upsilon\_2} \\]З умови $$\upsilon\_2 = 2\upsilon\_1$$:\\\[ t = \dfrac{S}{2\upsilon\_1} \\]За умовою, Микола наздогнав Петра бiля дому $$\rightarrow$$ можна прирiвняти час руху велосипедиста і скейтера:\\\[ \dfrac{S-\upsilon\_1 t\_1}{\upsilon\_1} = \dfrac{S}{2\upsilon\_1} \Rightarrow S - \upsilon\_1 t\_1 = \dfrac{S}{2}\\] А звiдси вже легко одержати швидкiсть:\\\[\upsilon\_1 = \dfrac{S}{2t\_1} = \dfrac{15}{2\cdot 0.5} = 15\thinspace (\text{км/год}) \\]\\\[\upsilon\_2 = 2\upsilon\_1 = 30 \thinspace (\text{км/год})\\]**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRFWqWbS74hhCkShK)\\\[\upsilon\_1 = \dfrac{S}{2t\_1} = \dfrac{15}{2\cdot 0.5} = 15\thinspace (\text{км/год}) \\]\\\[\upsilon\_2 = 2\upsilon\_1 = 30 \thinspace (\text{км/год})\\] Петро дуже полюбляє плавати в басейні. Зазвичай, він пропливає тричі туди і назад уздовж басейну. Чому дорівнює переміщення та шлях Петра, якщо довжина басейну 50 м? 300 і 300 0 і 50 0 і 300 300 і 0 Переміщення визначається початковою і кінцевою точками руху.\ Якщо тіло повертається в те ж місце, звідки починало свій рух, то його переміщення дорівнює нулеві.\ Пройдений шлях – це відстань, яку проплив Петро за весь час $$\rightarrow$$ 300 м. # Вiдноснiсть швидкостей та перемiщень Як вже зазначалося, рух та все, що з ним пов’язане – поняття вiдносне. Саме тому було введено поняття «**система вiдлiку**» та «**тiло вiдлiку**». Для того, щоб легко зрозуміти перехід від однієї системи відліку до іншої, розглянемо такий приклад. Микола рухається у рухомiй системi вiдлiку – в потязi зi швидкiстю та перемiщенням **Миколи/потяга**. Потяг (рухома система вiдлiку) має швидкiсть i перемiщення вiдносно нерухомої системи вiдлiку – землi з позначеннями потяга/землi. Тодi встановити рух Миколи вiдносно землi можна за допомогою суми цих двох векторiв. ![](/files/-LWNRCMdhDOUUWoMzM6_) Для подiбних задач рекомендуємо вам використовувати такий вид позначень, як зображено вище. Тоді ви не заплутаєтесь, розв’язуючи такі задачі. Задача 3 **ПЕТРО ТА РIКА ДЕСНА** Одного разу Петро вирiшив перепливти Десну. Вiн поплив перпендикулярно до течiї рiки та берегової лiнiї. Петро хотiв потрапити в ту точку, на яку взяв курс, але, нажаль, його ззнесла течія. На яку вiдстань вiд бажаної точки знесло Петра та який шлях вiн подолав? Ширина рiчки – $$50$$ м. Швидкiсть течiї рiчки – $$3$$ км/год. Зазвичай Петро плаває у басейнi зi швидкiстю $$4$$ км/год. **Дано:** $$\upsilon\_{п/р} = 4 \thinspace \text{км/год}, \ \upsilon\_{п/з} = 3 \thinspace \text{км/год}, \ l = 50 \thinspace \text{м} = 0.05 \thinspace \text{км}$$ **Знайти:** $$ d, \ L$$ Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRCMkn8sied21ex26)![](/files/-LWNRCMrOOCXTJ_9EWHJ)**Розв’язок.**Для початку знайдемо, скiльки часу витратив Петро. \\\[t=\dfrac{|\thinspace \vec{S\_{}}\_{п/р} \thinspace|}{|\thinspace \vec{\upsilon}\_{п/р} \thinspace|} = \dfrac{l}{\upsilon\_{п/з}} = 0.05/4 = 0.0125 \thinspace (\text{год}) \\]Зауважмо, що незалежно вiд швидкостi течiї, час, який витратив би Петро не змiнився. Це вiдбувається тому, що швидкiсть течiї в цьому випадку ніяк не впливає на швидкiсть з якою пливе Петро у перпендикулярному до течії напрямку. Змiнюється шлях, напрямок руху тiла та його швидкiсть, але не величина перпендикулярної компоненти.Вiдстань, на яку знесло Петра:\\\[ d = \upsilon\_{\text{р/з}}t = 3 \cdot 0.0125 =0.0375 \thinspace \text{км} = 37.5 \thinspace \text{м}\\]Шлях, який проплив Петро можна знайти двома способами:Знайти кінцеву швидкiсть Петра i помножити на час $$t$$:\ $$ \vec{\upsilon}\_{п/з} =$$$$ \vec{\upsilon}\_{п/р} + \vec{\upsilon}\_{р/з} \Rightarrow $$ $$\upsilon\_{п/з} =$$$$ \sqrt{(\vec{\upsilon}\_{п/р})^2 + (\vec{\upsilon}\_{р/з})^2} =$$$$ \sqrt{3^2 +4^2} =$$$$ 5 \thinspace (м/с) $$$$ L = \upsilon\_{п/з}t = 5 \cdot 0.0125 = 0.0625 \thinspace \text{км} = 62.5 \thinspace \text{м}$$Через вiдомi модулi перемiщень (формула аналогiчна):$$L = \sqrt{l^2 + d^2} = \sqrt{50^2 +37.5^2}$$$$ = \sqrt{3906.25} = 62.5 \thinspace \text{м}$$**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRCMtKQZVKReTcUmI)Шлях, який проплив Петро можна знайти двома способами:Знайти результуючу швидкiсть Петра i помножити на час $$t$$:\ $$ L = \upsilon\_{п/з}t = 5 \cdot 0.0125 = 0.0625 \thinspace \text{км} = 62.5 \thinspace \text{м}$$Через вiдомi модулi перемiщень:\ $$L = \sqrt{l^2 + d^2} = \sqrt{50^2 +37.5^2}$$$$ = \sqrt{3906.25} = 62.5 \thinspace \text{м}$$ Озером перпендикулярно один до одного пливуть два човни зі швидкостями 3 м/с та 4 м/с відносно берега. Яка швидкість першого човна відносно другого? 5 0 3 1 ![](https://pp.vk.me/c622718/v622718986/b0be/uqNLXRNM8Lc.jpg) Нехай швидкість першого човна $$\vec{\upsilon}\_1 = 3 \thinspace м/с$$, другого – $$\vec{\upsilon}\_2 = 4 \thinspace м/с$$. Відносну швидкість човнів $$\vec{\upsilon}$$ можна знайти за правилом паралелограма для суми векторів $$\vec{\upsilon} = \vec{\upsilon}\_1 + \vec{\upsilon}\_2$$. Модуль (величину) цієї швидкості в цій задачі можна знайти за теоремою Піфагора, оскільки човни рухаються перпендикулярно один до одного: $$|\thinspace \vec{\upsilon} \thinspace| = \sqrt{(\vec{\upsilon}\_1)^2 + (\vec{\upsilon}\_2)^2}$$ $$|\thinspace \vec{\upsilon} \thinspace| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\thinspace м/с$$ # Проекцiя вектора Щоб вмiло працювати з векторами та складними задачами, пов’язаними з ними, вводять систему координат. У школi використовують прямокутну Декартову систему координат. Залежно вiд кiлькостi вимiрiв у задачi iснує мiнiмальна кiлькiсть осей, за допомогою яких можна однозначно задати всi необхiднi параметри векторiв. Наприклад, якщо рух здiйснюється вздовж прямої лiнiї, то достатньо ввести одну вiсь i розглядати рух вздовж цiєї осі. Якщо задача двовимiрна, то потрiбно вводити двi осі. Якщо ми маємо справу з задачею у тривимірному просторі, то потрiбно вводити три осi. Пiсля того як введена система координат, починають розглядати проекцiї векторiв на цi осі. Визначення **Проекцiя вектора на вiсь** — це довжина вiдрiзка, який сполучає проекцiю на вiсь точки початку вектора та кiнця вектора.
Проекцiя вектора $$\vec{\upsilon}$$ на вісь $$x:$$ \\\[ \upsilon\_x= | \thinspace \vec{\upsilon} \thinspace |\cos(\alpha) \\] ![](/files/-LWNRChoQjROLf9J7trB) Залежно вiд кута $$\alpha$$, проекцiя може бути вiд’ємною, додатньою або дорiвнювати нулевi (якщо вектор перпендикулярний осі). ![](/files/-LWNRChszVEINhGDanZI) Наступна тема – рiвняння руху, яке вже розглядають з погляду проекцiї на вiсь. Важливо, що осі для конкретної задачi обираються по-рiзному. Наприклад, проекцiя швидкостi може бути i додатньою, i вiд’ємною, те ж саме вiдбувається i з координатами. Водночас швидкiсть i шлях — це фiзичнi величини, вони завжди додатнi. Дуже важливо не плутати цi поняття. # Рiвняння руху У цiй темi повнiстю переходимо на проекцiйну термiнологiю. а рівномірного прямолінійного руху логічно розглядати рух вздовж осі. Ми розглядатимемо рух вздовж осі $$x$$. Визначення **Проекцiя перемiщення на вiсь $$x:$$**\ \\\[S\_x = \upsilon\_x t\\] **Рiвняння рiвномiрного прямолiнiйного руху**\ $$x$$ - координата тіла;\ $$x\_0$$ - початкова координата на момент початку відліку часу;\ $$\upsilon\_x$$ - проекцiя швидкостi на вiсь $$x$$. ![](/files/-LWNRCdoA4sjswZYUoMe) Задача 4 **ПЕТРО ТА СОБАКА** Петро тiкає вiд собаки. Хлопець такий наляканий, що навiть не озирається i не бачить, чи наздоганяє його пес. Вiн знає лише, що рiвняння його руху $$x\_1 = 20 + 10t$$, а рiвняння руху собаки $$x\_2 =-5 + 15t$$. Побудуйте графiки $$x(t)$$ та $$\upsilon\_x(t)$$ для обох тiл. Чи наздоганяє собака хлопця? Якщо так, за який час вiн його наздожене? Якщо до Петрової домівки залишилось 40 метрiв, чи встигне вiн заскочити у дверi та сховатися вiд тварини? Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRCdqvBafYEVj16hW)![](/files/-LWNRCds3Ec9FGkFtgNq)**Розв’язок.**Рiвняння руху має такий вигляд\\\[x = x\_0 + \upsilon\_x t \Rightarrow\\]\\\[\Rightarrow \upsilon\_{1x} = 10 \thinspace \text{м/с}, \ \upsilon\_{2x} = 15 \thinspace \text{м/с}\\]Отже, собака наздожене Петра.У момент, коли собака наздожене Петра, вони перебуватимуть на однiй координатi. Можна прирiвняти рiвняння руху $$x\_1 = x\_2$$.\\\[20 + 10 t = -5 + 15t \Rightarrow \boxed{t= 5\thinspace c}\\]Собака наздожене Петра через 5 секунд. За 5 секунд Петро може пробiгти:\\\[\upsilon\_{1x} t = 10 \cdot 5 = 50 \thinspace \text{м}\\]Все ж таки хлопцю сьогоднi пощастило i вiн встигне дiстатися своєї домiвки цiлим та неушкодженим.**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRCduO7XqoURd3rfb)Собака наздожене Петра за:\\\[20 + 10 t = -5 + 15t \Rightarrow \boxed{t= 5\thinspace c}\\]За цей час Петро може пробiгти:\\\[\upsilon\_{1x} t = 10 \cdot 5 = 50 \thinspace \text{м}\\]Все ж таки хлопцеві сьогоднi пощастило, i вiн встигне дiстатися своєї домiвки цiлим та неушкодженим. Два велосипедисти вирішили дізнатися, хто з них швидший. Для цього вони вибрали трасу завдовжки 100 м. На жаль, під час старту у другого велосипедиста злетів ланцюг і поки він його лагодив, перший велосипедист встиг проїхати 24 м. Рівняння руху першого велосипедиста $$x\_1 = 24 + 5t$$, другого – $$x\_2 = 7t$$. На якій секунді другий велосипедист наздожене першого? 12 8 24 16 Знаючи рівняння руху кожного з велосипедистів, ми можемо прирівняти їх та знайти час, коли другий велосипедист наздожене першого.$$24 + 5t =$$$$ 7t \Rightarrow 2t =$$$$ 24 \Rightarrow t =$$$$ 12 \thinspace (\text{с})$$ # Проекцiя швидкостi та перемiщення Ви вже знаєте, формулу проекцiї перемiщення на вiсь $$x: \ S\_x =$$$$\upsilon\_x t$$. Iнформацiю про перемiщення дуже зручно одержати з графiка $$\upsilon\_x(t)$$. Наприклад, нам потрiбно знайти перемiщення тiла, яке тіло здійснило з другої по четверту секунду, рухаючись з $$\upsilon\_x$$ = 2м/с. З формули одержуємо: $$S\_x =$$$$\upsilon\_x (t\_2 - t\_1) =$$$$2 \cdot(4-2) =$$$$4 \thinspace \text{м}.$$ ![](/files/-LWNRBsAfgXzyabv5Uif) Із графiка видно, що проекцiя перемiщення на вiсь $$x$$ дорiвнює площi прямокутника, обмеженого лiнiєю $$\upsilon\_x=2$$ та лiнiями $$t= t\_1 = 2, \ t= t\_2 =4$$. Додатково Взагалi проекцiя перемiщення на вiсь завжди дорiвнює площi, що обмежена графiком проекцiї швидкостi на цю вiсь та лiнiями $$t = t\_1, \ t=t\_2$$. У випадку нерiвномiрного руху, ця площа вже не буде прямокутником. Наприклад, у наступнiй лекцiї ви дiзнаєтеся про рiвноприскоренний прямолiнiйний рух і в цьому випадку площа буде трикутником. В контексті складнішого руху, за якого прискорення нерiвномiрне, площа обчислюється за допомогою iнтегралу. Навряд чи у вас будуть такi задачi на ЗНО, але в унiверситетi – обов’язково. ![](/files/-LWNRBsCVKLkv6Yb4pV4) На рисунку представлено графiк залежностi модуля швидкостi $$\vec{\upsilon}$$ мотоцикла вiд часу t. Визначте за графiком шлях, який пройшов мотоцикліст, в iнтервалi часу вiд 5 до 15 с. 150 200 225 На вказаному проміжку швидкість постійна, отже необхідно знайти площу звичайного прямокутника: $$S\_x=$$$$\upsilon\_x(t\_2-t\_1)=$$$$20\cdot(15-5)=$$$$200 \thinspace м$$ # Середня швидкiсть У школi та на ЗНО розглядають види задач, якi не мають аналога у реальному життi, але кориснi для засвоєння матерiалу. Так званий кусково-рiвномiрний рух. Розглядається рух тiла, під час якого стрибкоподiбно змiнюється швидкiсть. Наприклад, тiло стояло 2 с, потiм 3 с рухалось зi швидкiстю 2 м/с, потiм 2 с – зi швидкiстю 3 м/с. Виглядає це так: ![](/files/-LWNRCp7QB7T-EMxhbZY) Очевидно, що середня швидкiсть у данiй задачi не дорiвнює середньому арифметичному трьох швидкостей: $$\upsilon\_{сер} \not= $$$$ \dfrac{0 + 2 + 3}{3} = \dfrac{5}{3}$$ Визначення **Ceредня швидкiсть:** $$\vec{\upsilon}\_\text{сер} = \dfrac{\vec{S}\_\Sigma}{t\_\Sigma} = \dfrac{\vec{S}\_1 + \vec{S}\_2 + \cdots + \vec{S}\_n}{t\_1+ t\_2 + \cdots +t\_n}$$ **Ceредня шляхова швидкiсть:** $$\upsilon\_\text{сер} =\dfrac{l\_\Sigma}{t\_\Sigma} =\dfrac{l\_1 + l\_2 + \cdots + l\_n}{t\_1+ t\_2 + \cdots +t\_n}$$ Тодi для даної задачi: * **Промiжки часу:** $$t\_1 = 2 \thinspace c,\quad t\_2 = 3 \thinspace c,\quad t\_3 = 2 \thinspace c$$ * **Промiжки шляху:** $$ l\_1 = \upsilon\_1 t\_1,\quad l\_2 = \upsilon\_2t\_2,\quad l\_3 = \upsilon\_3t\_3$$ Середня швидкiсть: $$\upsilon\_\text{сер} $$$$= \dfrac{l\_1 +l\_2+l\_3}{t\_1+t\_2+t\_3}= \dfrac{0\cdot2+ 2\cdot 3 + 3\cdot 2}{2+3+2}=\dfrac{12}{7}=1\dfrac{5}{7}$$ Петро пробiг $$100$$ метрiв за $$15$$ секунд. Потiм зупинився перепочити на $$10$$ секунд, потім ще $$15$$ секунд бiг зi швидкiстю $$5$$ м/с. Яка середня швидкiсть Петра? $$4,5$$ м/с $$4,375$$ м/с $$4,2$$ м/с $$4$$ м/с Проміжки пройдених шляхів $$l\_1 = 100\\,\text{м},\\,\\,\\, l\_2 = 0\\,\text{м},\\,\\,\\, l\_3 = \upsilon\_3t\_3 = 5\cdot15 = 75\\,\text{м}$$ Cередня швидкість $$\upsilon\_\text{сер} = \dfrac{l\_1 + l\_2 + l\_3}{t\_1 + t\_2 + t\_3} = \dfrac{100 + 0 +75}{15 + 10 + 15} = \dfrac{175}{40} = 4,375 \\,\text{(м/с)}$$ # Рiвноприскорений прямолiнiйний рух У попередній лекції ми з вами розглядали рівномірний прямолінійний рух. Швидкість була постійною, а якщо і змінювалася під час руху, то тільки стрибкоподібно (кусково-рівномірний рух). Звичайно, в реальному житті швидкість не змінюється ривками. Натискаючи педаль газу в автомобілі, ви спостерігаєте поступове збільшення швидкості, а не моментальний стрибок на 80 км/год. За зміну швидкості відповідає **прискорення**. Цей розділ присвячено рівноприскореному прямолінійному рухові, де ми ознайомимося з цією величиною та навчимося з нею працювати.\ \ **Зміст розділу:** * [Миттєва швидкiсть](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/2miteva_shvidkist) * [Прискорення та гальмування](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/3priskorennya) * [Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху](/1vstup/1rivnopriskorenii_ruh/4rivnyannya) # Миттєва швидкiсть За рівномірномого прямолінійного руху проекцію швидкості на вісь знаходимо з простої формули: $$\upsilon\_x = \dfrac{S\_x}{t}$$ Така формула дає правильний результат, оскільки швидкість протягом усього руху не змінюється. З іншого боку, в реальних задачах часто трапляється рух зі змінною швидкістю. Наприклад, маємо графік $$x(t)$$. ![](/files/-LWNRCZ-sCXNPRMFfv-D) Тут швидкість різна у різні моменти часу. Якщо ви уважно читали попередню лекцію, то пам’ятаєте, що кут нахилу прямої $$x(t)$$ визначає величину проекції швидкості $$\upsilon\_x$$. Наприклад, тут нахил прямої різниться для кожної з точок **1, 2, 3**. Уважно подивимось на кожну з точок: ![](/files/-LWNRCZ1bBoMtsd0ODJr) Кути між дотичними до графіка $$x(t)$$ у даних точках та вісь часу визначають миттєву швидкість. Операція, яка дає змогу знайти кут нахилу дотичної до графіка називається **похідною** (похідна детальніше буде вивчатися в курсі з математики). Не страшно, якщо ви не знаєте поки цієї термінології, головне, щоб ви розуміли фізичну суть на даному етапі. Визначення **Миттєва швидкість** – швидкість тіла в певний момент часу в певній точці траєкторії.$$\upsilon\_x=\lim\limits\_{\Delta t\to 0}^{} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}=x^\prime(t)$$ $$\upsilon\_x=\lim\limits\_{\Delta t\to 0}^{} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$$ означає, що миттєва швидкість визначається, як і для прямолінійного рівномірного руху, переміщенням, поділеним на час Але оскільки $$x(t)$$ у даному випадку не пряма лінія, ми досліджуємо окіл точки, в якій хочемо визначити швидкість (дуже маленький проміжок часу і відповідно маленький проміжок $$\Delta x$$). Окіл точки – наближення до прямої лінії, отже, поділивши $$\Delta x$$ на $$\Delta t$$ в околі, визначимо швидкість у цій точці. У ЗНО від вас не вимагається виконувати такі операції, але розуміння процесу - обов’язкове. # Прискорення та гальмування Визначення **Рівноприскорений прямолінійний рух** – рух, під час якого за будь-які однакові проміжки часу швидкість тіла змінюється на однакові величини. **Прискорення рівноприскореного прямолінійного руху** – векторна величина, яка дорівнює відношенню зміни швидкості тіла до проміжку часу, за який ця зміна відбулася:\ \ $$\vec{a} = \dfrac{\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon}\_0}{\Delta t}$$
У системі SI – $$\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$$ Під час рівноприскореного прямолінійного руху: 1. Прискорення постійне – $$\vec{a}=const$$ 2. Проекція швидкості – пряма лінія, кут нахилу якої визначає прискорення: $$\upsilon\_x(t)=\upsilon\_{0x}+a\_xt$$ ![](/files/-LWNRCDxCd7v9WBSxQ-x) На рисунку зображено зміну швидкості на $$1$$ м/с кожної наступної секунди. Побудуймо відповідний графік залежності проекції швидкості від часу $$\upsilon\_x(t)$$: ![](/files/-LWNRCDzg54dx16YECIE) Початкова швидкість, з якої ми почали розглядати рух $$\upsilon\_{0x}= 1$$ м/с $$\rightarrow$$ графік починається з точки $$(0,1)$$. Кут нахилу прямої $$\upsilon\_x(t)$$ визначає прискорення (аналогічно до визначення швидкості із графіку $$x(t)$$). Що більший нахил прямої $$\boldsymbol \upsilon\_x(t)$$, **то більше прискорення** $$\boldsymbol a\_x$$**.** Зв’язок з похідною Ви вже помітили схожість у визначенні проекції швидкості, як тангенса кута нахилу прямої $$x(t)$$, з визначенням проекції прискорення, як тангенса кута нахилу прямої $$\upsilon\_x(t)$$. Похідна взагалі вказує на швидкість зміни величини. Проекція швидкості – це швидкість зміни координати, а проекція прискорення – це швидкість зміни проекції швидкості. У школі розглядається тільки рівноприскорений рух, але якщо б прискорення було змінним, то знадобилося б означення **миттєвого прискорення**, аналогічно до миттєвої швидкості, і виражалося б воно так: $$a\_x=\lim\limits\_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta \upsilon\_x}{\Delta t}=\upsilon\_x^\prime (t)=x^{\prime \prime}(t)$$ Отже, проекція швидкості – похідна від координати, проекція прискорення – похідна від проекції швидкості. А в курсі математики ви ще ознайомитесь з визначенням другої похідної, тобто «похідної від похідної» (саме це і зображує $$x^{\prime \prime}(t)$$). Задача 1 **РОБОТА З ГРАФІКАМИ** Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRCE2NYA2cWQVToyF)**Розв’язання.** Розгляньмо кожну ділянку окремо:**Перша** ($$t\_1 = 0 \thinspace \text{c}, t\_2 = 3 \thinspace \text{c}$$).Проекція прискорення:\\\[a\_{1x} = -2 \thinspace \dfrac{\text{м}}{\text{c}^2}\\]Тоді рівняння швидкості:\\\[\upsilon\_{1x}=\upsilon\_{0x}+a\_{1x}t=2-2t\\]Проекція швидкості через три секунди руху:\\\[\upsilon\_{1x}(3)=-4 \thinspace \dfrac{\text{м}}{\text{c}}\\]**Друга** ($$t\_1 = 3 \thinspace \text{c}, t\_2 = 5 \thinspace \text{c}$$).Проекція прискорення:\\\[a\_{2x} = 4 \thinspace \text{м/c}^2\\]Тоді рівняння швидкості:\\\[\upsilon\_{2x}=\upsilon\_{1x}+a\_{2x}t=-4+4t\\]Проекція швидкості за три секунди руху:\\\[\upsilon\_{2x}(2)=4 \thinspace \text{м/c}\\]**Третя** ($$t\_1 = 5 \thinspace \text{c}, t\_2 = 9 \thinspace \text{c}$$).Проекція прискорення:\\\[a\_{3x} = 1 \thinspace \text{м/c}^2\\]Тоді рівняння швидкості:\\\[\upsilon\_{3x}=\upsilon\_{2x}+a\_{3x}t=4+t\\]Проекція швидкості за чотири секунди руху:\\\[\upsilon\_{3x}(4)=8 \thinspace \text{м/c}\\]**Вiдповiдь.**Визначимо формулу швидкості для кожної з ділянок:**Перша** ($$t\_1 = 0 \thinspace \text{c}, t\_2 = 3 \thinspace \text{c}$$).\\\[\upsilon\_{1x}=\upsilon\_{0x}+a\_{1x}t=2-2t\\]**Друга** ($$t\_1 = 3 \thinspace \text{c}, t\_2 = 5 \thinspace \text{c}$$).\\\[\upsilon\_{2x}=\upsilon\_{1x}+a\_{2x}t=-4+4t\\]**Третя** ($$t\_1 = 5 \thinspace \text{c}, t\_2 = 9 \thinspace \text{c}$$).\\\[\upsilon\_{3x}=\upsilon\_{2x}+a\_{3x}t=4+t\\]![](/files/-LWNRCE4jRZAYNy30jze) # Рiвняння рiвноприскореного прямолiнiйного руху Розглядаючи рівномірний прямолінійний рух, ми з вами встановили, що площа фігури, обмеженої графіком $$\upsilon\_x(t)$$, віссю часу та лініями $$t=t\_1$$ і $$t=t\_2$$, дорівнює проекції переміщення, яке здійcнило тіло за цей проміжок часу. Погляньмо на площу потрібної фігури на графіку $$\upsilon\_x(t)$$ для рівноприскореного прямолінійного руху. ![](/files/-LWNRFTyHT1qoSEzX3Sw) Проекція переміщення: $$S\_x = S\_{\text{трикутника}} + S\_{\text{прямокутника}}$$ $$S\_{\text{трикутника}} = \dfrac{h\cdot a}{2}$$ $$= \dfrac{(\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})(t\_2-t\_1)}{2}$$ $$=\dfrac{(\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})\Delta t}{2}$$ $$= \dfrac{(\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})\Delta t\cdot\Delta t}{2\Delta t}$$ $$=\dfrac{a\Delta t^2}{2}$$ $$S\_{\text{прямокутника}} = (\upsilon\_x-\upsilon\_{0x})(t\_2-t\_1)$$ $$=\upsilon\_{0x}(t\_2-t\_1)$$$$= \upsilon\_{0x}\Delta t \Rightarrow$$$$\boxed{S\_x=\upsilon\_{0x}\Delta t + \dfrac{a \Delta t^2}{2}}$$ Проекція переміщення дорівнює різниці між координатами початку руху і кінця руху $$\rightarrow S\_x=x - x\_0$$, підставляючи цей вираз у вираз для переміщення, отримуємо рівняння рівноприскореного прямолінійного руху. Визначення **Проекція переміщення на вісь $$x:$$** \\\[S\_x = \upsilon\_{0x}t +\dfrac{at^2}{2}\\] **Проекція швидкості на вісь $$x:$$** \\\[\upsilon\_x=\upsilon\_{0x}+at\\] **Рівняння рівноприскореного прямолінійного руху:** \\\[x(t)=x\_0+\upsilon\_{0x}t+\dfrac{at^2}{2}\\] $$x(t)$$ – координата тіла у момент часу $$t$$;\ $$x\_0$$ – початкова координата тіла;\ $$\upsilon\_{0x}$$ – проекція початкової швидкості на вісь $$x$$;\ $$a\_x$$ – проекція прискорення на вісь $$x$$. Як видно, залежність $$x(t)$$ – квадратична, тобто присутній член $$t^2$$. Вид цієї функції – параболічний (iз видами функцій ви можете детально ознайомитись в курсі з математики). Задача 2 **ГАЛЬМУВАННЯ АВТОМОБІЛЯ** Міністерство транспорту у м. Київ вирішило провести дослідження, як саме величина гальмівного шляху в залежить від швидкості автомобіля. Так як різні машини гальмують по-різному, було вирішено знайти відношення величин гальмівного шляху для двох різних початкових швидкостей $$\upsilon'\_{0x}$$ та\ $$\upsilon''\_{0x}$$, тобто $$\dfrac{l''}{l'}$$. Вважайте, що прискорення, з яким автомобіль рухається під час гальмування, однакове в обох випадках. **Дано:** $$\upsilon'\_{0x}, \ \upsilon''\_{0x}, \ a'\_x=a''\_x$$ **Знайти:** $$\dfrac{l''}{l'}$$ Схема Розв’язання Вiдповiдь ПриховатиСпрямуймо вісь $$x$$ у бік руху, тоді $$\upsilon\_{0x}>0, \ a\_x![](/files/-LWNRFU35XlKvYsqaWKZ)**Розв’язання.**Спрямуймо вісь $$x$$ у бік руху, тоді $$\upsilon\_{0x}>0, \ a\_x![](/files/-LWNRFU5RqhdWIi5X_gw)Нехай модуль прискорення дорівнює $$a$$. Тоді $$a'\_x=a''\_x=-a$$. Помістимо початок координат у точку, з якої починаємо досліджувати гальмування $$x\_0=0$$. Рівняння руху для обох випадків:\\\[l'=x'=\upsilon'\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}, \ l''=x''=\upsilon''\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\\]Щоб знайти час зупинки автомобіля, треба розв’язати рівняння швидкості (зупинка $$\rightarrow \upsilon\_x=0$$):\\\[\upsilon\_x=\upsilon\_{0x}-at \Rightarrow 0=\upsilon\_{0x}-at\Rightarrow t=\dfrac{\upsilon\_{0x}}{a}\\]Підставимо час у рівняння залежності координати від часу:\\\[x=\upsilon\_{0x}\cdot\dfrac{\upsilon\_{0x}}{a}-\dfrac{a\cdot\upsilon^2\_{0x}}{2a^2}=\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{a}-\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{2a}=\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{2a}\\]Отже, відношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\\\[\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2\_{0x}}{\upsilon'^2\_{0x}}\\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $$80$$ км/год приблизно в $$1.7$$ разів більший ніж для $$60$$ км/год.**Вiдповiдь.**Bідношення гальмівних шляхів дорівнює відношенню квадратів швидкостей:\\\[\dfrac{l''}{l'}=\dfrac{x''}{x'}=\dfrac{\upsilon''^2\_{0x}}{\upsilon'^2\_{0x}}\\]Наприклад, гальмівний шлях для швидкості $$80$$ км/год приблизно в $$1.7$$ разів більший ніж для $$60$$ км/год. Рух тіла описує рівняння $$x = 4 - 3t + 2t^2$$, де всі величини виражено в одиницях SI. Визначте проекцію швидкості тіла на вісь $$Ox$$ через 2 с після початку руху. -6 м/с 5 м/с 6 м/с 8 м/с Порівняймо рівняння з умови з рівнянням одновимірного руху $$x = x\_0 + \upsilon\_{0}t + \dfrac{at^2}{2}$$.\ Отже, маємо $$\upsilon\_0 = -3 \thinspace \text{м/с}, \\, a = 4 \thinspace \text{м/с}^2$$, а формула для швидкості $$\upsilon = \upsilon\_0 + at$$ матиме вигляд $$\upsilon = -3 + 4t$$ .\ Підставивши час 2 с знайдемо правильну відповідь $$\upsilon = 5 \thinspace \text{м/с}$$. # Вертикальний рух пiд дiєю сили тяжiння Закон всесвiтнього тяжiння – закон, що описує гравiтацiйну взаємодiю (притягання) тiл. Далі закон буде розглянуто детальніше. Визначення **Прискорення вiльного падiння** $$\vec{g}$$ – прискорення, що отримує тiло внаслiдок гравiтацiйного притягання Землi. Щоб спростити розв’язування кiнематичних задач: 1. Бiля поверхнi Землi це прискорення вважають константою (хоча фiзично це прискорення залежить вiд багатьох факторiв). 2. \\\[g \approx 9,8 \thinspace \dfrac{\text{м}}{\text{c}^2}\\] 3. Опором повiтря нехтують. За таких умов падiння тiла називають **вiльним**. Єдине прискорення, що дiє на тiло в такому випадку – прискорення $$\vec{g}$$, спрямоване вертикально вниз. За вертикального руху в бiльшостi пiдручникiв вiсь спрямовують вгору. В такому випадку рiвняння руху виглядає таким чином: $$x=x\_0+\upsilon\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}$$ Є декiлька цiкавих фактiв, пов’язаних із рухом, за якого нехтують опором повiтря. 1. Час пiдняття тiла з одного рiвня до iншого дорiвнює часові спуску з другого на перший. | ![](/files/-LWNRCIyvGCuqpnzjLFW) | **А.** Петро пiдкидає м’яч вертикально вгору з початковою швидкiстю $$\upsilon\_0$$. Рiвняння руху: \\\[x=x\_0+\upsilon\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\\] Початкову точку приймімо за нуль, кiнцеву – $$H\_{max}$$. \\\[H\_{max} = \upsilon\_{0x}t-\dfrac{at^2}{2}\\] Позначмо час пiдйому $$t'$$ i знайдімо його з умови, що швидкість у найвищій точці дорівнює нулеві: \\\[\upsilon(t')=\upsilon\_0-gt'=0 \Rightarrow \boxed{t'=\dfrac{\upsilon\_{0x}}{g}}\\] Підставмо у вираз для $$H\_{max}: H\_{max} = \dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{2g}$$ | | -------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | ![](/files/-LWNRCJ-V8deeYO7Mzo7) | **Б.** Розгляньмо спуск м’яча. Тодi $$\upsilon\_{0x}=0,x\_0=H\_{max}$$. Позначмо час спуску $$t''$$ i виразімо $$H\_{max}$$ iз рiвняння руху: \\\[x(t'')=H\_{max} - \dfrac{gt''^2}{2}=0\Rightarrow H\_{max} =\dfrac{gt''^2}{2}\\] Прирiвняймо $$H\_{max}$$ з пунктiв **А** та **Б**: \\\[\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{2g}=\dfrac{gt''^2}{2} \Rightarrow t''^2=\dfrac{\upsilon^2\_{0x}}{g^2} \Rightarrow \boxed{t''=\dfrac{\upsilon\_{0x}}{g}}\\] Отже, справдi, час пiдйому з однiєї точки в iншу дорiвнює часові спуску. | | -------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | 2. Модулi швидкостей тiла на визначеному рiвнi пiд час пiдйому та спуску рiвнi. Користуючись результатами попереднього пункту, ми вже визначили час спуску. Тодi швидкiсть у точцi, з якої починався рух, пiсля спуску: $$\upsilon\_x(t'')=0-gt''=$$$$-g \cdot \dfrac{\upsilon\_{0x}}{g}=$$$$ -\upsilon\_{0x}$$\ Знак мiнус вказує на те, що швидкiсть спрямована протилежно напрямку осi. Збереження енергiї Обидва попереднi пункти можна було б отримати користуючись законом збереження енергiї (ви його розглядатимете далi в курсi). А поки дехто з вас не знає цього закону, подумайте логічно. За умови, що ми нехтуємо впливом опору повiтря та будь-яких стороннiх тiл, зрозуміло, що енергiя, яку надав м’ячу Петро, не може зникнути внiкуди $$\Rightarrow$$ Перебуваючи в фiзично однакових станах (висота), тіло мусить мати таку ж величину швидкості. Петро жбурляє м’яч угору. Початкова швидкiсть \\(\upsilon\_0\\) = 17,64 м/с. Прискорення вiльного падiння \\(g\\) = 9,8 \\(\frac{м}{с^2}\\). (a) Визначити максимальну висоту пiдняття м'яча над рiвнем, з якого Петро його кинув. 13,7 м 15,9 м 18,1 м 14,2 м $$H\_{max}=\dfrac{\upsilon^{2}\_0}{2g}=$$$$\dfrac{17,64 \cdot 17,64}{2 \cdot 9,8}=$$$$ 15,876 м$$ (b) Визначити тривалість руху м’яча до моменту, коли Петро його знову зловить. 3,6 c 3,2 c 2,5 c 1,8 c Час пiдйому: $$t^\prime = \upsilon\_0g = 17,64 \cdot 9,8= 1,8 \thinspace c$$ Повний час = час пiдйому + час спуску, з iншого боку час пiдняття = часові спуску. Отже, повний час $$t=2t^\prime=3,6 \thinspace c$$ # Двовимірна кінематика У попереднiх лекцiях ми з вами розглядали прямолiнiйний рух. У його випадку можна обрати вiсь таким чином, щоб отримати всю iнформацiю про характер руху (шлях, швидкiсть, прискорення). У цьому розділі ми розглянемо **двовимiрний рух пiд дiєю сили тяжіння**, використовуючи такі ж спрощення, як і для вертикального руху пiд дiєю сили тяжіння. Тобто ми нехтуватимемо опором повiтря, а прискорення вiльного падіння вважатимемо за константу. **Зміст розділу:** * [Двовимірна кінематика](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu) * [Характер двовимірного руху](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/2harakter_dvovimrnogo_ruhu) * [Проекції швидкості](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/3proekts_shvidkost) * [Практична частина](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina) * [Дальнiсть польоту, максимальна висота, час пiдняття](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina/5dalnst_polotu-_maksimalna_visota-_chas_padnnya) * [Тіло, що кинуте горизонтально](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/4praktichna_chastina/6tilo-_scho_kinute_gorizontalno) * [Градуси та радіани](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/7gradusi_ta_radani) * [Криволінійний рух](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh) * [Тангенціальне та доцентрове прискорення](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/9tangentsalne_ta_dotsentrove_priskorennya) * [Загальна характеристика криволінійного руху](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/10zagalna_harakteristika_krivolninogo_ruhu) * [Рівномірний рух по колу](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/11rvnomrnii_ruh_po_kolu) * [Виведення. Доцентрове прискорення (додатково)](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/12vivedennya_dotsentrove_priskorennya_dodatkovo) * [Важливі приклади](/1teorya_dvovimrnogo_ruhu/8krivolninii_ruh/13vazhliv_prikladi) # Характер двовимірного руху Вiдмiннiсть вiд випадків, які ми розглядали раніше, в тому, що наразi ми матимемо не лише вертикальну складову руху, а й горизонтальну. Тiло, кинуте пiд кутом до горизонту, – приклад двовимiрного руху пiд дiєю сили тяжiння. Під час такого руху **тiло рухається по параболi.**
Щоб розглядати такий рух, необхідно ввести дві вісі. Зручно обрати вертикальну та горизонтальну. ![](/files/-LWNRBitWHmQz49raplG) **• Проекцiя на вертикальну вiсь**\ У вертикальному напрямку **завжди** дiє прискорення вiльного падiння $$\vec{g}$$, спрямоване вертикально вниз $$\Rightarrow$$ рiвноприскорений рух. Якщо вiсь $$y$$ спрямована вгору, в загальному випадку: | $$y(t)=y\_0+\upsilon\_{0y}t-\dfrac{gt^2}{2}$$ | | --------------------------------------------- | **• Проекцiя на горизонтальну вiсь**\ У горизонтальному напрямку, як вже зазначалося, ми нехтуємо опором повiтря. Отже, немає ніяких стороннiх впливiв на тiло пiд час руху в горизонтальному напрямку $$\Rightarrow$$ рiвномiрний рух. Проекцiя швидкостi на вiсь $$x$$ протягом всього руху не змiнюється i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi $$\upsilon\_x = \upsilon\_{0x}$$. | $$x(t)=x\_0 + \upsilon\_{0x}t$$ | | ------------------------------- | # Проекції швидкості Визначення **Миттєва швидкiсть** спрямована по дотичнiй до траєкторiї в точцi, яку ми розглядаємо. \ • **Проекцiя на вертикальну вiсь**\ Як вже зазначалося, вздовж вертикальної осі маємо **рiвноприскорений рух**. У випадку, коли вiсь спрямована вгору (протилежно до напрямку прискорення вiльного падiння): | $$\upsilon\_y = \upsilon\_{0y} - gt$$ | | ------------------------------------- | • **Проекцiя на горизонтальну вiсь**\ У горизонтальному напрямку маємо **рiвномiрний рух**. Проекцiя швидкостi не змiнюється протягом всього руху. | $$\upsilon\_x = \upsilon\_{0x}$$ | | -------------------------------- | Із зазначеного вище зрозуміло, що проекцiя швидкостi на вiсь $$y$$ змiнюється протягом усього руху. Наприклад, на рисунку вище у першiй точцi $$\upsilon\_y > 0$$, адже кут мiж дотичною та вiссю $$x$$ – гострий. У другiй точцi (верхня точка траєкторiї) $$\upsilon\_y=0$$, кут дорiвнює нулеві. У третiй точцi $$\upsilon\_y Знайти кожну з проекцiй у певній точцi можна, знаючи модуль миттєвої швидкостi та кут мiж дотичною та вiссю $$x$$. Наприклад, якщо вiдомо, що тiло кинуто пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту зi швидкiстю $$\upsilon$$.![](/files/-LWNRCF3q_xh9Oa8ONla) Iз тригонометричних спiввiдношень у прямокутному трикутнику: | $$\upsilon\_x = \upsilon \cos \alpha; \ \upsilon\_y = \upsilon \sin \alpha$$ | | ---------------------------------------------------------------------------- | Iз теореми Пiфагора, знаючи проекцiї швидкостi, можемо знайти її модуль: | $$\upsilon = \sqrt{\upsilon\_x^2 + \upsilon\_y^2}$$ | | --------------------------------------------------- | Кут мiж напрямком швидкостi та вiссю $$x$$ можна визначити також iз тригонометричних спiввiдношень: | $$tg \alpha = \dfrac{\upsilon\_y}{\upsilon\_x}$$ | | ------------------------------------------------ | Задача 1 **РОБОТА З ГРАФIКАМИ** Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Напрям вертикальної осi обрано вгору, горизонтальної – вправо. Намалюйте схематично графiки траєкторiї $$y(x)$$, проекцiй швидкостi $$\upsilon\_x(t)$$ та $$\upsilon\_y(t)$$. Розв’язання Вiдповiдь Приховати**Розв’язання.**![](/files/-LWNRCF5uMsAOLSYEfsM)Розглянемо кожен графiк: **Траєкторiя** $$y(x)$$\ Траєкторiя руху тiла, кинутого пiд кутом до горизонту, – парабола.\ **Горизонтальна проекцiя швидкостi** $$\upsilon\_x(t)$$\ Горизонтальна складова швидкостi не змiнюється протягом руху i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Під час вибору осей таким чином, як зазначено в умовi, $$\upsilon\_{0x} \gt 0$$. Отже, це пряма лiнiя, паралельна осi часу.\ **Вертикальна проекцiя швидкостi** $$\upsilon\_y(t)$$\ Вертикальна складова швидкостi безперервно змiнюється пiд дiєю прискорення вiльного падiння $$\vec{g}$$. Маємо рiвноприскорений рух.$$\upsilon\_y = \upsilon\_{0y}-gt$$\ Під час вибору осей в такий спосіб, як зазначено в умовi, $$\upsilon\_{0y} \gt 0$$. З плином часу ця проекцiя стає рiвною нулеві (верхня точка траєкторiї), а потiм проекцiя стає вiд’ємною (рух донизу).**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRCF7HajHI41vvHIe) Тіло кинули під кутом $$60^\circ$$ до горизонту. Початкова швидкість дорівнює 30 м/с. Чому дорівнює проекція початкової швидкості на вісь $$x$$? 20 м/с 15 м/с 12 м/с 30 м/с Із тригонометричних співвідношень у трикутнику:\ $$\upsilon\_x =$$$$ \upsilon \thinspace \cos \alpha \Rightarrow$$$$ \upsilon\_x = 30 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \thinspace \text{(м/с)}$$ Чому дорівнює проекція початкової швидкості на вісь $$y$$? 20 м/с 25.5 м/с 15 м/с 30 м/с Із тригонометричних співвідношень у трикутнику:\ $$\upsilon\_y =$$$$ \upsilon \thinspace \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \upsilon\_y =$$$$ 30 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} =$$$$ 30 \cdot \dfrac{1.7}{2} \approx$$$$ 30 \cdot 0.85 =$$$$ 25.5 \thinspace \text{(м/с)}$$ # Практична частина У цьому роздiлi розглядатимемо виведення розповсюджених формул, якi часто трапляються у ЗНО. Ви маєте вибір: вивчити всi формули для кожного окремого випадку або один раз зрозумiти, як їх виводити, i в майбутньому з легкiстю виконувати різноманітні завдання/розв’язувати різноманітні задачі. Звичайно, усi ми за другий варiант/прихильники другого варіанту, тим бiльше в цьому нема нiчого складного. Також у кiнцi роздiлу вам буде запропоновано послiдовний алгоритм розв'язування задач. * [Дальнiсть польоту, максимальна висота, час пiдняття](http://physics.ed-era.com/book/chapter_3/5dalnst_polotu,_maksimalna_visota,_chas_padnnya.html) * [Тiло, що кинуте горизонтально](http://physics.ed-era.com/book/chapter_3/6tilo,_scho_kinute_gorizontalno.html) # Дальність польоту, максимальна висота, час падіння Розглянемо наведену вище задачу. Тiло кидають праворуч зi швидкiстю $$\upsilon\_0$$ пiд кутом $$\alpha$$ до горизонту. Виведімо формули для дальностi польоту $$L,$$ максимальної висоти пiдйому $$H,$$ часу пiдняття на максимальну висоту $$t^\prime$$ й запишімо рівняння руху та проекцій швидкостей. ![](/files/-LWNRDR4ELBcWLCyiqME) \ Запишемо рiвняння руху та проекцiй швидкостей. \ \ **Проекцiя на вiсь .** Система координат обрана таким чином, що $$x\_0 = 0$$. У напрямку осi $$x$$ швидкiсть постiйна i дорiвнює проекцiї початкової швидкостi. Проекцiя початкової швидкостi $$\upsilon\_{0x} = \upsilon\_0 \cos \alpha.$$ $$ \begin{cases} x = \upsilon\_0 \cos \alpha \cdot t \\ \upsilon\_x = \upsilon\_0 \cos \alpha \end{cases} $$ \ **Проекцiя на вiсь .** Система координат обрана таким чином, що $$y\_0 = 0$$. У напрямку осі $$y$$ швидкiсть змiнна, на неї впливає прискорення $$\vec{g}$$, спрямоване протилежно до напрямку вiсi. Проекцiя початкової швидкостi $$\upsilon\_{0y} = \upsilon\_0 \sin \alpha.$$
$$\begin{cases} y = \upsilon\_0 \sin \alpha \cdot t - \dfrac{gt^2}{2}\\\ \upsilon\_y = \upsilon\_0 \sin \alpha - gt \end{cases}$$
1. **Час польоту i час пiдняття тiла.** 2. Дальнiсть польоту $$L$$ дорiвнює координатi $$x$$ в той момент, коли координата $$y = 0$$ (в момент приземлення тiла). Прирiвнявши $$y(t) = 0$$, можна вiднайти час польоту тiла $$T.$$ 3. $$0 = \upsilon\_0 \sin \alpha · T - \dfrac{gT^2}{2}$$ 4. $$T(\dfrac{g}{2}T - \upsilon\_0 \sin \alpha) =$$$$ 0 \Rightarrow \dfrac{g}{2}T - v\_0 \sin \alpha $$$$= 0$$ 5. 6. **Час польоту тiла:** 7. Ми з вами в попередньому розділі доводили те, що час пiдняття тiла дорiвнює часові спуску. Отже, час пiдняття дорiвнює половинi часу польоту тiла. 8. 9. **Час пiдняття тiла:** 10. **Дальнiсть польоту тiла.** 11. Як вже було зазначено у попередньому пунктi, $$L = x(t) = \upsilon\_0 \cos \alpha \cdot T$$. Пiдставивши час польоту $$T$$ iз попереднього пункту, отримаємо: 12.
13. $$L = \dfrac{2 v\_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$$ 14.
15. Iз тригонометрiї: $$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha.$$ 16.
17. **Максимальна висота.** 18. Максимальна висота $$H$$ – координата $$y$$ в момент часу $$t = t'$$ (час пiдйому). 19.
20. $$H = y(t^\prime) = \upsilon\_0 \sin \alpha \cdot t^\prime - \dfrac{gt'^2}{2}$$ 21.
22. Пiдставимо $$t^\prime = \dfrac{\upsilon\_0 \sin \alpha}{g}$$ iз попереднього пункту: 23.
24. $$H - \dfrac{\upsilon\_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \dfrac{\upsilon\_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$$ 25.
26. 27. **Максимальна висота:** \ Задача 2 **ПЕТРО ТА ГАРМАТА** Петро знайшов на подвір'ї $$152$$-мм гаубицю, взяв із собою та повiз у велике поле, де можна безпечно розважатися з такою «iграшкою». Спершу, він націлив гармату пiд кутом $$30^\circ$$, вистрiлив i виміряв час польоту снаряда $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$ Маючи цi данi, вiн вирахував швидкiсть снаряда. Потiм Петро вистрiлив пiд кутами $$60^\circ$$ та $$45^\circ$$ i порiвняв дальностi польотів снарядiв кожного з трьох кутiв, пiд якими стрiляв. Вiн визначив кут із найбільшою дальністю, а потiм в загальному випадку довiв, що саме за такого кута дальнiсть польоту має бути максимальна. Для цього ж кута Петро також визначив максимальну висоту пiдняття снаряда. Задоволений даними, які одержав, вiн забрав гармату додому. Що ж, відтворімо експеримент Петра. Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRDRAhloJQS4JdPAZ)![](/files/-LWNRDRCotQ8G8wdT2ry)**Розв’язання.**Щоб відтворити експерименти, будемо використовувати формули, я.**Швидкiсть снаряда**Кут $$\alpha = 30^\circ$$, час польоту $$T \approx 24.3 \thinspace \text{c}.$$$$T = \dfrac{2 \upsilon\_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon\_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$**Дальність польоту**Дальнiсть польоту обраховуємо за формулою:$$L = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$(1)$$Для кутiв $$30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$$ вiдповiдно:$$L\_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$Порiвнявши, бачимо, що за $$45^\circ$$ дальнiсть польоту найбiльша. Але це була вибiрка з трьох кутiв. У загальному випадку легко показати, що саме за умови, що кут дорівнює $$45^\circ$$, дальнiсть польоту максимальна. $$L$$ у формулi $$(1)$$ буде максимальна, якщо $$\sin 2 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ.$$**Максимальна висота**Маємо кут $$\alpha = 45^\circ$$ та формулу для визначення максимальної висоти:$$H = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRDREhGJslkTNEj29)**Швидкiсть снаряда**$$T = \dfrac{2 \upsilon\_0 \sin \alpha}{g} \Rightarrow$$$$ \upsilon\_0 = \dfrac{gT}{2\sin\alpha} =$$$$ \dfrac{9.8 \cdot 24.3}{2 \cdot \sin 30^\circ} \approx$$$$ 238.1 \ (\text{м/с})$$**Дальність польоту**$$L = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin 2\alpha}{g}$$$$L\_1 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_2 \approx 5800 \thinspace \text{м} = 5.8 \thinspace \text{км};$$$$ \ L\_3 \approx 5000 \thinspace \text{м} = 5 \thinspace \text{км}$$**Максимальна висота**$$H = \dfrac{\upsilon\_0^2\sin^2\alpha}{2g} =$$$$ \dfrac{238.1^2 \sin^2 45^\circ}{2 · 9.8} \approx 1450 \ (\text{м})$$ Тіло кинули під кутом $$50^\circ$$ та воно пролетіло певну відстань. Під яким ще кутом можна кинути тіло, щоб воно пролетіло таку саму відстань? $$30^\circ$$ $$35^\circ$$ $$40^\circ$$ $$60^\circ$$ Користуючись тригонометричною формулою зведення:\ $$\sin 2 \cdot 50^\circ =$$$$ \sin 100^\circ =$$$$ \cos 10^\circ =$$$$ \sin 80^\circ \Rightarrow \sin 2 \alpha =$$$$ 80^\circ \Rightarrow$$$$ \sin \alpha = 40^\circ .$$ # Тіло, що кинуте горизонтально У багатьох пiдручниках з пiдготовки до ЗНО задачі, в яких тiло кидають горизонтально (наприклад з деякої висоти), розглядають окремо від задач, у яких тіло кидають пiд кутом до горизонту. Насправдi з точки зору підходів до розв’язання вони нічим принципово не відрізняються. ![](/files/-LWNRFV_j33vjwFeRLmv) У випадку, коли тіло кидають горизонтально, початкова швидкiсть спрямована вздовж осi $$x$$. Це абсолютно те ж саме, що розглядати рух тiла, кинутого пiд кутом до горизонту, з моменту, коли тiло перебуває на максимальнiй висотi. На максимальнiй висотi швидкiсть також спрямована вздовж осi $$x$$. Тобто виходить, що ми вже маємо всі формули.\ Лише початок вiдлiку зсунутий для зручностi. Рух починається з $$x\_0 = 0, y\_0 = H.$$\ **Рiвняння для цього випадку:**\ \ **Проекцiя на вiсь $$x$$.** Початкова швидкiсть спiвнапрямлена з вiссю $$x$$. Отже, модуль швидкостi дорiвнює проекцiї на вiсь. $$\begin{cases} x = v\_0 t\\\ v\_x = v\_0 \end{cases}$$\ **Проекцiя на вiсь $$y$$.** Початкова швидкiсть також спiвнапрямлена з вiссю $$x$$. Отже, проекцiя початкової швидкостi на вiсь $$y$$ дорiвнює нулеві. Надалi проекцiя швидкостi зростає за модулем унаслiдок прискорення, але вона вiд’ємна, оскільки вiсь спрямована в протилежному до прискорення напрямку. А початкова координата в обранiй системi координат $$y\_0 = H.$$ $$\begin{cases} y = H - \dfrac{gt^2}{2}\\\ v\_y = -gt \end{cases}$$ Петро горизонтально кинув камінь зі схилу. Через секунду після того як він випустив його, камінь перемістився вздовж вертикальної вісі на ... 5 м 7.5 м 10 м 12 м $$y = \dfrac{gt^2}{2} = \dfrac{9.8 \cdot 1^2}{2} \approx 5 \thinspace \text{м}$$ Кулею вистрілюють горизонтально, і вона падає на землю через $$0.5$$ с. Якщо збільшити швидкість кулі вдвічі, то вона впаде на землю через: 1 с 0.25 с 0.5 с 1.5 с Якщо ми збільшимо швидкість кулі вдвічі, то проекція $$\upsilon\_y$$ не зміниться, як зазначено вище $$\upsilon\_y = -gt \thinspace .$$ # Градуси та радіани Цей розділ присвячений темi «Рiвноприскорений рух по колу». Щоб добре зрозумiти цей матерiал, необхiдно розiбратися з тим, що таке градусна та радiанна мiра кута. Невелика вступна частина для тих, хто не дуже знається на цьому Визначення **Градус (позначається $$^\boldsymbol\circ$$)** – одиниця вимiрювання плоского кута.\ \ Прямий кут – $$90^\circ$$. Один повний оберт – $$360^\circ$$.\ ![](/files/-LWNRBbqQxyp3AmVQ3-O)\ Визначення **Радiан (позначається «рад»)** вiдповiдає куту, що утворений двома радiусами та дугою, довжина $$(S)$$ якої дорiвнює радiусові кола $$(R)$$.\ \ $$1 \thinspace \text{рад} \approx 57.3^\circ$$. Один повний оберт – $$2\pi$$ рад.\ ![](/files/-LWNRBbs3Nn358S4CG2N)\ Як бачимо, **радiан визначають через довжину дуги $$S$$.**\ $$\theta \thinspace \text{(рад)} = \dfrac{S}{R}$$\ Тобто, якщо $$2\pi$$ рад вiдповiдає куту $$360^\circ$$, то довжина дуги в даному разі дорiвнює довжинi кола $$L$$.\
| $$2\pi = \dfrac{L}{R} \Rightarrow L = 2 \pi R$$ | | ----------------------------------------------- | \ Задача 1 **ПЕРЕВЕДЕННЯ ОДИНИЦЬ** 1\. Перевести градуси: $$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 270^\circ$$ у радiани. 2\. Перевести радiани: $$\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}$$ у градуси. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Оскільки $$2\pi \thinspace \text{рад} = 360^\circ$$, помноживши будь-який вираз на $$360^\circ$$ та подiливши на $$2\pi$$, ми не отримаємо ніяких змін. Так само й навпаки. Застосовуючи цей факт, ми i будемо одержувати необхiднi для переведення формули.\ \ Кут у радiанах $$=$$ Кут у градусах $$\cdot \thinspace \dfrac{2\pi}{360^\circ}$$$$30^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{\pi}{6}$$\ $$60^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{\pi}{3}$$\ $$90^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{\pi}{2}$$\ $$270^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{3\pi}{2}$$\ Кут у градусах $$=$$ Кут у радiанах $$\cdot \thinspace \dfrac{360^\circ}{2\pi}$$$$\dfrac{\pi}{4} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 45^\circ$$\ $$\dfrac{2\pi}{3} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 120^\circ$$\ $$\dfrac{\pi}{2} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 90^\circ$$\ $$\dfrac{5\pi}{6} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 150^\circ$$\ **Вiдповiдь.**Кут у радiанах $$=$$ Кут у градусах $$\cdot \thinspace \dfrac{2\pi}{360^\circ}$$$$30^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{\pi}{6}$$\ $$60^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{\pi}{3}$$\ $$90^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{\pi}{2}$$\ $$270^\circ · \dfrac{2\pi}{360^\circ} = \dfrac{3\pi}{2}$$\ Кут у градусах $$=$$ Кут у радiанах $$\cdot \thinspace \dfrac{360^\circ}{2\pi}$$$$\dfrac{\pi}{4} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 45^\circ$$\ $$\dfrac{2\pi}{3} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 120^\circ$$\ $$\dfrac{\pi}{2} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 90^\circ$$\ $$\dfrac{5\pi}{6} · \dfrac{360^\circ}{2\pi} = 150^\circ$$
# Криволінійний рух **— У чому була рiзниця мiж прямолiнiйним рiвноприскореним рухом та рухом тiла пiд кутом до горизонту, де траєкторiя була криволiнiйна?** — Рiзниця була у тому, що в першому випадку напрямок прискорення збігається з напрямком швидкостi, а в другому випадку вектор прискорення був спрямований **пiд кутом** до швидкостi. Цей кут ще й змiнювався протягом всього руху. Адже прискорення вiльного падiння було спрямоване вертикально вниз, а напрямок швидкостi змiнювався. # Тангенціальне та доцентрове прискорення На рисунку зображено швидкiсть $$\vec{\upsilon}$$, яка напрямлена для наочності вздовж осi $$x$$. 1. У першому випадку прискорення $$\vec{a}$$ спрямоване вздовж осi $$x$$. Таким чином маємо **прямолiнiйний рiвноприскорений рух**.\
2. У другому випадку прискорення спрямоване пiд кутом до вiсi $$x$$. Маємо двi проекцiї прискорення $$a\_x$$ та $$a\_y$$. Оскільки швидкiсть напрямлена вздовж осi $$x$$, на її модуль впливає лише складова прискорення $$a\_x$$, складова прискорення $$a\_y$$ **змiнює лише напрямок** швидкостi.\
3. Третiй випадкок. Прискорення напрямлене перпендикулярно до швидкостi, тому не впливає на модуль швидкостi i **змiнює лише її напрямок**. Отже, будь-яке прискорення можна розкласти на два компоненти. Визначення * Тангенцiальне прискорення – прискорення, напрямок якого збігається з напрямком швидкостi. Змiнює **модуль** швидкостi. * Нормальне або доцентрове – прискорення, що спрямоване перпендикулярно до швидкостi. Змiнює **напрямок** швидкостi. Тангенцiальне прискорення дорiвнює 5 м/с, доцентрове – 12 м/с. Чому дорiвнює модуль вектора прискорення? 15 м/с 13 м/с 17 м/с 16 м/с З теореми Піфагора: $$a = \sqrt{a\_Д^2 + a\_Т^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$$ (м/с). # Загальна характеристика криволінійного руху Взагалi будь-який криволiнiйний рух можна описати як сукупнiсть рухiв по колах рiзних радiусiв та прямолiнiйних дiлянок. Радiус кола (кривизна у точцi) визначається наявною складовою доцентрового прискорення. Тут зв'язок, ви дiзнаєтесь незабаром. Рух по колу це приклад криволiнiйного руху. Що менше доцентрове прискорення: То «плавніший» поворот траєкторії То «крутiший» поворот траєкторiї # Рівномірний рух по колу Визначення **Рiвномiрний рух по колу** – рух по колу з постiйною за модулем швидкiстю.\ \ Під час такого руху ми маємо лише **доцентрове прискорення,** адже модуль швидкостi – незмiнний протягом всього руху.\ \ **Тангенцiальне прискорення** $$a\_T = 0$$. На рисунку зображено рiвномiрний рух тiла по колу та положення точки у два моменти часу $$t\_1$$ та $$t\_2$$. **Основнi характеристики та величини:** 1. **Перiод обертання** $$T \thinspace (c)$$ – час, за який тiло здiйснює повний оберт. Якщо за деякий час $$t$$ було здiйснено $$N$$ обертiв, то перiод: | $$T = \dfrac{t}{N}$$ | | -------------------- | 2. **Частота обертання** $$\nu \thinspace (c^{-1}, \thinspace Гц)$$ – кiлькiсть повних обертiв, якi здiйснить тiло за одиницю часу. Якщо за деякий час $$t$$ було здiйснено $$N$$ обертiв, то частота: | $$\nu = \dfrac{N}{t} = \dfrac{1}{T}$$ | | ------------------------------------- | 3. **Кут повороту** $$\Delta \varphi$$ (рад) – кут, на який повертається радiус кола, спрямований з центра до дослiджуваної точки за час руху тiла $$\Delta t$$. У секцiї $$1$$ ми розглядали зв’язок кута в радiанах із довжиною дуги та радiусом кола. | $$\varphi = \dfrac{l}{R} \Rightarrow l = R \varphi$$ | | ---------------------------------------------------- | 4. **Лiнiйна швидкiсть** $$\upsilon$$ (м/с) – дорiвнює довжинi дуги, яку проходить тiло за одиницю часу $$t$$. Лiнiйна швидкiсть завжди спрямована по дотичнiй до траєкторiї, а у випадку рiвномiрного руху по колу рiвна за модулем у кожнiй точцi.\ Тiло здiйснює повний оберт, тобто проходить довжину дуги, що дорiвнює довжинi кола, за час $$T$$ (перiод). Довжина кола $$L = 2 \pi R$$. | $$\upsilon = \dfrac{L}{T} = \dfrac{2 \pi R}{T} = 2 \pi \nu R$$ | | -------------------------------------------------------------- | 5. **Кутова швидкiсть** $$\omega \thinspace \text{(рад/с)}$$ – дорiвнює вiдношенню кута повороту до часу $$\Delta t$$, за який цей поворот було здiйснено. Повний оберт вiдповiдає кутові повороту $$2 \pi$$. Час, за який здiйснюється повний оберт, – перiод $$T$$. | $$\omega = \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \dfrac{2 \pi}{T} = 2 \pi \nu$$ | | ---------------------------------------------------------------------------- | * **Зв’язок мiж лiнiйною та кутовою швидкiстю** Якщо порiвняти одержані вирази для лiнiйної $$(\upsilon = 2 \pi \nu R)$$ та кутової швидкості $$(\omega = 2 \pi \nu)$$, видно, що зв’язок мiж цими швидкостями: | $$\upsilon = \omega R$$ | | ----------------------- | Цей вираз також випливає зі зв’язку кута повороту з довжиною дуги i радiусом: | $$l = R \varphi \Rightarrow \|: t \ \| $$$$\Rightarrow \dfrac{l}{t}$$$$ = R \dfrac{\varphi}{t} \Rightarrow \| \thinspace \upsilon $$$$= \dfrac{l}{t}, \thinspace \omega $$$$= \dfrac{\varphi}{t} \thinspace \| $$$$\Rightarrow \upsilon$$$$ = \omega R$$ | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | * **Доцентрове прискорення $$a\_Д \thinspace (\text{м/c}^2)$$** – прискорення, що в будь-якiй точцi спрямоване перпендикулярно до швидкостi. Під час рівномірного руху по колу радiуса $$R$$ зi швидкiстю $$\upsilon.$$$$a\_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ Якщо цiкавитесь детальним виведенням цiєї формули, розберiть наступний пiдрозділ. \ Задача 1 **ПЕТРО ТА КОМАХА** Кулька на нитці завдовжки $$1.2$$ метра здiйснює рiвномiрний рух по колу. Кут мiж ниткою та вертикаллю дорiвнює $$30^\circ$$. Петро за допомогою годинника визначив, що кулька робить $$60$$ обертiв за пiвхвилини.\ **Знайти:** перiод обертання кульки, частоту, лiнiйну та кутову швидкiсть, доцентрове прискорення. Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRBmoW9E89z0nbCgn)![](/files/-LWNRBmqvdrs3VizFFBS)**Розв’язання.**Перш за все, час спостерiгання $$0.5$$ хв потрiбно перевести у СI: $$0.5$$ хв $$= 30$$ с. По-друге, для подальших дiй нам потрiбно знати радiус кола. $$\sin \alpha = \dfrac{R}{L} \Rightarrow R = L \cdot \sin \alpha = 1.2 \cdot \dfrac{1}{2} = 0.6 \thinspace (\text{м})$$ Перiод обертання кульки дорiвнює часові спостерiгання, подiленому на кiлькiсть здiйснених обертiв: $$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{30}{60} = 0.5 \thinspace (\text{c})$$ Частота – обернена до перiоду величина$$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \thinspace (\text{c}^{-1})$$ Лiнiйну швидкiсть визначають як вiдношення пройденого шляху до часу, за який було подолано цей шлях. Повний оберт долається за перiод $$T$$: $$\upsilon = \dfrac{2 \pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14 \cdot 0.6}{0.5} \approx 7.5 \thinspace (\text{м/с})$$ Кутова швидкiсть дорiвнює вiдношенню кута повороту до часу, за який цей кут було подолано. Кут повороту для повного оберту $$2 \pi$$, вiдповiдний час – $$T$$.$$\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14}{0.5} \approx 12.6 \thinspace (\text{рад/с})$$ Доцентрове прискорення:$$a\_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R} = \dfrac{7.5^2}{0.6} \approx 93.8 \thinspace (\text{м/с}^2)$$ **Вiдповiдь.** ![](/files/-LWNRBmsgE2u2h_xIizY) * Перiод обертання кульки:$$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{30}{60} = 0.5 \thinspace (\text{c})$$ * Частота:$$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \thinspace (\text{c}^{-1})$$ * Лiнiйна швидкiсть: * $$\upsilon = \dfrac{2 \pi R}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14 \cdot 0.6}{0.5} \approx 7.5 \thinspace (\text{м/с})$$ * Кутова швидкiсть:$$\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3.14}{0.5} \approx 12.6 \thinspace (\text{рад/с})$$ * Доцентрове прискорення:$$a\_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R} = \dfrac{7.5^2}{0.6} \approx 93.8 \thinspace (\text{м/с}^2)$$ # Виведення. Доцентрове прискорення (додатково) Цей підрозділ для читачів, які зацікавлені в тому, як саме було отримано формулу для доцентрового прискорення. Тут буде трiшки математичних концепцiй, але навiть якщо ви поки що не маєте вiдповiдних знань – не страшно. Я впевнений, що на рiвнi розумiння ви впораєтесь із цим виведенням. Ми з вами вже мали досвiд у визначеннi миттєвих величин у точцi. Зараз нам потрiбно визначити миттєве прискорення. $$\vec{a} = \lim\limits\_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t}$$ Цей математичний запис означає, що ми маємо розiбратися з тим, як змiнюється швидкiсть за дуже-дуже малий промiжок часу (саме це означає вираз $$\Delta t \rightarrow 0)$$. Для наочності зобразимо на рисунку змiну швидкостi за умовно маленький промiжок часу. Звертаємо вашу увагу на те, що, звичайно, вiзуалiзувати надзвичайно маленький промiжок – неможливо, але можна наблизитись до розумiння того, що буде вiдбуватися під час подальшого зменшення цього промiжку. Розгляньмо змiну швидкостi за цей час, тобто зведімо вектори $$\vec{\upsilon\_1}$$ та $$\vec{\upsilon\_2}$$ у одну точку. Бачимо, що на дуже малому промiжкові часу вектор $$\Delta \vec{\upsilon}$$ наближатиметься до перпендикуляра до швидкостi у точцi. Отже, з напрямком більш-менш розiбралися. Тепер звернімо увагу на трикутники. У нас є трикутник (верхнiй рисунок), що утворений двома радiусами та хордою $$\Delta l$$, і трикутник з векторною рiзницею швидкостей (нижнiй рисунок). Ви вже помiтили, що в обох випадках маємо кут $$\Delta \varphi$$. За умови наближення/за наближення малих кутiв цi трикутники – подібні, тобто, по сутi, є змаштабовані копiї однин одного. Це означає, що спiввiдношення мiж сторонами одного трикутника дорiвнює спiввiдношенню мiж вiдповiдними сторонами iншого. $$\dfrac{\Delta \upsilon}{\upsilon} \approx \dfrac{\Delta l}{R} \Rightarrow \Delta \upsilon = \dfrac{\upsilon}{R} \Delta l$$ Щоб знайти прискорення, нам потрiбно подiлити $$\Delta \upsilon$$ на маленький промiжок часу $$\Delta t$$. Дiлимо обидвi частини рiвняння: $$a\_Д = \dfrac{\upsilon}{R} \cdot \dfrac{\Delta l}{\Delta t}$$ Також важливо, що з наближенням промiжку часу до нуля довжина $$\Delta l$$ щораз ближча до довжини дуги мiж двома точками. А довжина дуги, подiлена на час, за який ця дуга була пройдена, – визначає лiнiйну швидкiсть $$\upsilon \thinspace : \ \upsilon = \dfrac{\Delta l}{\Delta t}$$. Отже, маємо: | $$a\_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ | | -------------------------------- | **Аналiз формули:** Що бiльша швидкiсть, то бiльшим мусить бути доцентрове прискорення. Iнтуїтивно зрозумiлий такий момент: що швидше рухається машина перед поворотом, то бiльше в неї шансiв «вилетiти» за дорожню смугу. Доцентрове прискорення у випадку з машиною обумовлене тертям мiж шинами та поверхнею дороги. Саме тому пiд час дощу, коли дорога слизькіша, вiрогiднiсть «вилетiти» пiдвищується. Ми ще повернемося до цього у розділі «динамiка руху тiла по колу». Тепер поговорімо про радiус. Що менший радiус, то бiльше потрiбне доцентрове прискорення. Тут треба чітко розрізняти поняття радiус та кривизна. Що бiльший радiус, то менша кривизна. Поворот меншого радiуса означає, що це «крутіший» поворот. Отже, потрiбно, щоб було краще зчеплення з дорогою i, вiдповiдно, бiльше доцентрове прискорення. # Важливі приклади Зараз ми розглянемо два дуже важливi типи завдань з теми рiвномiрного руху по колу та пiдходи до розв’язання таких задач. **1. Швидкiсть рiзних точок на колесi** На ЗНО дуже часто трапляються завдання на комбiнування двох видiв руху: поступального та обертального. Важливий факт: якщо точка рухається поступально зi швидкiстю $$\vec{\upsilon\_п}$$ та обертально з лiнiйною швидкiстю $$\vec{\upsilon\_о}$$, то результуюча швидкiсть точки: $$\vec{\upsilon\_{ }} = \vec{\upsilon\_п} + \vec{\upsilon\_о}$$ **Розгляньмо приклад.** Автомобiль рухається рiвномiрно по горизонтальнiй дорозi **без проковзування** зi швидкiстю $$\vec{\upsilon}$$. Визначити швидкостi вказаних точок. * Почнімо з **точки крiплення колеса** (вiсь обертання). Оскільки вiсь прикрiплена до автомобiля, то її швидкiсть дорівнює швидкостi автомобiля. | $$\upsilon\_о = \upsilon$$ | | -------------------------- | * Тепер розгляньмо **першу точку**![](/files/-LWNRCYX7SXMYpM5PaF9)Швидкiсть цiєї точки складається з лiнiйної швидкостi обертання колеса $$\vec{\upsilon\_{о}}$$, спрямованої ліворуч та поступальної швидкостi $$\vec{\upsilon}$$, спрямованої праворуч: | $$\vec{\upsilon\_1} = \vec{\upsilon\_{о}} + \vec{\upsilon\_{ }}$$ | | ----------------------------------------------------------------- | З iншого боку, не дарма те, що колесо рухається без проковзування, в умовi виокремлено жирним. Це означає, що в системi вiдлiку «Земля» ця точка прив’язана до неї, тобто нерухома. Отже, розглядаючи модулі швидкостей одержуємо: | $$\upsilon\_1 = 0 \Rightarrow \vec{\upsilon\_{о}} = \vec{\upsilon\_{ }}$$ | | ------------------------------------------------------------------------- | $${\Large!}$$ **Важливо пам’ятати:** що якщо точка дотикається до якоїсь поверхнi i при цьому сказано, що вона рухається без проковзування, то швидкiсть цiєї точки дорiвнює швидкостi цiєї поверхнi. * **Друга точка.**![](/files/-LWNRCYZMDXB5-Sq4OQw)Швидкостi обертального та поступального руху спрямовані вправо. Також з попереднього пункту ми знаємо, що швидкiсть обертання дорiвнює швидкостi поступального руху: | $$\vec{\upsilon\_2} = \vec{\upsilon\_{о}} + \vec{\upsilon\_{ }} \Rightarrow \upsilon\_2 = 2\upsilon$$ | | ----------------------------------------------------------------------------------------------------- | * **Третя точка.**![](/files/-LWNRCYamn9ggLbRvCVK)Швидкiсть обертального руху спрямована вертикально вгору. Швидкiсть поступального руху, як завжди, – праворуч. Векторну суму можна знайти? за правилом паралелограма. Модуль кінцевого/остаточного вектора можна знайти за допомогою теореми Пiфагора: | $$\upsilon\_3 = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2} = \upsilon \sqrt{2}$$ | | -------------------------------------------------------------------- | * **Четверта точка.**![](/files/-LWNRCYcjgzWVAipIJRd)Швидкiсть обертального руху спрямована по дотичнiй до поверхнi колеса. Швидкiсть поступального руху – вправо. Iз геометрiї кут мiж векторами $$= 45^\circ$$. За допомогою теореми косинусiв: | $$\upsilon\_4 = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2 - 2 \upsilon \cdot \upsilon \cdot \cos (135^\circ)} \approx 1.85v$$ | | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | * **Будь-яка точка.** Результуюча швидкiсть будь-якої точки – це векторна сума швидкостi обертання та поступальної швидкостi. Головне спочатку визначит, куди i яка з цих швидкостей спрямована. **2. Шкiви та шестернi рiзних радiусiв** Ще один поширений тип задач стосується з’єднаних механiзмiв, що обертаються. Цi механiзми мають рiзнi радiуси (або у випадку шестерень – рiзну кiлькiсть зубцiв) та, вiдповдно, рiзнi перiоди обертання. **Потрiбно розумiти тільки двi речi для вирiшення таких задач:** * Точки, що обертаються на рiзних тiлах (рiзних радiусiв, наприклад) та поєднанi мiж собою за допомогою дроту (як на цьому рисунку), або перебувають у безпосередньому без проковзування, мають **однакову швидкiсть.**$$\upsilon\_2 = \upsilon\_3 \Rightarrow \dfrac{R\_2}{T\_2} = \dfrac{R\_3}{T\_3}$$ **або** $$R\_2 \nu\_2 = R\_3 \nu\_3$$ * Частини (наприклад, рiзного радiуса) одного i того самого тiла мають **однаковi кутовi швидкостi,** адже кут повороту за промiжок часу однаковий для всiх точок на тiлi.$$\omega\_3 = \omega\_4 \Rightarrow T\_3 = T\_4$$$$\omega\_1 = \omega\_2 \Rightarrow T\_1 = T\_2$$ # Концепція сили Досі ми розглядали роздiл механiки, який має назву **кiнематика.** З грецької корiнь цього слова означає **рух.** Швидкiсть, прискорення, траєкторiя, час – це все лише опис характеру руху. **Динамiка** – роздiл механiки, що вивчає причини виникнення руху. Центральним поняттям є **сила,** що прикладена до тiла. ![](/files/-LWNRD8pu92v9viqamlq) **Сер Iсаак Ньютон** (4 сiчня 1643 – 31 березня 1727) – англiйський вчений, творець класичної фiзики. У своїй славетнiй працi «Математичнi начала натуральної фiлософiї» (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) вiн сформулював закон всесвiтнього тяжiння та закони руху – три закони Ньютона. Ця праця заклала фундамент класичної фiзики i є основою курсу механiки. **Зміст розділу:** * [Концепція сили](/1vstup_u_dinamku) * [Інертність та маса](/1vstup_u_dinamku/2nertnst_ta_masa) * [Сила: рівнодійна сила](/1vstup_u_dinamku/3sila_rvnodina_sil) * [Перший закон Ньютона](/1vstup_u_dinamku/4pershii_zakon_nyutona) * [Другий закон Ньютона та сила тяжіння](/1vstup_u_dinamku/5drugii_zakon_nyutona_ta_sila_tyazhnnya) * [Третій закон Ньютона](/1vstup_u_dinamku/6treti_zakon_nyutona) * [Реакція опори та підвісу](/1vstup_u_dinamku/7reaktsiya_opori_ta_pidvisu) * [Сила реакції опори та вага](/1vstup_u_dinamku/8sila_reakts_opori_ta_vaga) * [Приклади. Рух у ліфті](/1vstup_u_dinamku/10ruh_u_lft) * [Система тіл, що з'єднанні ниткою](/1vstup_u_dinamku/10ruh_u_lft/11sistema_tl-_scho_zdnann_nitkoyu) * [Сила пружності та закон Гука](/1vstup_u_dinamku/12sila_pruzhnost_ta_zakon_guka) * [Послідовне та паралельне з'єднання пружин](/1vstup_u_dinamku/13posldovne_ta_paralelne_zdnannya_pruzhin) # Інертність та маса Напевно, усi ви їздили у громадському транспортi. Страшна рiч, коли ви не маєте можливостi триматись за поручень, а водiй гальмує занадто швидко i вас «кидає» у бік руху транспорту. Можлива i протилежна ситуацiя: транспорт iз стану спокою починає набирати швидкiсть великими темпами, тодi вас «кидає» у сторону протилежну до руху транспорту. **У першому випадку** до початку гальмування автобус рухається з певною швидкiстю $$\upsilon\_{автобус}$$. Отже, людина яка стоїть в автобусi, рухається вiдносно землi зi швидкiстю $$\upsilon\_{людини} = \upsilon\_{автобус}$$. Гальмування – це процес змiни швидкостi. Тiло людини намагається зберегти свiй попереднiй стан i тому воно вiдхиляється вперед. **У другому випадку ситуацiя аналогічна: тіло намагається зберегти свій попередній стан. Автобус перебував у станi спокою ⇒⇒ людина також перебувала у станi спокою. Рiзкий старт транспорту означає змiну стану людини. Намагання зберегти свiй попереднiй стан призводить до вiдхилення назад.** Коли тіло намагається зберегти свій стан, говорять, що воно робить щось за **iнерцiєю.** Тепер потрiбно з'ясувати, яка характеристика визначає iнерцію тiла. Зрозумiло, що змiнити стан бiльшого тiла складнiше, нiж меншого. Наприклад, зупинити легковий автомобiль легше, нiж фуру, якщо вони їдуть з однаковою швидкiстю. Також що легший предмет, то простіше зсунути тiло, тобто вивести його iз стану спокою. Є ще один момент. У захiдних пiдручниках є лише одне поняття – iнерцiя. У вiтчизняних книжках iнодi розрiзняють поняття iнерцiї та iнертностi. **Iнeртнiстю** вважають властивiсь тiла змiнювати свiй стан внаслiдок дiї незрiвноваженої сили поступово, а не миттєво. У будь-якому разi поняття пов’язанi. Це однаково наслiдки першого закону Ньютона. Визначення **Маса ($$m$$)** – мiра iнертностi тiла.\ \ **У SI:** кг **Демонстрація інерції** # Сила: рівнодійна сила Центральне поняття динамiки – **сила**. Визначення **Сила ($$\vec{F\_{ }}$$)** – векторна величина, що є мiрою дiї тiл або полiв на це тiло.\ \ Вектор $$\vec{F\_{ }}$$ має **напрямок, величину, точку прикладання.**\ \ **Рiвнодiйна сила** – сила, еквiвалентна всiм силам, що дiють на тiло. Якщо до тiла прикладено декiлька сил, то їхню дiю можна замiнити дiєю рiвнодiйної сили, що є векторною сумою всiх прикладених сил.\ \ $$\vec{F\_{ }} = \vec{F\_1} + \vec{F\_2} + \cdots + \vec{F\_n}$$\ У SI: Н (Ньютон)
Під час розгляду другого закону Ньютона буде детальніше розглядатись поняття сили. Задача 1 **РIВНОДIЙНА СИЛА** На тiло дiють чотири сили $$F\_1 = 1 \thinspace H, \ F\_2 = 1.5 \thinspace H, \ F\_3 = 2 \thinspace H, \ F\_4 = 2.5 \thinspace H.$$ Напрямки цих сил зображенi на рисунку. Визначте величину та напрямок рiвнодiйної сили $$\vec{F\_{ }}$$, дiєю якої можна замiнити дiю цих сил. Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRBaP_75OnfC6Y39V)![](/files/-LWNRBaRML1456dAXJK9)**Розв’язок.**Рiвнодiйна сила – векторна сума всiх дiючих сил.\ \ $$\vec{F\_{ }} = \vec{F\_1} + \vec{F\_2} + \vec{F\_3} + \vec{F\_4}$$\ \ Зручно спочатку просумувати вектори, що напрямленi вертикально та горизонтально, а потiм знайти суму отриманих векторiв.\ \ ![](/files/-LWNRBaTozr6dbxeW_kL)\ \ $$|\vec{F\_1} + \vec{F\_2}| = 1.5 - 1 = 0.5 \thinspace (H)$$\ \ ![](/files/-LWNRBaVTi-ryJvW8vNC)\ \ $$|\vec{F\_3} + \vec{F\_4}| = 2.5 - 2 = 0.5 \thinspace (H)$$\ \ Отже, задачу з чотирма векторами ми звели до задачi з двома векторами однакової величини. За теоремою Пiфагора знаходимо величину результуючого вектора.\ \ ![](/files/-LWNRBaXinuKZNh1G3Y1)\ \ $$|\vec{F\_{ }}| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} \approx 0.71 \thinspace (H)$$\ \ Таким чином, дiя чотирьох сил на тiло з точки зору розв’язання задач на динамiку – те саме, що розглядати дiю однiєї сили на тiло.**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRBaZLxat4qnDRN_D)![](/files/-LWNRBaaLP0EaZP2aU8I)$$|\vec{F\_{ }}| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} \approx 0.71 \thinspace (H)$$Дiя чотирьох сил на тiло з точки зору розв’язання задач на динамiку – те саме, що розглядати дiю однiєї сили на тiло. На тіло діють дві сили. Перша - напрямлена вгору і дорівнює $$4 \thinspace H$$, друга - напрямлена вправо і дорівнює $$3 \thinspace H$$. Чому дорівнює рівнодійна сила? $$7 \thinspace H$$ $$5 \thinspace H$$ $$4.5 \thinspace H$$ $$6 \thinspace H$$ З теореми Піфагора:\ $$|\vec{F\_{}}| = \sqrt{F\_1^2 + F\_2^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \thinspace (H)$$ # Перший закон Ньютона **Оригiнальне формулювання з сучасними доповненнями** **«Будь-яке тiло перебуває у спокої або у станi рiвномiрного прямолiнiйного руху, доки до нього не прикладенi сили, якi змiнять його стан»** Доповнення полягають у тому, що, по-перше, формулювання «будь-яке тiло» – не дуже правильне. Правильнiше сказати «матерiальна точка». По-друге, Ньютон у своїй працi вказує на те, що iснує абсолютна нерухома система вiдлiку, а це, з точки зору сучасної фiзики, – хибно. По-третє, важливо розумiти, що у цьому законi йдеться про те, що тiло перебуває у станi спокою чи рiвномiрному прямолiнiйному русi за наявностi саме **нульової рiвнодiйної** сили. Якщо усi прикладенi сили компенсують одна одну, то змiна стану не вiдбувається. Стає зрозумiло, що ми повиннi визначити, в яких системах вiдлiку справджується це твердження. Саме тому сучасне формулювання закону Ньютона полягає у визначеннi **iнерцiйних систем вiдлiку**, в яких справдi матерiальна точка перебуває у станi спокою чи продовжує рiвномiрний прямолiнiйний рух за вiдсутностi прикладених сил, що можуть змiнити її стан. Визначення**Iнерцiйна система вiдлiку** – система вiдлiку, в якiй тiло перебуває у станi спокою або рiвномiрного прямолiнiйного руху за вiдсутностi дiї на нього нескопенсованої зовнiшньої сили. Iншими словами, це система відліку, в якiй прискорення тiла може бути викликано лише внаслiдок прикладання до нього сили. **— Чи є Земля iнерцiйною системою вiдлiку?** Земля обертається навколо своєї осi та навколо Сонця. Отже, має доцентрове прискорення. Тому, Землю не можна у строгому розумiннi назвати iнерцiйною системою відліку. З iншого боку, для розв'язання задач ми можемо наближено вважати Землю iнерцiйною системою вiдлiку з уваги на те, що доцентрове прискорення Землi дуже мале: $$a \approx 0.034$$ м/с. **— Чому тiло, кинуте пiд кутом до горизонту, не рухається рiвномiрно прямолiнiйно?**— Прискорення $$\vec{g}$$ спричинене силою тяжiння, яка дiє на тiло. Це вiдповiдає першому закону Ньютона. **— Наведiть приклад iнерцiйної та неiнерцiйної системи вiдлiку та проаналiзуйте виконання першого закону Ньютона.** — Приклад iз лекцiї професора MIT (Massachusetts Institute of Technology) Волтера Левiна. На лекцiї з механiки професор каже студентам, якi сидять за партами, що їхню аудиторiю приблизно можна вважати iнерцiйною системою вiдлiку. Таким чином, студенти якi сидять нерухомо, спостерiгачi в iнерцiйній системi вiдлiку. Потiм Волтер каже, що якщо вiн буде рухатися з прискоренням до студентiв, наприклад, на велосипедi, вони можуть запитати його, чи вiдчуває вiн дiю сили на нього, згiдно з першим законом Ньютона. Вiн вiдповiсть, що вiдчуває поштовх велосипеда, що i є прикладеною до нього силою. Все сходиться. Якщо ж взяти систему вiдлiку, пов’язану з рухомим професором, то Волтерові буде здаватись, що студенти рухаються на нього з прискоренням, у той час як вони не вiдчувають дiї ненульової рiвнодiйної сил на них. Це означає, що система вiдлiку, пов’язана з професором, не є iнерцiйною системою вiдлiку.
| **Система вiдлiку, що рухається з прискоренням, неiнерцiйна! При переходi вiд одної iнерцiйної системи вiдлiку до iншої прискорення тiла – незмiнне.** | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | # Другий закон Ньютона та сила тяжіння **Сучасне формулювання** **«В iнерцiйній системi вiдлiку прискорення, що отримує матерiальна точка незмiнної маси, прямопропорцiйне рiвнодiйнiй силі, що дiє на неї, та обернено пропорцiйне масi цiєї точки»** * **$$\vec{a} = \dfrac{\vec{F\_{}}}{m}$$ – прискорення тіла**
* **$$\vec{F\_{}} = \vec{F\_1} + \vec{F\_2} + \cdots + \vec{F\_n}$$ – рiвнодiйна сила, що надає тiлу прискорення**
* **$$m$$ – маса тiла**
$${\Large!}$$ Ми розглядали, що прискорення вiльного падiння $$\vec{g}$$ дiє на тiла поблизу поверхнi Землi. Воно напрямлене вертикально вниз i виникає внаслiдок закону всесвiтнього тяжiння (ми ще будемо його розбирати пiзнiше в курсi).**Сила тяжiння $$\vec{F\_{}} = m\vec{g}$$** Задача 2 **РОМАНТИЧНА**Уявiть ситуацiю: дiвчина бiжить назустрiч хлопцеві зi швидкiстю $$20$$ км/год. Яку силу йому потрiно прикласти, щоб зупинити кохану на відстані двох метрів? Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRCIKq1dloQ86Ecu1)![](/files/-LWNRCIMfIlgK9ibXgMd)**Розв’язок.**Нам потрiбно записати рiвняння руху для дiвчини. За початкову координату оберімо координату зустрiчi цiєї пари. Вiсь напрямляємо влiво. Тодi початкова швидкiсть дiвчини буде дорiвнювати $$20$$ км/год $$\approx$$ $$5.6$$ м/с. А гальмування описується прискоренням, напрямленим у зворотному напрямку. Це прискорення з’являється внаслiдок сили, яку приклав хлопець.$$x = \upsilon\_0 t - \dfrac{at^2}{2}, \upsilon\_0 = \upsilon - at$$Момент зупинки: $$\upsilon = 0 \Rightarrow t' = \dfrac{\upsilon\_0}{a}$$. Пiдставляємо у рiвняння рух, врахувавши, що зупинка вiдбудеться на вiдстанi двох метрів вiд початкової точки:$$x(t') = \dfrac{\upsilon\_0^2}{a} - \dfrac{\upsilon\_0^2}{2a} = \dfrac{\upsilon\_0^2}{2a} \Rightarrow a = \dfrac{\upsilon\_0^2}{2x(t')} = \dfrac{5.6^2}{2 \cdot 2} = 7.84 \ (м/c^2)$$.Для знаходження сили будемо вважати, що хлопцева дівина має масу $$52$$ кг.$$F = ma = 52 \cdot 7.84 \approx 408 \ (H)$$ Як бачите, треба бути доволi сильним, щоб зупинити свою кохану. Якщо порiвняти наш результат із силою тяжiння $$mg$$, розуміємо, що приблизно така ж сила знадобиться вам, щоб тримати 40-кiлограмове тiло. Недарма існують дiвчата, якi кажуть: «Мене легко зустрiти, але важко втримати». **Вiдповiдь.** ![](/files/-LWNRCIOLFg0-74bKBfT)Будемо вважати, що хлопцева має масу $$52$$ кг.$$F = ma = 52 \cdot 7.84 \approx 408 \ (H)$$ На два тіла масами $$m\_1 = 3 \thinspace$$кг та $$m\_2 = 15 \thinspace$$кг діє однакова сила $$F = 4 \thinspace$$Н. Як відрізнятимуться прискорення набуті тілами в результаті дії сили? Прискорення тіла $$m\_2$$ у 5 разів більше, ніж тіла $$m\_1$$ Прискорення тіл рівні між собою Прискорення тіла $$m\_2$$ у 5 разів менше, ніж тіла $$m\_1$$ Прискорення обернено пропорційне масі та прямо пропорційне силі: $$a = Fm$$.\ Оскільки сили рівні, то прискорення тіла $$m\_2$$ буде у $$5$$ раз менше, ніж у тіла $$m\_1$$. # Третій закон Ньютона **Формулювання** **«Тiла дiють одне на одне iз силами, спрямованими вздовж однiєї прямої, рiвними за модулем i протилежними за напрямком»** **Для запам’ятовування: «Cила дiї дорiвнює силi протидiї»** **Ситуацiя 1:** М’яч лежить на землi. На нього дiє сила тяжiння. Згiдно з першим законом Ньютона, у нього повинне бути прискорення. Річ у тому, що сила, з якою м’яч тисне на землю, урiвноважується протилежно напрямленою силою, з якою земля тисне на м’яч. Таким чином, рiвнодiйна сил, що прикладена до м’яча – нульова. **Ситуацiя 2:** Пригадуєте барона Мюнхгаузена, який намагався, приклавши силу до самого себе, витягнути своє тiло з рiчки? Потрiбно запам’ятати, що тiло не здатне зрушити себе самостiйно. Хтось може зауважити, що нiчого подiбного, адже ми прикладаємо силу i завдяки цьому, наприклад, ходимо. Пропоную зобразити рисунок. У момент вiдштовхування вiд землi людина прикладає до неї силу $$\vec{F\_{чз}}$$. За третiм законом Ньютона, земля створює силу, що дiє на людину $$\vec{F\_{зч}}$$.$$\vec{F\_{чз}} = - \vec{F\_{зч}}$$ **Демонстрація третього закону Ньютона** На баскетбольному матчі, захисник команди-хазяйки збиває нападника команди гостей, який збирався вже закинути м’яч у кошик суперника. Маса захисника - $$87$$ кг, нападника - $$74$$ кг. На кого подіє удар більшої сили? На захисника команди-хазяйки Сила удару однакова для двох баскетболістів На нападаючого команди гостей # Реакцiя опори та пiдвiсу **Перед вами двi ситуацiї $$\rightarrow$$** В обох ситуацiях на тiло дiє сила тяжiння. З iншого боку, в обох ситуацiях прискорення $$a = 0$$. За другим законом Ньютона, нульове прискорення може бути за умови, що рiвнодiйна сили дорiвнює нулеві. Силу тяжiння урiвноважує так звана **сила реакцiї опори або пiдвiсу.** Визначення 1. **Сила реакцiї опори $$\vec{N\_{}}$$** – сила, що дiє на тiло з боку опори (поверхнi), вона напрямлена перпендикулярно до поверхнi, тому її також називають **нормальною силою.** 2. **Сила натягу нитки $$\vec{T{}}$$** – сила, що дiє на тiло з боку нитки та напрямлена вздовж неї.\
У двох зображених випадках цi сили виникають згiдно з **третiм законом Ньютона.** Внаслiдок сили тяжiння тiло дiє на опору (пiдвiс), якi у свою чергу дiють на тiло з такою самою силою, але в протилежному напрямку. Зображувати дiю всiх сил на центр тiла можна у випадку розгляду тiл, як матерiальних точок (якщо розлядати тіло як матеріальну точку). Винятки будуть вказані у цьому курсі. М’яч кидають у горизонтальну стелю. Куди буде напрямлена сила реакції опори в момент удару? Вертикально вверх Залежіть від кута під яким м’яч вдаряє стелю Вертикально вниз Оскільки м’яч діє на стелю вертикально вверх, то сила реакції опори буде напрямлена вертикально вниз. # Сила реакції опори та вага **Важливо** пригадати формулювання третього закону Ньютона: «Тiла дiють одне на одне iз силами, спрямованими вздовж однiєї прямої, рiвними за модулем i протилежними за напрямком» | $$\vec{F\_A} = - \vec{F\_R}$$ | | ----------------------------- | $$\vec{F\_A}$$ – дiя першого тiла на друге; $$\vec{F\_R}$$ – дiя другого тiла на перше. У розглянутих нами випадках сила тяжiння i сила реакцiї опори – сили, що дiють **на тіло**. Отже, вони не є силами з визначення третього закону Ньютона. Сила реакцiї опори, за третiм законом Ньютона, дорiвнює силi, з якою тiло дiє на опору або пiдвiс. Ця сила називається **вагою.** Визначення **Вага $$\vec{P\_{}}$$** – сила, з якою тiло дiє на горизонтальну опору або пiдвiс. За третiм законом Ньютона, вага дорiвнює за модулем **силi реакцiї опори** $$\vec{N\_{}}$$. Вимірюють вагу за допомогою **вагiв або терезiв**. Сучаснi ваги на своєму табло показують масу тiла. Насправдi ж вони вимiрюють **силу**, з якою тiло тисне на них – вагу, а потiм здiйснюється перерахунок у масу, яку вже показує екран. У випадку, коли ваги нерухомо стоять на землi, вага дорiвнює силi тяжiння $$P = mg$$. Авторський алгоритм Отримання ваги в задачахВага, за третiм законом Ньютона, дорiвнює за модулем силi реакцiї опори або пiдвiсу. За другим законом Ньютона, рiвнодiйна сил дорiвнює масi тiла, помноженiй на прискорення: $$\vec{F\_1} + \vec{F\_2} + \cdots + \vec{F\_N} = m \vec{a}$$ Розв’язуючи це рiвняння, наприклад, за допомогою розкладання на проекцiї, виражаємо силу реакцiї опори або пiдвiсу (залежно вiд задачi).$$\vec{N\_{}}\thinspace / \thinspace \vec{T\_{}}$$ За третiм законом Ньютона:$$\vec{P\_{}} = - \vec{N\_{}}$$ Знайдіть величину перевантаження, що відчуває космонавт під час зльоту ракети масою $$2,2$$ мільйони кілограмів. Тяга - сила, що виробляється двигунами і штовхає ракету - становить $$37,5$$ мільйони ньютонів. $$0,7 \thinspace g$$ $$1,3 \thinspace g$$ $$1,5 \thinspace g$$ $$1,7 \thinspace g$$ Результуюча сила, що діє на ракету дорівнюватиме різниці тяги і сили тяжіння: $$ma = F\_{тяг} - mg$$\ Звідки отримуємо прискорення ракети і усіх космонавтів у ній:\ $$a = \dfrac{F\_{тяг}-mg}{m} =$$$$\dfrac{37.5 \cdot 10^6 - 22 \cdot 10^6}{2,2} \approx$$$$ 7 \thinspace \text{м/с}^2 $$\ Це прискорення становитиме $$0,7$$ прискорення вільного падіння.\ Вага космонавтів під час зльоту буде ставновити:\ $$P = m\_{к}g + m\_{к}a= m\_{к}(g + a)$$\ А вага у стані спокою на Землі: $$P\_c = m\_{к}g$$\ Їх відношення і дасть нам величину певантаження, що відчувають космонавти під час зльоту ракети:\ $$\dfrac{P}{P\_c} =$$$$ \dfrac{m\_{к}(g+a)}{m\_{к}g} =$$$$ \dfrac{g+a}{g} \approx$$$$ 1,7$$ # Приклади. Рух у ліфті ## Приклади Зараз ми розглянемо кiлька розповсюджених прикладiв на знаходження ваги $$\vec{P\_{}}$$. ## Рух у лiфтi Розглянемо три випадки руху в лiфтi: рiвномiрний або стан спокою, рiвноприскорений (вгору), рiвноприскорений (вниз). Подивімось, як буде вiдрiзнятися показник ваги. На тiло дiє всього двi сили: сила тяжiння $$\vec{F\_Т} = m \vec{g}$$ та сила реакцiї опори $$\vec{N\_{}}$$. **Другий закон Ньютона:** $$\vec{N\_{}} + m \vec{g} = m \vec{a}$$ 1. **Лiфт у станi спокою або рухається з постiйною швидкiстю $$a = 0$$.** Другий закон Ньютона в проекцiї на вісь $$y$$:$$N - mg = 0 \Rightarrow$$$$ N = mg$$ **Третiй закон Ньютона:**$$P = N = mg$$ 2. **Лiфт рухається з прискоренням, спрямованим вниз $$a\_y** Другий закон Ньютона в проекцiї на вісь $$y$$:$$N - mg = -ma \Rightarrow$$$$ N = m(g - a)$$ Третiй закон Ньютона:$$P = N 3. **Лiфт рухається з прискоренням, спрямованим вгору $$a\_y > 0$$.** Другий закон Ньютона в проекцiї на вісь $$y$$:$$N - mg = ma \Rightarrow$$$$ N = m(g + a)$$ Третiй закон Ньютона:$$P = N > mg$$ Отже, при русi лiфту з прискоренням, спрямованим вниз, вага тiла зменшується. Коли ж прискорення спрямованим вверх – вага збiльшується. Ви можете вiдчути цi ефекти, рухаючись у лiфтi. На початку руху вниз вiдчувається «легкiсть», а під час руху вгору – навпаки, вас нiби притискає до пiдлоги. Визначення **Невагомiсть (вiдсутнiсть ваги)** – стан тiла, за якого вiдсутня взаємодiя з опорою. У нашому прикладi з лiфтом тiло перебувало би в станi невагомостi, якби вiн рухався вниз з прискоренням $$\vec{g}$$. $$P = N = m(g - a) $$$$= | \thinspace a = g \thinspace| $$$$= 0$$ Полум’я свiчки за звичайних умов та невагомостi (знiмок з сайту \[NASA]\()). З iншого боку, збiльшення ваги внаслiдок прискорення називають **перевантаженням.** Часто, наприклад, виконуючи маневри на лiтаках, перевантаження вимiрюють у кiлькостi $$g$$. Наприклад, під час польоту на спортивних лiтаках досягається перевантаження $$10g$$. Це означає, що вага при цьому $$10mg$$. Як не дивно, але невагомість може відчути кожен просто підстрибнувши (інша справа, що це триватиме менше 1 секунди). Отже, запитання: в який саме момент стрибка людина знаходиться в стані невагомості? Поки піднімається Поки опускається Протягом усього стрибка, поки немає контакту с землею У верхній точці до якої дострибує Людина перебуває у стані невагомості протягом усього стрибка, адже на неї не діє ніяка сила опори в цей час. # Система тіл, що з'єднанні ниткою Перше, що важливо. Якщо сказано, що нитка **нерозтяжна**, сила натягу $$T$$ в будь-якiй її точцi **однакова.** За третiм законом Ньютона, вага дорiвнює силi натягу нитки. Виходить, що для цього випадку **вага двох тiл рiзної маси однакова.** Це дуже важливий концептуальний момент. **Не плутайте масу з вагою!** Друге. Якщо ви маєте систему тiл, ви можете розглядати кожне тiло окремо. В англомовнiй лiтературi такий пiдхiд називається **Free body diagram.** Напрямімо вiсь $$y$$ догори та розгляньмо кожне тiло окремо 1. Другий закон Ньютона: $$m\_1 \vec{g} + \vec{T\_{}} = m\_1 \vec{a} \Rightarrow -m\_1 g + T = m\_1 a$$$$T = m\_1(a+g)$$ 2. Другий закон Ньютона: $$m\_2 \vec{g} + \vec{T\_{}} = m\_2 \vec{a} \Rightarrow -m\_2 g + T = - m\_2 a$$$$T = m\_2(g - a)$$ Тепер можна прирiвняти сили натягу нитки й отримати прискорення кожного з тіл. Вони, до речi, також однаковi. | $$m\_1(a+g) =$$$$ m\_2(g-a) \Rightarrow$$$$ a (m\_1 + m\_2) =$$$$ g (m\_2 - m\_1) \Rightarrow$$$$ a = g \dfrac{m\_2 - m\_1}{m\_1 + m\_2}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | Перевіримо правильнiсть формули. * Якби **маси були однаковi**, то система перебувала б у рiвновазi.$$m\_1 = m\_2 \rightarrow a = 0$$ * Якби **одного тiла взагалi не було**, то iнше тiло рухалось просто з прискоренням $$\vec{g}$$.$$m\_1 = 0 \rightarrow a = g \dfrac{m\_2}{m\_2} = g$$ Для задачі про ліфт, розглянутої раніше, його маса ліфту з людиною становить $$200$$ кг, а маса залізного блоку - $$900$$ кг. Знайдіть прискорення ліфта. $$4 \ \text{м/с}^2$$ $$5 \ \text{м/с}^2$$ $$6 \ \text{м/с}^2$$ $$7 \ \text{м/с}^2$$ Прирівнявши сили натягу тросу, отримуємо:\ $$m\_1(g + a) = m\_2(g - a)$$\ $$200 \cdot (10 + a) = 900 \cdot (10 - a)$$\ $$20 + a = 90 - 9a$$\ $$a = 7 \thinspace \text{м/с}^2$$ # Сила пружності та закон Гука Якщо прикласти силу до якогось тiла, то воно **деформується.** Визначення **Деформацiя** – це змiна форми твердого тiла пiд дiєю зовнiшньої сили.\ \ **Пружна деформацiя** – деформацiя, яка повнiстю зникає пiсля припинення дiї зовнiшньої сили. Форма тiла повертається у своє «звичне» положення. Визначення **Сила пружностi $$\vec{F\_П}$$** – сила, що виникає внаслiдок деформацiї тiла i спрямована в протилежний бік до напрямку, вздовж якого вiдбувається деформацiя. На рисунку зображено тверде тiло, яке розтягують з силою $$\vec{F\_{}}$$. Виникає сила пружностi $$\vec{F\_П}$$, яка противиться деформацiї тiла i намагається повернути його в «звичний» стан. **Iнтуїтивно розуміємо такі моменти** 1. **Що бiльша початкова довжина $$l\_0$$, то легше видовжити тiло.** 2. $$\Delta l \sim l\_0$$ 3. **Що бiльша прикладена сила $$\vec{F\_{}}$$, то бiльше видовження тiла $$\Delta l$$.** 4. $$\Delta l \sim F$$ 5. **Що бiльша площа перерiзу $$S$$, то складнiше видовжити тiло.** 6. $$\Delta l \sim \dfrac{1}{S}$$ | Із зазначенного вище: $$\Delta l \sim \dfrac{F l\_0}{S}$$ | | --------------------------------------------------------- | Перетворивши отримане відношення, отримаємо $$\dfrac{F}{S} \sim \dfrac{\Delta l}{l\_0}$$ Ми використали всi параметри, що пов’язанi з формою об’єкта. Залишилось для повної рiвностi використати параметр, який характеризує фiзичну властивiсть матерiалу створювати супротив деформацiї – модуль Юнга $$E \thinspace \[ \thinspace \dfrac{Н}{м^2}$$ = Паскаль (Па) $$].$$ | **Матеріал** | **Алмаз** | **Скло** | **Гума** | **Лід** | **Фарфор** | **Нейлон** | | -------------------- | --------- | --------------- | ------------------ | ------- | ---------- | --------------------- | | **Модуль Юнга, ГПа** | $$1220$$ | $$50$$ - $$90$$ | $$0.01$$ - $$0.1$$ | $$3$$ | $$59$$ | $$1.2$$ - $$1.5$$ КПа | Тепер ми маємо все, щоб записати фундаментальний закон, який пов’язує силу пружностi з видовженням тiла: Закон Гука стверджує про пропорцiйнiсть мiж силою пружностi $$F\_П$$, що виникає внаслiдок деформацiї, i розтягу (стиску) тiла $$\Delta l$$. Що бiльший коефiцiєнт жорсткостi $$k$$, то швидше зi збiльшенням видовження зростає сила пружностi, яка намагається повернути тiло в його «звичний» стан. На рисунку $$k = tg\ \alpha$$. Зауважимо, що закон Гука в реальному життi справджується до **певної межi (межі пружності)** механiчної напруги. Пiсля цiєї межi тiло вже стає деформованим i не повертається в початковий стан. У школi такого випадку не розглядають. Як зміниться відносне видовження гумового шнурка, якщо його площу поперечного перерізу збільшити втричі? Зменшиться у 3 рази Збільшиться у 9 раз Зменшиться у 9 раз Збільшиться у 3 рази Сила пружності що виникає у шнурку: $$F = SE\dfrac{\Delta l}{l\_0}$$\ Таку ж силу прикладено до більш товстого шнурка: $$F = (3S)E\dfrac{\Delta l^\prime}{l\_0}$$\ Прирівнявши обидва вирази, отримуємо: $$SE\dfrac{\Delta l}{l\_0} = $$$$3SE\dfrac{\Delta l^\prime}{l\_0}$$\ Звідки отримуємо співвідношення між видовженнями: $$\Delta l^\prime = \dfrac{1}{3} \Delta l$$\ Оскільки початкова довжина $$l\_0$$ залишається незмінною, то відносне видовження зменшиться у 3 рази. # Послідовне та паралельне з'єднання пружин У задачах з пружинами використовують закон Гука. При цьому, на вiдмiну вiд розглянутої нами деформацiї твердих тiл, яку ми розглянули, тут використовується саме коефiцiєнт жорсткостi $$k$$. На рисунку зображено видовження пружини пiд дiєю сили $$\vec{F\_{}}$$ та силу розтягу $$\vec{F\_П}$$ (виникає внаслідок розтягу пружини), напрямлену протилежно до напрямку здiйснення видовження ($$x$$). Комбiнацiя пружин з рiзними коефiцiєнтами жорсткостi $$k\_1, k\_2, \ldots , k\_n$$ може бути замiненою однiєю еквiвалентною пружиною з певним коефіцієнтом жорсткості $$k$$. Для того, щоб вмiти робити такi операцiї, розглянемо паралельне та послiдовне з’єднання пружин. 1. **Паралельне з’єднання пружин.** 2. Нехай двi пружини з коефіцієнтамі жорсткості $$k\_1$$ та $$k\_2$$ з’єднанi паралельно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F\_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, двi сили пружностi $$\vec{F\_1}$$ i $$\vec{F\_2}$$. 3. ![](/files/-LWNRCxpWC4Ot7cqQXB4) 4. Модуль сили пружностi першої пружини: $$F\_1 = k\_1 x$$ 5.
6. Модуль сили пружностi другої пружини: $$F\_2 = k\_2 x$$ 7. За другим законом Ньютона: $$\vec{F\_Т} + \vec{F\_1} + \vec{F\_2} = 0 \Rightarrow F\_Т = F\_1 + F\_2$$ 8. Коли ми замiнимо цю систему однiєю еквiвалентною пружиною з коефiцiєнтом жорсткостi $$k$$, то сила пружностi, яка в нiй виникне, буде дорiвнювати силi тяжiння: 9. $$F = F\_Т = kx$$ 10. Отже, якщо пружини з’єднанi паралельно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої є сумою коефiцiєнтiв кожної з пружин: 11. $$kx = k\_1 x + k\_2 x \Rightarrow k = k\_1 + k\_2$$ 12. **Послiдовне з’єднання пружин.** 13. Нехай двi пружини з $$k\_1$$ та $$k\_2$$ з’єднанi послiдовно. Тодi, якщо ми закрiпимо вантаж, як зображено на рисунку, то внаслiдок дiї сили тяжiння $$\vec{F\_Т}$$ виникає деформацiя пружин i, вiдповiдно, сила пружностi $$F$$ в кожнiй з пружин. Це зрозумiло, якщо застосувати третiй закон Ньютона. Сила тяжiння спричиняє силу пружностi в першiй пружинi, яка дорiвнює силi тяжiння. З такою ж силою перша пружина дiє на другу, i в нiй виникає сила пружностi, яка також дорiвнює силi тяжiння. $$F\_1 = F\_2 = F$$ 14. ![](/files/-LWNRCxrmijXlT1utAY8) 15. Кожна пружина, внаслiдок дiї на них однакової сили, розтягується на рiзнi $$x\_1$$ та $$x\_2$$. Якщо систему послідовно з'єднаних пружин замінити однією еквівалентною, то видовження такої пружини $$x$$ повинно дорiвнювати сумi видовжень $$x\_1$$ та $$x\_2$$. Тепер отримаємо для кожної з пружин видовження та пiдставимо у наступну рівність $$x = x\_1 + x\_2$$. 16. Видовження першої пружини: $$x\_1 = \dfrac{F}{k\_1}$$ 17. Видовження другої пружини: $$x\_2 = \dfrac{F}{k\_2}$$ 18. Видовження еквiвалентної пружнии: $$x = \dfrac{F}{k}$$ 19. Пiдставляємо в $$x = x\_1 + x\_2$$: 20. $$\dfrac{F}{k} = \dfrac{F}{k\_1} + \dfrac{F}{k\_2} \Rightarrow \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k\_1} \dfrac{1}{k\_2}$$ 21. Отже, якщо пружини з’єднанi послiдовно, то їх можна замiнити однiєю пружиною, коефiцiєнт жорсткостi якої можна розрахувати за допомогою зазначеної вище. Пружину жорсткістю $$250$$ Н/м стискають з силою $$4$$ Н. Знайдіть зміну довжини пружини. 1,6 м 6 м 6 см 1,6 см Закон Гука: $$F = k \Delta x$$\ Тобто: $$\Delta x = \dfrac{F}{k} = $$$$\dfrac{4}{250} = $$$$0,016 \thinspace \text{м}$$\ Пружину стиснули на $$1,6$$ см. # Сила тертя До цього моменту в усiх задачах ми нехтували силою тертя. Якщо в умовi задачi кажуть «рух по рівній, гладенькій поверхнi», це означає, що вам пропонують не звертати увагу на силу тертя. З iншого боку, на практицi спостерігаємо безлiч ситуацiй, коли це неможливо. Навiть якщо вiзуально вам здається, що поверхня не має шорсткості, проте наблизивши роздiльну лiнiю мiж двома поверхнями, бачимо, що вона все-таки iснує. **Зміст розділу:** * [Сила тертя](/silatertya) 1. [Сила тертя спокою](/silatertya/sila_tertya_spokoyu) 2. [Сила тертя ковзання](/silatertya/sila_tertya_kovzannya) * [Тiло на вертикальнiй стiнцi](/silatertya/sila_tertya_kovzannya/tilo_na_vertikalnii_stintsi) 3. [Тiло на похилiй площинi](/silatertya/tilo_na_pohilii_ploschini) # Сила тертя спокою Пiсля того, як ви зрушили тiло, тобто приклали потрiбну силу $$F = \mu\_c N$$, тiло починає ковзати по поверхнi. Тепер у дiю вступає **сила тертя ковзання .** Щоб тiло ковзало з рiвномiрною швидкiстю, за другим законом Ньютона: | $$F = F\_T = \mu\_k N$$ | | ----------------------- | Сила тертя ковзання на вiдмiну вiд сили тертя спокою – постiйна. Вона не залежить вiд прикладеної сили. Якщо прикладена сила буде бiльшою за силу тертя ковзання – тiло буде рухатися з прискоренням, якщо рiвною – з постiйною швидкiстю. **Важливо$$\Large!$$** Якщо самостiйно провести аналiз, не важко пересвiдчитися, що зсунути тiло важче, нiж потiм штовхати його з рiвномiрною швидкiстю. Максимальна сила тертя спокою (сила, яку треба прикласти, щоб зрушити тiло) бiльша за силу тертя ковзання. Тому є рiзниця мiж коефiцiєнтами тертя спокою $$\mu\_c$$ та ковзання $$\mu\_k$$. | $$\mu\_c > \mu\_k$$ | | ------------------- | | **Поверхні** | **Коефіцієнт тертя спокою** | **Коефіцієнт тертя ковзання** | | -------------------------------- | --------------------------- | ----------------------------- | | **Дерево/дерево** | $$0.4$$ | $$0.2$$ | | **Лід/лід** | $$0.1$$ | $$0.03$$ | | **Метал/метал (з лубрикантом)** | $$0.15$$ | $$0.07$$ | | **Метал/метал (без лубриканта)** | $$0.7$$ | $$0.6$$ | У **ЗНО** та шкiльнiй фiзицi часто використовують лише коефiцiєнт тертя ковзання. Отже, коли не сказано, який саме коефiцiєнт дано, то це означає, що мають на увазi коефiцiєнт тертя ковзання. Побудуймо графiк залежностi сили тертя вiд прикладеної сили. 1. Поки тiло у спокої, збiльшення прикладеної сили $$\vec{F}$$ викликає пропорцiйне збiльшення сили тертя спокою i при цьому $$F\_T = F$$. 2. Коли прикладена сила стає рiвною $$F = \mu\_c N$$, тiло зрушиться з мiсця. 3. Під час руху тіла дiє постiйна сила тертя ковзання $$F\_T = \mu\_k N Шкала графiка зображена для випадку з коефiцiєнтом тертя спокою $$\mu\_c = 0.39$$, коефiцiєнтом тертя ковзання $$\mu\_k = 0.3$$ та масою тiла $$10$$ кг на горизонтальнiй площинi. Задача 1 **ШТОВХАТИ ЧИ ТЯГТИ?** Уявiть ситуацiю: вам потрiбно покатати на санчатах маленького Петра (iм’я не впливає на розв’язок задачi).\ У якому випадку вам потрiбно прикласти меншу силу, щоб з постiйною швидкiстю везти санчата? Розв’язання Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**\ \ \ ![](/files/-LWNRDvDE9P08B7C6bMs)\ \ Зобразімо всi сили, які діють на санчата у двох випадках. ![](/files/-LWNRDvFea3--3yDkMQ0)Другий закон Ньютона: $$\vec{F} + \vec{F\_T} +\vec{N} + m \vec{g} = 0$$.Проекцiя на вiсь $$y: -mg + N - F \sin \alpha = 0 \Rightarrow$$$$ N = mg + F \sin \alpha $$.Проекцiя на вiсь $$x: F \cos \alpha - F\_T = 0 \Rightarrow$$$$ F = \dfrac{F\_T}{\cos \alpha}$$ – прикладена сила.Сила тертя ковзання: $$F\_T = \mu N$$.Пiдставимо отриману силу $$N$$. $$F\_T = \mu N =$$$$ \mu (mg + F \sin \alpha) \Rightarrow$$$$ F = \dfrac{\mu (mg + F \sin \alpha)}{\cos \alpha}$$Другий закон Ньютона: $$\vec{F} + \vec{F\_T} +\vec{N} + m \vec{g} = 0$$.Проекцiя на вiсь $$y: -mg + N + F \sin \alpha = 0 \Rightarrow$$$$ N =$$$$ mg - F \sin \alpha $$.Проекцiя на вiсь $$x: F \cos \alpha - F\_T =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ F =$$$$ \dfrac{F\_T}{\cos \alpha}$$ – прикладена сила.Сила тертя ковзання: $$F\_T =$$$$ \mu N$$.Пiдставимо отриману силу $$N$$. $$F\_T =$$$$ \mu N =$$$$ \mu (mg - F \sin \alpha) \Rightarrow$$$$ F =$$$$ \dfrac{\mu (mg- F \sin \alpha)}{\cos \alpha}$$Як бачите, у другому випадку вертикальна складова прикладеної сили напрямлена в протилежну сторону до сили тяжiння, тим самим зменшуючи силу реакцiї опори $$N$$. У свою чергу сила тертя, що пропорцiйна $$N$$, також менша.**Вiдповiдь: тягти.Вiдповiдь.** тягти. Брусок масою $$15$$ кг лежить на поверхні з коефіцієнтом тертя спокою $$\mu\_c=0,5$$ і коефіцієнтом тертя ковзання $$\mu\_к=0,3$$. Чи вистачить сили $$55$$ Н, щоб рухати брусок? Ні Так Вага бруска: $$N = mg = 150 \thinspace H$$\ Сила тертя ковзання: $$F\_{к} = \mu\_к N = 0,3 \cdot 150 = 45 \thinspace H$$\ Отже сила тертя ковзання менша за прикладені $$55$$ Н, і брусок може рухатись під дією цієї сили. # Сила тертя ковзання Пiсля того, як ви зрушили тiло, тобто приклали потрiбну силу $$F = \mu\_c N$$, тiло починає ковзати по поверхнi. Тепер у дiю вступає **сила тертя ковзання .** Щоб тiло ковзало з рiвномiрною швидкiстю, за другим законом Ньютона: | $$F = F\_T = \mu\_k N$$ | | ----------------------- | Сила тертя ковзання на вiдмiну вiд сили тертя спокою – постiйна. Вона не залежить вiд прикладеної сили. Якщо прикладена сила буде бiльшою за силу тертя ковзання – тiло буде рухатися з прискоренням, якщо рiвною – з постiйною швидкiстю. **Важливо$$\Large!$$** Якщо самостiйно провести аналiз, не важко пересвiдчитися, що зсунути тiло важче, нiж потiм штовхати його з рiвномiрною швидкiстю. Максимальна сила тертя спокою (сила, яку треба прикласти, щоб зрушити тiло) бiльша за силу тертя ковзання. Тому є рiзниця мiж коефiцiєнтами тертя спокою $$\mu\_c$$ та ковзання $$\mu\_k$$. | $$\mu\_c > \mu\_k$$ | | ------------------- | | **Поверхні** | **Коефіцієнт тертя спокою** | **Коефіцієнт тертя ковзання** | | -------------------------------- | --------------------------- | ----------------------------- | | **Дерево/дерево** | $$0.4$$ | $$0.2$$ | | **Лід/лід** | $$0.1$$ | $$0.03$$ | | **Метал/метал (з лубрикантом)** | $$0.15$$ | $$0.07$$ | | **Метал/метал (без лубриканта)** | $$0.7$$ | $$0.6$$ | У **ЗНО** та шкiльнiй фiзицi часто використовують лише коефiцiєнт тертя ковзання. Отже, коли не сказано, який саме коефiцiєнт дано, то це означає, що мають на увазi коефiцiєнт тертя ковзання. Побудуймо графiк залежностi сили тертя вiд прикладеної сили. 1. Поки тiло у спокої, збiльшення прикладеної сили $$\vec{F}$$ викликає пропорцiйне збiльшення сили тертя спокою i при цьому $$F\_T = F$$. 2. Коли прикладена сила стає рiвною $$F = \mu\_c N$$, тiло зрушиться з мiсця. 3. Під час руху тіла дiє постiйна сила тертя ковзання $$F\_T = \mu\_k N Шкала графiка зображена для випадку з коефiцiєнтом тертя спокою $$\mu\_c = 0.39$$, коефiцiєнтом тертя ковзання $$\mu\_k = 0.3$$ та масою тiла $$10$$ кг на горизонтальнiй площинi. Задача 1 **ШТОВХАТИ ЧИ ТЯГТИ?** Уявiть ситуацiю: вам потрiбно покатати на санчатах маленького Петра (iм’я не впливає на розв’язок задачi).\ У якому випадку вам потрiбно прикласти меншу силу, щоб з постiйною швидкiстю везти санчата? Розв’язання Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**\ \ \ ![](/files/-LWNRDvDE9P08B7C6bMs)\ \ Зобразімо всi сили, які діють на санчата у двох випадках. ![](/files/-LWNRDvFea3--3yDkMQ0)Другий закон Ньютона: $$\vec{F} + \vec{F\_T} +\vec{N} + m \vec{g} = 0$$.Проекцiя на вiсь $$y: -mg + N - F \sin \alpha = 0 \Rightarrow$$$$ N = mg + F \sin \alpha $$.Проекцiя на вiсь $$x: F \cos \alpha - F\_T = 0 \Rightarrow$$$$ F = \dfrac{F\_T}{\cos \alpha}$$ – прикладена сила.Сила тертя ковзання: $$F\_T = \mu N$$.Пiдставимо отриману силу $$N$$. $$F\_T = \mu N =$$$$ \mu (mg + F \sin \alpha) \Rightarrow$$$$ F = \dfrac{\mu (mg + F \sin \alpha)}{\cos \alpha}$$Другий закон Ньютона: $$\vec{F} + \vec{F\_T} +\vec{N} + m \vec{g} = 0$$.Проекцiя на вiсь $$y: -mg + N + F \sin \alpha = 0 \Rightarrow$$$$ N =$$$$ mg - F \sin \alpha $$.Проекцiя на вiсь $$x: F \cos \alpha - F\_T =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ F =$$$$ \dfrac{F\_T}{\cos \alpha}$$ – прикладена сила.Сила тертя ковзання: $$F\_T =$$$$ \mu N$$.Пiдставимо отриману силу $$N$$. $$F\_T =$$$$ \mu N =$$$$ \mu (mg - F \sin \alpha) \Rightarrow$$$$ F =$$$$ \dfrac{\mu (mg- F \sin \alpha)}{\cos \alpha}$$Як бачите, у другому випадку вертикальна складова прикладеної сили напрямлена в протилежну сторону до сили тяжiння, тим самим зменшуючи силу реакцiї опори $$N$$. У свою чергу сила тертя, що пропорцiйна $$N$$, також менша.**Вiдповiдь: тягти.Вiдповiдь.** тягти. Брусок масою $$15$$ кг лежить на поверхні з коефіцієнтом тертя спокою $$\mu\_c=0,5$$ і коефіцієнтом тертя ковзання $$\mu\_к=0,3$$. Чи вистачить сили $$55$$ Н, щоб рухати брусок? Ні Так Вага бруска: $$N = mg = 150 \thinspace H$$\ Сила тертя ковзання: $$F\_{к} = \mu\_к N = 0,3 \cdot 150 = 45 \thinspace H$$\ Отже сила тертя ковзання менша за прикладені $$55$$ Н, і брусок може рухатись під дією цієї сили. # Тiло на вертикальнiй стiнцi Поширений приклад, в якому головним чином використовують зв’язок сили реакцiї опори та сили тертя – тiло на вертикальнiй стiнцi. Для того, щоб тiло трималося на нiй, потрібно прикласти силу до тіла **перпендикулярно до стінки.** Наприклад, якщо сказано, що маса тiла $$1$$ кг, коефiцiєнт тертя мiж тiлом та стiнкою $$\mu = 0.2$$, а необхiдно визначити, з якою силою потрiбно подiяти на тiло у перпендикулярному до стiнки напрямi, щоб воно залишалося нерухомим. До речi, у цьому прикладi в умовi дано лише один коефiцiєнт тертя. Це тому, що в шкiльних задачах часто не вiдрiзняють коефiцiєнт тертя спокою та ковзання. **Щоб тiло було нерухомим,** за другим законом Ньютона: $$mg = F\_T = \mu N$$ Сила реакцiї опори дорiвнює перпендикулярнiй до поверхнi стiнки складовiй силi. У цьому випадку $$N = F$$. Cила, яку потрiбно прикласти, щоб тiло залишалося нерухомим: $$mg = \mu F \Rightarrow F = \dfrac{mg}{\mu} = \dfrac{1 \cdot 9.8}{0.2} = 49 \thinspace (H)$$ # Тiло на похилiй площинi Багато задач стосуються тiл, якi розташовані на похилiй площинi. Розберімося з цим типом завдань на конкретних експериментах. **Експеримент 1: як визначити коефiцiєнт тертя?** Нехай ми маємо тiло та похилу площину, кут нахилу якої ми можемо змiнювати, i метрична лiнiйка. Повiльно збiльшуючи кут нахилу площини, спостерiгаємо за поведiнкою тiла. Досягнувши певного кута $$\alpha$$ тiло зрушиться i почне «сповзати» вниз. Розберемося у цьому переломному моменті. Фактично, момент початку руху означає, що сила тертя вже дорiвнює своєму максимальному значенню $$\mu N$$. Вiсь $$x$$ в цьому випадку дуже зручно розмiстити вздовж поверхнi, тодi вiсь $$y$$ – перпендикулярна i напрямлена вздовж напрямку сили реакцiї опори $$\vec{N}$$. Вважаємо, що в момент початку руху прискорення ще дорiвнює нулеві. Другий закон Ньютона: $$m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F\_T} = 0$$ Вiсь $$x$$ : $$mg \sin \alpha - F\_T = 0 \Rightarrow F\_T = mg \sin \alpha$$ Вiсь $$y$$ : $$-mg \cos \alpha + N = 0 \Rightarrow N = mg \cos \alpha$$ Згадаємо, що в момент зрушення тiла $$F\_T = \mu N$$. Пiдставимо у вираз для сили тертя: | $$\mu N = mg \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \mu mg \cos \alpha =$$$$ mg \sin \alpha \Rightarrow$$$$ \mu = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =$$$$ tg\ \alpha$$ | | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Ми отримали вираз для коефiцiєнта тертя. Тепер, використавши лiнiйку, яку ми мали, можемо використати те, що тангенс дорiвнює протилежному катету, подiленому на прилеглий. **Важливо $${\Large!}$$** Коефiцiєнт тертя **не залежить** вiд маси тiла та площi стику поверхонь. **Коефiцiєнт тертя залежить лише вiд матерiалiв стикових поверхонь.** **Експеримент 2: в який бiк рухається система?** Маємо два тiла з масами $$m\_1$$ та $$m\_2$$. Визначити умови для трьох станiв системи:\ 1\) стан спокою системи;\ 2\) прискорення другого тiла напрямлене вгору;\ 3\) прискорення другого тiла напрямлене вниз. * **Момент перед початком руху другого тiла вниз**\ У цей момент сила тертя, що дiє на перше тiло, напрямлена вниз по похилiй площинi. Прискорення у цей момент ще дорiвнює нулеві. Сила тертя дорiвнює максимальнiй силi тертя спокою $$\mu N$$.![](/files/-LWNRC8QRA1O4jE3VDJ4) Проекцiя на вiсь $$x$$ для першого тіла:\ $$T - F\_T - m\_1 g \sin \alpha =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ T =$$$$ m\_1 g \sin \alpha + F\_T$$ Проекцiя на вiсь $$y$$ для другого тiла: $$T = m\_2 g$$\ \ Сила натягу нитки для першого i для другого тiла – однакова, адже маємо один нерозтяжний трос, що сполучає цi тiла.**Умова руху другого тiла вниз:** | $$m\_2 g \ge m\_1 g \sin \alpha + F\_T $$ | | ----------------------------------------- | Сила тертя в момент початку руху дорiвнює $$F\_T = \mu N$$. $$N$$ можна визначити за допомогою розгляду проекцiй сил, що прикладенi до першого тiла, на вiсь $$y$$. * **Момент перед початком руху другого тiла вгору**Тут вiдмiннiсть у тому, що сила тертя для першого тiла тепер напрямлена в інший бік. Тобто, збігається за напрямом з силою натягу нитки. Далi проводимо аналогiчнi до першого випадку розрахунки.![](/files/-LWNRC8YKIBilmJgTjVn) Проекцiя на вiсь $$x$$ для першого тiла:$$T + F\_T - m\_1 g \sin \alpha =$$$$ 0 \Rightarrow$$$$ T =$$$$ m\_1 g \sin \alpha - F\_T$$ Проекцiя на вiсь $$y$$ для другого тiла: $$T = m\_2 g$$Знову-таки сила натягу однакова для першого i другого тiла.**Умова руху другого тiла вгору:** | $$m\_2 g \le m\_1 g \sin \alpha - F\_T $$ | | ----------------------------------------- | **Рекомендуємо подивитися наш експеримент, який покаже цікаве застосування сили тертя на практиці ;)** # Динамiка та статика У темi «рiвномiрний рух по колу» ми розглядали рух по колу зi сталою за модулем швидкiстю з точки зору **кiнематики.** Щоб матерiальна точка рухалась по колу з рiвномiрною швидкiстю, у неї має бути прискорення, напрямлене до центру кола (перпендикулярно до швидкостi). Ми також отримали формулу для **доцентрового прискорення:** | $$a\_Д = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ | | -------------------------------- | У цiй темi ми будемо розглядати рiвномiрний рух по колу з точки зору **динамiки.** Згiдно з другим законом Ньютона, щоб у тiла з’явилося доцентрове прискорення, рiвнодiйна сил, що дiють на нього, повинна також бути напрямлена до центру кола. | $$\vec{F\_{\Sigma}} = \thinspace$$$$ \vec{F\_1} + \vec{F\_2} $$$$+ \cdots +$$$$ \vec{F\_n} =\thinspace$$$$ m \vec{a\_Д} =\thinspace$$$$ \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ | | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Наприклад, на рисунку, який зображено вище, кулька масою $$m$$ прикрiплена до нитки. Нитка дiє на кульку з силою $$\vec{F\_{}}$$ i створює доцентрове прискорення. Що станеться з тілом, що рівномірно рухаеться по колу, якщо прибрату доцентрову силу? Воно продовжить рух по колу Зупиниться Почне рухатись прямолінійно, починаючи з точки де зникла сила Неможливо визначити # Сили, що створюють доцентрове прискорення Задачi на рух тiла по колу можна умовно розбити на рiзнi типи, у залежності від природи задіяних сил. Це важливо для правильного зображення усiх сил, що дiють на тiло, та визначення факторiв, якi впливають на виникнення доцентрового прискорення. # Сила натягу нитки У цьому роздiлi розглянемо випадки, коли тiло набуває доцентрове прискорення завдяки силi натягу нитки. 1. **Обертання тiла на нитцi в горизонтальнiй площинi** 2. При обертаннi тiла, прикрiпленого до нитки, на нього діє сила натягу. Вона напрямлена до центру кола та створює доцентрове прискорення. 3. За другим законом Ньютона: 4. Якщо нитка не знаходиться у площинi обертання (це вiдбувається за рахунок сили тяжiння), тоді доцентрове прискорення створює горизонтальна складова сили натягу нитки. 5. ![](/files/-LWNRDs_hNoFWD3O2Dkn) 6. За другим законом Ньютона: 7. $$m \vec{g} + \vec{F\_H} = m \vec{a}$$ 8. $$Ox \ : \ F\_H\sin \alpha = ma = m \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ – горизонтальна складова $$\vec{F\_H}$$ визначає $$a\_Д$$. 9. $$Oy \ : \ T \cos \alpha - mg = 0$$ – чим бiльша маса тiла, тим гострiший кут $$\alpha$$. 10. 11. Задача 1 12. 13. **ШВИДКIСТЬ ТА ПЕРIОД ОБЕРТАННЯ** 14. Кулька масою $$1$$ кiлограм обертається в горизонтальнiй площинi на нитцi завдовжки $$2$$ метри. Кут, який утворює нитка з вертикаллю – $$30^\circ$$. 15. **Знайти** 16. доцентрове прискорення кульки, лiнiйну швидкiсть та перiод обертання. 17. **Обертання тiла на нитцi у вертикальнiй площинi** 18. Рух тiла у вертикальнiй площинi 19. **не є рiвномiрним** 20. . Річ у тому, що незважаючи на те, що радiус кола в будь-якiй точцi однаковий, швидкiсть змiнюється внаслiдок дiї сили тяжiння. Прискорення в кожнiй точцi можна обчислити за вже знайомою формулою $$a = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$. 21. У ЗНО часто зустрiчаються питання на визначення швидкостi у тiй чи iншiй точцi під час руху тiла по колу у вертикальнiй площинi. Авторський алгоритм Рух по колу у вертикальнiй площинi 1. Розписуємо усi сили, що дiють на тiло в данiй точцi (пр. 1 точка у рис. вгорi): $$m \vec{g} + \vec{F\_{H1}} = m \vec{a}$$ Обираємо осi та проектуємо (в даному випадку на $$y$$): $$mg + F\_{H1} = m \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ Наступнi кроки залежать вiд того, що дано в умовi. Наприклад, в умовi дано швидкiсть, масу, радiус кола (чи довжину нитки), а треба знайти силу натягу нитки. $$F\_{H1} = m (g + \dfrac{\upsilon^2}{R})$$ **P.S.** Якщо крутити кульку зображеним вище чином, то можлива ситуацiя виходу кульки з колової траєкторiї. Це можливо, якщо ви не надали кульцi достатньої швидкостi. У випадку точки 1 кулька може не пройти кола i почати летiти вниз. Коли ми маємо справу з ниткою, це означає, що сила натягу нитки дорiвнює нулеві. Можна отримати **мiнiмальну швидкiсть**, з якою потрiбно обертати кульку, щоб вона **«пройшла» коло певного радiуса**. Для цього в рiвняннi iз п.2 силу натягу нитки прирiвнюємо до нуля. | $$mg = m \dfrac{\upsilon\_{min}^2}{R} \Rightarrow \upsilon\_{min} = \sqrt{gR}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------- | # Сила тиску Коли тiло рухається по деякiй поверхнi, присутня сила тиску (реакцiї опори). Iнодi вона буває ключовою у створеннi доцентрового прискорення. Наприклад, якби на автомобiль у **першому випадку** не дiяла сила тиску, це фактично б означало що рампа, по якiй вiн рухається, вiдсутня. Звичайно, що рух автомобiля у вертикальнiй площинi без рампи неможливий. У **другому випадку** момент, коли сила тиску дорiвнює нулеві – також означає, що автомобiль вiдiрветься вiд поверхнi. Просто-таки як у фiльмах. Розгляньмо запропонованi випадки. 1. **Перший випадок** 2. Рух у першому випадку дуже схожий на випадок з рухом тiла на нитцi у вертикальнiй площинi. Насправдi, вся рiзниця в тому, що для створення доцентрового прискорення у випадку з ниткою вiдiграє сила натягу $$F\_H$$, а у випадку з рампою – $$F\_T$$. 3. **Визначити:** 4. з якою мiнiмальною швидкiстю автомобiль повинен проходити верхню точку рампи, щоб не впасти вниз? 5. ![](/files/-LWNRDfnLNhTwKlVJ5TF) 6. У верхнiй точцi на автомобiль дiють двi сили: сила тиску (реакцiї опори) вiд рампи та сила тяжiння. Рух по колу означає, що автомобiль має доцентрове прискорення. 7. $$m \vec{g} + \vec{F\_T} = m \vec{a} \Rightarrow mg + F\_T = m \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ 8. Якщо ви порiвняєте отримане рiвняння з рiвнянням, яке ми отримували при розглядi руху тiла на нитцi у вертикальнiй площинi, то побачите, що все цілком аналогiчно. Тiло починає вiдриватись вiд рампи в момент, коли сила тиску дорiвнює нулеві. Це означає, що доцентрове прискорення просто дорiвнює прискоренню вiльного падiння $$g$$. Як i в завданнi з ниткою, отримаємо: 9. Чим бiльший радiус кола, який потрiбно пройти автомобiлю, тим бiльшою повинна бути його швидкiсть. Як бачите, вертикальний рух по колу вiдбувається за однаковими принципами. Головне – розумiти, якi сили спричинюють цей рух. 10. **Рух по опуклому мосту.** 11. Уявiть ситуацiю. Рухаючись автомобiлем прямою дорогою, ви потрапляєте на опуклий мiст. Проїзжаючи його верхню точку, ви вiдчуваєте «легкiсть». Це почуття схоже з тим, яке ви маєте починаючи рухатись вниз на лiфтi. Воно пов’язано зі зменшенням сили реакцiї опори, яка дiє на вас. Розглянемо поступово кожний момент руху. 12. **Горизонтальна дорога:** 13. ![](/files/-LWNRDfp8UtiF2zoqdlw) 14. Коли автомобiль рухається по горизонтальнiй дорозi, на нього дiють двi сили у вертикальному напрямку: сила тяжiння $$m \vec{g}$$ та сила реакцiї опори (тиску) $$\vec{F\_T}$$. 15.
16.
17. За другим законом Ньютона: $$F\_T = mg$$. 18. **Опуклий мiст:** 19. ![](/files/-LWNRDfrRUgzsDFj7Gbl) 20. Коли автомобiль рухається по колу, то в кожнiй точцi вiн має доцентрове прискорення $$a = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$. У верхнiй точцi моста доцентрове прискорення напрямлене вертикально вниз. 21.
22. За другим законом Ньютона: 23. Як бачимо, чим бiльше доцентрове прискорення, тим бiльше у вас буде вiдчуття «легкостi», адже сила тиску зменшується. Доцентрове прискорення залежить вiд швидкостi автомобiля. Це вiдповiдає дiйсностi. Чим швидше ви будете проходити верхню точку, тим бiльше шансiв вiдiрватися вiд мосту. Швидкiсть за якої це вiдбувається, можна визначити, прирiвнявши силу тиску до нуля: 24. Проведiть у головi аналогiї з усiма попереднiми випадками. Якби мiст був впуклим, то рiвняння було б: $$F\_T = m (g + a)$$. Зрозумiло, що «вiдiрватися» вiд нижньої точки немає шансiв, але чим швидше ви будете проходити нижню точку, тим сильнiший буде тиск на вас. # Сила тертя Коли автомобiль входить у поворот, необхiдне доцентрове прискорення створює сила тертя. При розглядi кiнематики руху тiла по колу ми говорили про те, що якщо колесо рухається по дорозi **без проковзування**, нижня точка колеса залишається нерухомою по вiдношенню до землi. Отже, **доцентрове прискорення автомобiлю надає сила тертя спокою, яка виникає мiж шинами коліс та дорогою.** Якщо радiус повороту – $$R$$, швидкiсть, з якою автомобiль входить у поворот – $$\upsilon$$, доцентрове прискорення: $$a = \dfrac{\upsilon^2}{R}$$. Сила тертя спокою, як ми вже з вами розглядали, може набувати максимального значення: $$\mu\_c N$$. **Отже, автомобiль, що рухається у горизонтальнiй площинi, може пройти поворот певного радiусу $$R$$, доки** | $$ma | | ---- | Оскільки доцентрове прискорення дорiвнює $$\dfrac{\upsilon^2}{R}$$, iснує певна максимальна швидкiсть, за якої авто ще може «вписатися» у поворот певного радiусу. Якщо в автомобiля швидкiсть буде бiльшою, то колеса почнуть проковзувати i транспортний засiб пiде в занос. «Автомобiль масою $$m$$ входить у поворот радiусу $$R$$. Коефiцiєнт тертя мiж шинами та дорогою – $$\mu\_c$$. З якою максимальною швидкiстю може рухатись машина, щоб втриматися на дорозi?» Автомобiль починає проковзувати в момент коли доцентрова сила стає бiльшою за максимальну силу тертя спокою. Отже, максимальну швидкiсть можна визначити з умови рiвностi: $$\mu m g = ma = m \dfrac{\upsilon^2}{R}$$ Звiдси маємо: | $$\dfrac{\upsilon^2}{R} = \mu g \Rightarrow \upsilon\_{max} = \sqrt{\mu g R}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------ | Отримана формула інтуїтивно зрозуміла. Максимальна швидкiсть входження у поворот залежить вiд коефiцiєнта тертя мiж дорогою та колесами. Чим менший коефiцiєнт тертя, тим менша швидкiсть, на якiй можна безпечно пройти поворот. Саме тому на замерзлій дорозi чи при ожеледиці машини часто заносить. Також є залежнiсть вiд радiуса кривизни. Чим менший радiус – тим «крутiший» поворот. **На противагу цьому, можна помiтити, що вiдсутня залежнiсть вiд маси автомобiля.** # Статика та умови рiвноваги **Статика** – роздiл механiки, в якому вивчають умови рiвноваги тiл. Тiла залишаються у станi спокою або рiвномiрного прямолiнiйного руху, якщо сума усiх сил, що дiють на них, дорiвнює нулеві. Це нам вiдомо з першого закону Ньютона. з попередніх розділів ви вже знаєте про обертання тiла, так-от тiло обертається рiвномiрно з постiйною кутовою швидкiстю $$\omega$$, поки до нього не прикладено сил, якi спричиняють появу кутового прискорення. Цi два приклади i формують двi умови рiвноваги тiла, якi ми розглянемо. У цьому роздiлi ми будемо переважно асоцiювати рiвновагу з перебуванням тiла у стані спокою. Це природна та зрозумiла асоцiацiя для повсякденного життя. # Перша умова рiвноваги Згiдно з другим законом Ньютона, щоб тiло перебувало у станi спокою, сума сил, прикладених до нього, повинна дорiвнювати нулеві. Книга лежить на столi. На неї дiють двi сили: гравiтацiйна $$m \vec{g}$$ та сила реакцiї опори $$\vec{N\_{}}$$. Вони компенсують одна одну i таким чином тiло перебуває у стані спокою $$\sim$$ **рiвновазi.** Якщо ж, наприклад, книга падає зi столу, то на неї дiє сила тяжiння. У розглянутих раніше випадках ми нехтували силою опору повiтря, та навiть якщо не нехтувати нею, вона менша за силу тяжiння i книга падає з прискоренням близьким до $$g \Rightarrow$$ **тiло не в рiвновазi.** Визначення **Перша умова рiвноваги:** щоб тiло перебувало у станi рiвноваги, сума сил, що дiє на нього, повинна дорiвнювати нулю.\ \ $$\vec{F\_{\Sigma}} = 0$$ Якщо розглядаємо задачу з силами, що дiють в однiй площинi, то суми проекцiй на осі $$x$$ та на $$y$$ повиннi дорiвнювати нулеві. $$F\_{\Sigma}^x = 0; \quad F\_{\Sigma}^y = 0$$
Задача 1 **ВАНТАЖ НА ТРОСI** Вантаж масою $$1.2$$ кг пiдвiшено на горизонтальному нерозтяжному тросi завдовжки $$26$$ см за допомогою блоку, що може вiльно рухатись по тросу (див. рисунок). Знайдiть силу натягу троса, якщо в станi рiвноваги точка пiдвiсу на $$5$$ см нижча, нiж точки закрiплення троса. Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRDTKujJq06nkjXob)![](/files/-LWNRDTNyPtjX-kLq9Nb)**Розв’язок.**Аби вантаж не ковзав по тросу i залишався у станi спокою, сума усiх сил, що дiють на нього, має дорiвнювати нулеві. При цьому дiю сил слiд розглядати вiдносно точки пiдвiсу (а не безпосередньо вантажу), оскiльки лише так ми можемо врахувати усi сили: вагу вантажу i сили натягу, що виникають у кожнiй частинi троса. Тобто:$$\vec{P\_{ }} + \vec{T\_1} + \vec{T\_2} = 0$$ Сила натягу в усiх частинах троса буде однаковою, оскiльки вiн є нерозтяжним i має справджуватись третій закон Ньютона. Тому у станi рiвноваги вантаж зупиниться саме посеред троса, де натяг в обох його частинах компенсуватиметься вздовж осi $$0x$$. Отже, розглядаємо лише сили, що дiють вздовж $$0y:$$ $$T \cos \alpha + T \cos \alpha - P = 0$$ Визначити кут $$\cos \alpha$$ можна з трикутника ABC: $$\cos \alpha = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sqrt{AC^2 - BC^2}}{AC} = \dfrac{5}{13}$$ Отже, сила натягу троса:$$T = \dfrac{P}{2 \cos \alpha} = \dfrac{mg}{2 \cos \alpha} = \dfrac{12}{2 \cdot \dfrac{5}{13}} = 15.6 \thinspace H$$ **Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRDTPPGUxvUVmQr8s) Cила натягу троса:$$T = \dfrac{P}{2 \cos \alpha} = \dfrac{mg}{2 \cos \alpha} = \dfrac{12}{2 \cdot \dfrac{5}{13}} = 15.6 \thinspace H$$ # Друга умова рiвноваги та момент сили У попередній частині було розглянуто умову рiвноваги, де головним чином важливо, щоб рiвнодiйна сил дорiвнювала нулеві. Зараз ви зрозумiєте, що це лише одна з умов але її може бути недостатньо. На рисунку вище зображено поверхню, на якiй закрiплено брусок таким чином, що вiн може обертатися (вiсь обертання на рис.). До протилежних сторiн прикладено однаковi сили. **— Чи в рiвновазi тiло?**\ — Нi. Адже, в даному випадку тіло обертатиметься із кутовим прискоренням. Тiло виходить зі стану спокою пiд дiєю двох сил i починає обертатися. Кутова швидкiсть змiнюється, тож рiвновага вiдсутня. Справдi, незважаючи на те, що сума прикладених сил дорiвнює нулеві (маємо двi сили, спрямовані в протилежнi напрямки), рiвновага вiдсутня.![](/files/-LWNRBwx9J3z1IQ485uf) Ще одне важливе спостереження. Нехай тi самi двi сили прикладенi так, як зображено на рисунку вище. Iнтуїтивно зрозумiло, що брусок не буде обертатися i залишиться у станi рiвноваги. З цього конкретного прикладу можна зробити висновок, що є якась величина, яка залежить вiд сили та вiдстанi вiд осi обертання. Ця величина називається **моментом сил** i перед тим, як отримати другу умову рiвноваги тiла, ми повиннi розглянути це поняття. Поговорімо про простий приклад iз повсякденного життя. Маємо звичайнi дверi та два випадки. Перший, ручка крiпиться на краю дверей, подалi вiд вiсi обертання. До такої ситуацiї ми звикли, так зазвичай i роблять. У другому випадку ручка прикрiплена ближче до осі обертання. Якщо ви спробуєте перевiрити, в якому з випадкiв вiдчиняти дверi легше, то пересвiдчитесь, що це вiдбувається, коли ручку розмiщено далi вiд осi обертання. Отже, можна зробити висновок, що iснує величина, яка характеризує обертання тiла, i вона залежить вiд сили, яка прикладається до певної точки цього тiла та вiд вiдстанi до осi обертання. Визначення **Момент сили $$M$$** – величина, яка чисельно дорiвнює добутку модуля прикладеної сили $$F$$ та вiдстанi вiд осi обертання до лiнiї дiї цiєї сили. Вiдстань вiд осi обертання до лiнiї дiї сили називається **плечем** цiєї сили i позначається лiтерою $$l$$. Iншими словами, плече сили – перпендикуляр, проведений вiд точки обертання до лiнiї дiї сили.$$M = F \cdot l$$ **У SI: H м** Момент сили характеризує обертання тiла. Обертання може бути як за годинниковою стрiлкою, так i проти. Домовимося, що якщо маємо перший варiант, то момент сили – додатнiй, якщо проти – вiд’ємний. Слiд ще пояснити поняття **плече сили**. Це перпендикуляр, проведений вiд осі обертання до лiнiї дiї сили. Маємо три ситуацiї: У кожнiй з них є брусок, який по центру має вiсь обертання. Вiдстань вiд осі обертання до точки прикладання сили – $$R$$. Важливо розумiти, що плече сили $$l \not= R$$. Розглянемо ситуацiї по порядку: 1. Силу $$\vec{F}$$ прикладено до краю бруска перпендикулярно до $$R$$. В такому разі будемо мати обертання за годинниковою стрiлкою, а плече сили $$l = R$$.$$M = F l = FR$$ 2. Силу $$\vec{F\_{}}$$ прикладено пiд певним кутом до $$R$$. Плече сили, як вже зазначалося – це перпендикуляр, проведений вiд осі обертання до лiнiї дiї сили. Iз прямокутного трикутника видно, що плече $$l$$ – це протилеглий катет до кута мiж $$R$$ та $$F$$. Отже, $$l$$ та $$R$$ пов’язує $$\sin \alpha \Rightarrow l = R \sin \alpha$$.$$M = F l = F R \sin \alpha$$Ви знаєте, що $$\sin \alpha \le 1$$, це означає що найбiльший момент сили досягається тоді, коли силу прикладено перпендикулярно до $$R$$. Наступна ситуацiя фiналiзує це твердження. 3. Кут мiж прикладеною силою $$\vec{F\_{}}$$ та вiдрiзком $$R$$ дорівнює $$0^\circ$$. Iнтуїтивно розуміємо, що в такiй ситуацiї нiякого обертання не буде взагалi. Це пiдтверджується розглянутою нами теорiєю. Оскільки плече сили дорiвнює $$l = R \sin \alpha = R \sin 0^\circ = 0$$, отримуємо, що момент сили також дорiвнює нулеві.$$M = F l = F \cdot 0 = 0$$ Отже, пiсля розглянутого поняття моменту сили можна сформулювати **другу умову рiвноваги** та розглянути деякi приклади. Визначення **Друга умова рiвноваги:** щоб тiло перебувало у станi рiвноваги, сума моменiв сил вiдносно будь-якої нерухомої вiсi повинна дорiвнювати нулеві.\ \ $$M\_{\Sigma} = 0$$\ \ Це якраз i є умовою вiдсутностi кутового прискорення $$\alpha$$. Розглянемо використання другої умови рiвноваги на прикладах. Маємо стрижень, закріплений на вертикальнiй стiйцi таким чином, що вiн може обертатися. Стрижень однорiдний та має певну масу $$M$$. Довжина однiєї подiлки нехай буде умовно: $$d$$. Якщо закрiпити його чітко по центру, то обертатися вiн не буде. Ситуацiя вiдповiдає обом умовам рiвноваги. **Перша:** сила тяжiння $$M\vec{g}$$ врiвноважена силою реакцiї опори $$\vec{N\_{}}$$. дорiвнюють нулю. **Друга:** вiдносно точки обертання ми маємо два нульових моменти, адже плече сили $$M \vec{g}$$ та сили $$\vec{N\_{}}$$ дорiвнюють нулеві. Надалi цi двi сили можемо не розглядати, адже на рiвновагу вони впливати не будуть. Тепер підвісимо два вантажi маси $$m$$ на краях стрижня. Iнтуїтивно зрозумiло, що стрижень знову буде перебувати у станi рiвноваги. Розгляньмо детальнiше з точки зору умов рiвноваги. **Перша:** двi сили $$m \vec{g}$$ врiвноважуються силою реакцiї опори $$\vec{N\_{}}$$. **Друга:** вiдносно точки обертання маємо 2 ненульових моменти. Момент сили тяжiння для першого тiла вiдповiдає обертанню тiла проти годинникової стрiлки, отже, вiн буде зi знаком мiнус. **Оскільки сила тяжiння перпендикулярна до лiнiї стрижня, плече сили збігається з вiдстанню вiд вiсi обертання** до точки прикладання сили i дорiвнює шести подiлкам – $$6d$$. Отже, $$M\_1 = -6d \cdot mg$$. Другий момент має таке саме плече, але вiдповiдає за обертання за годинниковою стрiлкою, отже, ми його запишемо зi знаком «+». $$M\_2 = 6d + mg$$. Отже, друга умова рiвноваги справдi виконується: $$M\_{\Sigma} = M\_1 + M\_2 = - 6d \cdot mg + 6d \cdot mg = 0$$ Тепер перший вантаж залишемо без змiн, а от справа пiдвiсимо два вантажi на вiдстанi трьох подiлок вiд осi обертання. Можливо, на цьому етапі ще не зрозуміло, але ми маємо знову стан рiвноваги. З першою умовою все, як завжди, зрозумiло, а от другу потрiбно розглянути детальніше. Момент для першого вантажу не змiнився порівняно з попереднiм прикладом: $$M\_1 = -6d \cdot mg$$. Момент для подвiйного вантажу: сила = $$2mg$$, плече сили = $$3d$$, обертання за годинниковою стрiлкою ( «+» ). $$M\_2 = 3d \cdot 2mg = 6d \cdot mg$$. Знову ж таки, друга умова рiвноваги справджується. Загалом це зрозумiло, адже порівняно з першим моментом, тут було в два рази збiльшено силу, але в два рази зменшено плече. Тепер ще трiшки складнiше :) Тут вже маємо три ненульових моменти вiдносно осi обертання i знову ж таки маємо стан рiвноваги. Момент для першого вантажу: сила $$= m\vec{g}$$, плече $$= 3d$$, обертання проти годинникової стрiлки ( «-» ). $$M\_1 = - 3d \cdot mg$$. Момент для другого вантажу: сила $$= 3mg$$, плече сили $$= d$$, обертання проти годинникової стрiлки ( «-» ). $$M\_2 = -d \cdot 3g = -3d \cdot mg$$. Момент для третього вантажу: сила $$= 2mg$$, плече $$= 3d$$, обертання за годинниковою стрiлкою ( «+» ). $$M\_3 = 3d \cdot 2mg = 6d \cdot mg$$. Друга умова рiвноваги виконується: $$M\_{\Sigma} =$$$$ M\_1 + M\_2 + M\_3 =$$$$ -3dmg - 3dmg + 6dmg = 0$$ Задачi на врiвноваження одних вантажiв iншими дуже часто зустрiчаються у шкiльних задачах та в тестах ЗНО. Запитання можуть бути такого типу: де розмiстити додатковий вантаж, щоб система була в рiвновазi чи який вантаж потрiбно почепити на дане мiсце, щоб система перебувала в рiвновазi. Незалежно вiд поставленої задачi, розв’язують її за допомогою запису другої умови рiвноваги. Правило моментiв дуже часто називають **золотим правилом механiки**: «Виграючи у силi, програємо у вiдстані» Справдi, чим бiльше плече, тим меншу силу потрiбно прикласти, щоб отримати певну величину моменту сили. Навпаки, чим бiльша сила, тим менше плече можна використовувати. Золоте правило механiки було вiдоме ще за часiв Архiмеда. Його вiдома фраза: «Дайте менi точку опори i я переверну Землю» Задача 2 **НЕДОБРОСОВIСНИЙ ПРОДАВЕЦЬ**На жаль, у свiтi iснують хитрi та недобросовiснi продавцi. Один з таких має точковий магнiт масою $$1$$ кг. На якiй вiдстанi вiд осi терезів вiн має прикрiпити його до плеча чашки, в яку накладає товар, щоб обважувати покупцiв на $$200$$ г? Плечi терезів по $$20$$ см. Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRBx28mx_3p0XiRSD)![](/files/-LWNRBx4wMqKwJD7Vd8x)**Розв’язок.**Отже, обважити на 200 г... Для цього магнiт повинен створювати той самий момент сили вiдносно осi терезів, що i 200 г товару з плечем в 20 см:$$M\_t = 0.2 \cdot 10 \cdot 0.2 = 0.4 \ (Н \cdot м)$$ $$M\_т = M\_м = m\_м \cdot g \cdot l\_м$$ Звiдки отримуємо вiдстань вiд осi терезів, на якiй потрiбно закрiпити магнiт: $$l\_м = \dfrac{M\_т}{m\_м \cdot g} = \dfrac{0.4}{1 \cdot 10} = 4 \ см$$ **Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRBx696V1IivCca7g)Biдстань вiд осi терезів, на якiй потрiбно закрiпити магнiт: $$l\_м = \dfrac{M\_т}{m\_м \cdot g} = \dfrac{0.4}{1 \cdot 10} = 4 \ см$$ Задача 3 **НЕЩАСНИЙ ВИПАДОК У ЄГИПТI** Нещаснi випадки можуть трапить будь-де i будь з ким. Не є винятком i будiвництво єгипетських пiрамiд. Уявiмо ситуацiю, що одному з робiтникiв притисло ногу одним з найлегших блокiв, з яких цi пiрамiди споруджувалися масою $$2750$$ кг. Чи зможуть вiсiм робітників масою по $$95$$ кг врятувати його, якщо Iмхотеп саме для таких випадкiв вiддав на будiвництво невагому $$5$$-метрову балку, яку неможливо зламати чи навiть зiгнути? Точку опори робiтники встановили на вiдстанi $$1$$ метра вiд блока. Взятись за балку вони можуть попарно на вiдстанi $$20$$ см один вiд одного, щоб не заважати самим собi. Уся маса блоку зосереджена в точцi де пiд нього пiдклали балку (такого не буває, але це задача з фiзики). Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRBx8lo_61LR8RmhH)![](/files/-LWNRBxA7ZyBz0X9Z_vP)**Розв’язок.**Момент сили, що створює блок своєю вагою вiдносно точки опори:$$M\_б =$$$$ m\_б \cdot g \cdot l\_б =$$$$ 2750 \cdot 10 \cdot 1 =$$$$ 27500 \ (Н \cdot м)$$Сумарний момент сил усiх робiтникiв, котрі намагаються пiдняти блок:$$M\_р = 2m\_р \cdot g \cdot (r\_1 + r\_2 + r\_3 + r\_4) =$$$$ 2 \cdot 95 \cdot 10 \cdot (4 + 3.8 + 3.6 + 3.4) =$$$$ 28120 \ (Н \cdot м)$$Масу i прискорення вiльного падiння ми винесли за дужки, оскiльки вони однаковi для всiх робiтникiв. Двiйка належить до фактора маси, оскiльки робiтники прикладають силу по двоє в однiй точцi.Отже, невдаху врятовано, оскiльки сумарний момент сил робiтникiв бiльший, нiж момент сили, що створює блок вiдносно точки опори!**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRBxC67AFUAqDUUyN)Hевдаху врятовано, оскiльки сумарний момент сил робiтникiв бiльший, нiж момент сили, що створює блок вiдносно точки опори. # Центр тяжiння та центр мас Ще два важливих поняття для засвоєння: **центр мас та центр тяжiння.** Під час розгляду руху тiла, яке має певнi розмiри, ми часто вводили деякi спрощення. По-перше, вважали, що рух є поступальним (всi точки тiла проходять однаковий шлях). По-друге, динамiка тiла та кiнематичнi рiвняння розглядалися з використанням концепцiї **матерiальної точки** (уся маса тiла зосереджена в нiй, також на неї дiють усi сили, що прикладенi до тiла в рiзних точках). Приклади використання цих концепцiй: 1. До бруска, що лежить на деякiй поверхнi, прикледно силу пiд кутом до горизонту.![](/files/-LWNRGBdlMSm707HWYbX)Якщо ви пригадуєте, ми говорили про те, що сила має точку прикладання. Розглядаючи брусок певних розмiрiв, бачимо, що в цьому випадку: сила $$\vec{N\_{}}$$ прикладена вiд опори до нижньої гранi бруска, сила тяжiння – прикладена до геометричного центра бруска (якщо вiн однорiдний), сила тертя виникає мiж поверхнею та нижньою гранню тiла, зовнiшня сила, яка спрямована пiд кутом до горизонту, прикладена до точки на верхнiй гранi бруска. Та все ж, таку задачу ми спрощували до випадку, коли всi сили прикладенi до матерiальної точки, маса якої дорiвнює масi бруска. 2. Петро жбурляє брусок пiд певним кутом до горизонту.![](/files/-LWNRGBfp7R2giQKSlSq)На лiвому рисунку зображено поступальний рух бруска. Жбурнути тiло певних розмiрiв таким чином, звичайно, можна, але ж ви розумiєте, що набагато вiрогiднiша ситуацiя, зображена на правому рисунку. Тут присутнiй обертальний рух. Рiзнi точки бруска проходять рiзний шлях за певний промiжок часу та перебувають у русi одна вiдносно iншої. **$${\Large!}$$** Перший та другий приклад дуже показовi. Маємо тiло певних розмiрiв з певною масою, до рiзних точок якого прикладено деякi сили. Навiть якщо внаслiдок такого прикладання сил, тiло обертається, завжди iснує точка, яка рухається так само, як би рухалась матерiальна точка із зосередженою в нiй масою тiла, до якої прикладено всi цi сили. Така точка називається **центром мас (ЦМ)**. В однорiдних тiлах з симетричною геометрiєю центр мас збігається з геометричним центром тiла.![](/files/-LWNRGBhEqHRe_X4b_yb) **Взагалi рух будь-якого тiла можна розглядати як суму поступального руху центра мас, обертального руху, коливального чи будь-яких iнших типiв руху навколо центра мас.** Щоб краще розiбратися з концепцiєю центра мас, розглянемо такий простий експеримент. Маємо поверхню стола, на яку ми поклали молоток з позначеним на ньому центром мас. Тепер, якщо ми штовхнемо його в горизонтальному напрямку, приклавши силу, наприклад, до центру держака молотка, то вiн буде рухатись так, як зображено на малюнку. Маємо поступальний рух центра мас по прямiй лiнiї та обертальний рух молотка навколо центра мас. Центр мас рухається так, як би рухалась матерiальна точка, до якої прикладено вiдповiдну силу, а обертальний рух молотка залежить вiд точки, до якої ми приклали цю силу. Наприклад, найменше буде обертатися молоток, якщо силу буде прикладено до залiзної частини молотка (близько до ЦМ), а якщо прикласти силу до нижньої частини ручки (далi вiд ЦМ), то обертальна складова буде бiльшою. Поступальний рух центра мас у всiх випадках все одно буде однаковим. Це можна перевiрити власними силами в домашнiх умовах. **$${\Large!}$$** Взагалi **центр тяжiння (ЦТ) $$\not=$$ центр мас**. Центр мас не стосується будь-якої іншої сили. Маса в будь-якому мiсцi, полi сил, середовищi i є масою. Центр тяжiння – це точка, до якої прикладено силу тяжiння. **Якщо пiдперти тiло в центрi тяжiння, то воно буде перебувати у станi рiвноваги** (рис. Центр тяжiння). Адже в такому випадку момент сили цього тiла вiдносно точки опори буде нульовим (плече = 0). Чому ж поняття центр тяжiння та центр мас – не завжди одне i те саме? Уявiть наприклад, що ми маємо дуже довгий однорiдний стрижень, частина якого розташована, наприклад, на Землi, а частина – на мiсяцi. Тодi сила тяжiння для першої частини тiла буде бiльшою, нiж для другої. Центр мас буде розташовано, як завжди, у геометричному центрi стрижня, а от центр тяжiння – буде зсунуто в бiк Землi. **У наших задачах для тiл, якi знаходяться на Землi, цей ефект вiдсутнiй, тому центр мас i центр тяжiння збігаються.** Як видно з рисунку вище та, як один з висновків, правила моментiв, яке ми розглянули, рiвноважне положення спостерiгаємо тодi, коли центр тяжіння розміщений на вертикальнiй лiнiї осі обертання. У такий спосіб, наприклад, можна визначити положення центра тяжiння плоского тiла неправильної форми. Можна пiдвiсити тiло почергово у рiзних точках i за рахунок моменту сили воно повернеться так, щоб потрапити в рiвноважне положення (момент = 0, ЦТ лежить на вертикальнiй лiнiї, що проходить крiзь вiсь обертання). Обидва рази проводимо вертикальнi лiнiї й на їх перетинi i буде шукане положення ЦТ. Отже, якщо ЦТ розміщений нижче від осi обертання, то тiло самостiйно приймає положення рiвноваги. На такому принципi, наприклад, канатоходець може втримувати рiвновагу. Якщо вiн буде тримати довгу палицю, до якої з обох сторiн прикрiплено довгi троси з вантажами на них, то ЦТ системи тiл «Людина i два вантажi» буде перебувати пiд точкою опори. Таким чином канатоходець спокiйно втримується на канатi. # Стiйкiсть рiвноваги Тепер, коли ви добре розумiєте, яким чином досягають рiвноваги i якi умови необхiднi для цього, залишилось розглянути ще один важливий момент – **стiйкiсть рiвноваги**. Нехай тiло перебуває у рiвновазi. Якщо ж змiстити тiло з положення рiвноваги, можливi три варiанти того, що відбуватиметься далi: 1. Тiло повернеться в положення рiвноваги. Така ситуацiя називається **стiйкою рiвновагою**. На першому рисунку видно, що в такiй ситуацiї при вiдхиленнi тiла рiвнодiйна сил, яка з’являється, повертає його в рiвноважне положення. 2. Тiло рухається далi вiд рiвноважного положення i вже в нього не повернеться. Така ситуацiя називається **нестiйкою рiвновагою**. Рiвнодiйна сил, яка з’являється пiсля вiдхилення тiла, і надалі відхиляє тiло вiд положення рiвноваги. 3. Змiщення тiла взагалi не призводить до виведення тiла зі стану рiвноваги. Така ситуацiя називається **байдужою рiвновагою**. Тут річ у тому, що при зсувi тiла ситуацiя не мiняється. Положення рiвноваги зберiгається. # Iмпульс, робота, потужнiсть Досі ми розглядали рух тiл з погляду законiв Ньютона. Є ще один, альтернативний спосіб розглядання, який дає змогу не лише глибше зрозуміти фізичні процеси, а й зовсiм по-iншому розв’язувати практичнi задачi на рух тiл. **Зміст розділу:** 1. [Механiчна робота](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota) * [Геометричний змiст роботи](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota/geometrichnii_zmist_roboti) * [Робота сили тяжiння](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota/robota_sili_tyazhinnya) * [Робота сили пружностi](/impuls-_robota-_potuzhnist/mehanichna_robota/robota_sili_pruzhnosti) 1. [Робота та енергiя](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya) * [Кiнетична енергiя](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/kinetichna_energiya) * [Консервативнi та неконсервативнi сили](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/konservativni_ta_nekonservativni_sili) * [Потенцiальна енергiя](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/potentsialna_energiya) * [Закон збереження механiчної енергiї](/impuls-_robota-_potuzhnist/robota_ta_energiya/zakon_zberezhennya_mehanichno_energi) * [Потужнiсть та ККД](/impuls-_robota-_potuzhnist/potuzhnist_ta_kkd) * [Iмпульс та його зв’язок з силою](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_tila_ta_yogo_zvyazok_iz_siloyu) * [Імпульс тіла і другий закон Ньютона](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_tila_ta_yogo_zvyazok_iz_siloyu/impuls_tila_i_drugiy_zakon_nyutona) * [Закон збереження iмпульсу](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_tila_ta_yogo_zvyazok_iz_siloyu/zakon_zberezhennya_impulsu) * [Імпульс та кінетична енергія](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya) * [Закони збереження, пружні та непружні зіткнення](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/zakoni_zberejennia-_prujni_ta_neprujni_zitknennia) * [Абсолютно пружне зіткнення](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/absolytno_prujne_zitknennia) * [Абсолютно непружне зіткнення](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/absolytno_neprujne_zitknennia) * [Зіткнення у двох вимірах](/impuls-_robota-_potuzhnist/impuls_ta_kinetichna_energiya/zitknennia_u_dvoh_vymirah) # Механiчна робота ## Механiчна робота У цьому роздiлi розглядатимемо поступальний рух, а поведiнку тiл – як матерiальної точки. ## Дiя постiйної сили (F = const) Визначення **Механiчна робота $$A$$** – це скалярна величина, яку визначають як добуток модуля перемiщення $$S$$ на компоненту сили $$F\_{\parallel}$$, паралельну до перемiщення.\ \ $$A = F\_{\parallel} S = F S \cos \alpha$$\ **SI:** Н $$\cdot$$ м $$=$$ Дж Робота з перемiщення тiла залежить вiд кута мiж вектором перемiщення та прикладеною силою. Таким чином, якщо проекцiя сили на вiсь, спрямовану вздовж перемiщення, додатня $$(0^\circ 0)$$, то i робота, яку виконано, має знак «+». Якщо проекцiя прикладеної сили на вiсь вiд’ємна $$(90^\circ Задача 1 **ЯЩИК I РОБОТА** Ящик масою $$m = 30 \thinspace$$кг протягнули на вiдстань $$30 \thinspace$$м, прикладаючи силу $$F = 30 \thinspace$$Н пiд кутом $$30^\circ$$ до горизонту. Сила тертя $$F\_т = 20 \thinspace$$Н.\ **1.** Яку роботу з перемiщення ящика виконує сила $$F$$?\ **2.** Яку роботу з перемiщення ящика виконує сила тертя $$F\_т$$?\ **3.** Яку сумарну роботу було виконано?\ **4.** Яку саме потрiбно прикласти силу $$F$$, щоб її робота дорiвнювала нулеві? Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRBusCGnWi5YGEYZa) **Розв’язання.** ![](/files/-LWNRBuuGfNri1671TuO)**1.** Сила $$\vec{F\_{}}$$ спрямовано пiд кутом $$30^\circ$$ до вектора перемiщення $$\vec{S\_{}}$$. Робота:$$A = F \cdot \cos \alpha = 30 \cdot 30 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 765 \thinspace \text{(Дж)}$$**2.** Сила тертя спрямована в протилежному напрямку від вектора перемiщення. Отже, вона виконує вiд’ємну роботу. Математично це випливає з того, що кут $$\alpha = 180^\circ \Rightarrow \cos \alpha = 0$$. Робота:$$A\_т = -F S = -20 \cdot 30 = -600 \thinspace \text{(Дж)}$$**3.** Сумарна робота з перемiщення тiла:$$A + A\_т = 765 - 600 = 165 \thinspace \text{(Дж)}$$**4.** Подумайте, в який спосіб/як саме вам би потрiбно було прикласти силу до ящика, щоб вiн не рухався вздовж горизонтальної поверхнi. Очевидно, що силу небхідно прикласти пiд прямим кутом до горизонту. **Вiдповiдь.** ![](/files/-LWNRBuwJATqO0TRDs4y)**1.**Робота:$$A = F \cdot \cos \alpha = 30 \cdot 30 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 765 \thinspace \text{(Дж)}$$**2.**Робота:$$A\_т = -F S = -20 \cdot 30 = -600 \thinspace \text{(Дж)}$$**3.** Сумарна робота з перемiщення тiла:$$A + A\_т = 765 - 600 = 165 \thinspace \text{(Дж)}$$ **4.**Силу треба прикласти пiд прямим кутом до горизонту. # Геометричний змiст роботи Нехай маємо такi данi: тiло штовхають на вiдстань $$8$$ метрiв, прикладаючи силу $$F$$ так, що компонента сили, паралельна до вектора перемiщення – додатня, та дорiвнює $$F\_{\parallel} =$$$$ F \cdot \cos \alpha =$$$$ 4 \thinspace$$Н. Iз формули, яку ми отримали в попередньому пунктi: $$A =$$$$ F\_{\parallel} S =$$$$ 4 \cdot 8 =$$$$ 32$$. Якщо зобразити вхiднi умови графiчно, то зрозумiло, що робота = площi фiгури, обмеженої лiнiями $$F =$$$$ F\_{\parallel}$$, осями координат та прямою $$x = S$$. Крім того, геометричний змiст роботи – унiверсальний. Його можна застосовувати не тiльки для постiйної сили. Робота завжди дорiвнює площi фiгури, обмеженної графiком сили, осями координат та прямою $$x = S$$.Наприклад, нехай ми маємо силу, яка лiнiйно залежить вiд $$x: \ F =$$$$ \dfrac{1}{2} \thinspace x$$, вiдстань, на яку посунули тіло, - $$8$$ метрів: ![](/files/-LWNRDlHW0rst41FW4nr) # Робота сили тяжiння Розгляньмо приклад. Тiло вiдпускають на висотi $$h$$ i воно летить вертикально вниз. Яку роботу виконає сила тяжiння? Напрямок вектора перемiщення $$h$$ збігається з напрямком сили тяжiння $$m \vec{g}$$ Це означає, що робота сили тяжiння додатня i за визначенням дорiвнює: $$A = m g h$$ Якщо ж тiло пiднiмають вгору, то сила тяжiння виконує від’ємну роботу, адже напрямок вектора перемiщення $$\vec{h}$$ протилежний до напрямку дiї сили тяжiння $$m \vec{g}$$. $$A = -mgh$$ ![](/files/-LWNRCpcEgkeV2-2rjyf) # Робота сили пружностi Нехай ми утримуємо пружину в розтягнутою. Для цього, згiдно з другим законом Ньютона: $$F\_П = F$$ Тепер ми вiдпускаємо пружину, i вона пiд дiєю сили пружностi повертається в стан рівноваги $$x = 0$$. Яку роботу виконує сила пружностi? Сила пружностi залежить вiд видовження $$x$$: $$F\_П = -kx$$ "–", тому що вiсь $$x$$ спрямована в протилежний бік від дiї сили пружностi. З iншої сторони напрямлена вздовж вектора перемiщення. Отже, робота – додатня, але як її вирахувати? Просто перемножити силу $$kx$$ на модуль перемiщення $$x$$ ми не можемо, оскількия сила змiнна i в кожнiй точцi набуває різних значень. Зобразімо модуль сили $$kx$$ на графіку $$F(x)$$: Як вже було значено, робота дорiвнює площi фiгури пiд графiком $$F(x)$$. За умови видовження на вiдстань $$x$$ маємо трикутник з основою рiвною $$x$$, висотою – $$kx$$. Площа трикутника дорiвнює висотi, помноженiй на основу i подiленiй на 2. Отже, коли сила пружностi спiвнапрямлена з напрямком змiни видовження, вона виконує додатню роботу, яка рiвна $$\dfrac{kx^2}{2}$$. Ось iнша ситуацiя: ми прикладаємо силу $$F$$, щоб видовжити пружину на $$x$$. Сила пружностi в такому випадку спрямована протилежно до вектора перемiщення. Отже, робота сили пружностi буде вiд’ємна: | $$A\_П = - \dfrac{kx^2}{2}$$ | | ---------------------------- | ![](/files/-LWNRBvF2jjl7tGlp_u5) # Робота та енергiя **Енергiя** – дуже важлива концепцiя у фiзицi. Iснують рiзнi види енергiй: механiчна, теплова, електромагнiтна, тощо. У цьому роздiлi ми говоритимемо про механiчну енергiю. Визначення **Механiчна енергiя** – фiзична величина, що характеризує здатнiсть тiла чи системи тiл виконувати роботу. * [Кiнетична енергiя](http://physics.ed-era.com/book/chapter_7/kinetichna_energiya.html) * [Консервативнi та неконсервативнi сили](http://physics.ed-era.com/book/chapter_7/konservativni_ta_nekonservativni_sili.html) * [Потенцiальна енергiя](http://physics.ed-era.com/book/chapter_7/potentsialna_energiya.html) * [Закон збереження механiчної енергiї](https://github.com/edera/ed-era-book-physics/tree/99b3e7bc857f9bce21f44f412f4ad77d8c423e5c/book/chapter_7/book/chapter_7/zakon_zberezhennya_mehanichno_energi.md) # Кiнетична енергiя Щоб детальнiше зрозумiти концепцiю енергiї, розгляньмо приклад. Нехай машина масою $$m$$ розганяється зi швидкостi $$\upsilon\_1$$ до $$\upsilon\_2$$ протягом відстані $$d$$ пiд дiєю постiйної результуючої сили $$d$$: Iз другого закону Ньютона: $$F = ma$$ Розгляньмо кiнематику процесу. Рiвняння швидкостi: $$\upsilon\_2 =$$$$ \upsilon\_1 + at \Rightarrow t =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2 - \upsilon\_1}{a}$$ Рiвняння руху: $$x =$$$$ x\_0 + \upsilon\_1 t + \dfrac{at^2}{2}$$$$ \Rightarrow d =$$$$ \upsilon\_1 t + \dfrac{at^2}{2}$$ Пiдставмо вираз для $$t$$ в рiвняння руху: $$d - \upsilon\_1 \cdot \dfrac{\upsilon\_2 - \upsilon\_1}{a}$$$$ + \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)^2}{2a}$$$$ - \dfrac{2 \upsilon\_1(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)}{2a}$$$$ + \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)^2}{2a}$$ Винесімо $$(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)$$ за дужки: $$d =$$$$ \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)(2\upsilon\_1 + \upsilon\_2 - \upsilon\_1)}{2a}$$$$ = \dfrac{(\upsilon\_2 - \upsilon\_1)(\upsilon\_2 + \upsilon\_1)}{2a} =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2^2 - \upsilon\_1^2}{2a}$$ Із визначення роботи: $$A =$$$$ Fd =$$$$ mad$$ Пiдставмо отримане вище $$d$$: $$A =$$$$ ma \dfrac{\upsilon\_2^2 - \upsilon\_1^2}{2a} =$$$$ m \dfrac{\upsilon\_2^2 - \upsilon\_1^2}{2}$$ | $$A =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2}$$ | | ------------------------------------------------------------------- | Так ми дiйшли до визначення кiнетичної енергiї. Визначення**Кiнетична енергiя** (kinetikos – рух) – енергiя руху тiла. $$E\_к =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$ Як бачимо, енергiя має таку саму розмiрнiсть, як i робота – Дж. Також зрозумiле стає i визначення енергiї. Тiло, маючи певну кiнетичну енергiю, може виконати роботу. Наприклад, кiнетична енергiя молотка, яким ми вбиваємо цвях, переходить в енергiю цвяха (виконується робота). Тепер ми можемо також переписати формулу для роботи: | $$A =$$$$ K\_2 - K\_1 =$$$$ \Delta K$$ | | -------------------------------------- | **Теорема про кiнетичну енергiю:** робота, що виконана результуючою силою, прикладеною до тiла, дорiвнює змiнi його кiнетичної енергiї. Важливо розумiти, що в цiй теоремi йдеться саме про **результуючу силу**, тобто про **сумарну роботу**, яку виконано над тiлом. Нехай ви з постiйною швидкiстю $$\upsilon$$ піднімаєте тіло вгору вгору, прикладаючи силу $$\vec{F}$$. Чому дорiвнює сумарна робота, яку було виконано над тiлом протягом піднімання на висоту $$h$$? З теореми, що маємо вище, виходить, що сумарна робота дорiвнює нулеві, адже $$\upsilon\_2 =$$$$ \upsilon\_1 =$$$$ \upsilon = const$$. Не вiриться? Перевiрмо. Із другого закону Ньютона: $$F - mg = 0$$$$ \thinspace (v = const; \thinspace a = 0) \Rightarrow$$$$ F = mg$$ Робота, яку виконуєте ви, прикладаючи силу $$F$$, додатня i дорiвнює: $$A\_1 =$$$$ Fh =$$$$ mgh$$ Робота, яку виконує сила тяжiння, вiд’ємна, адже сила тяжiння дiє в протилежному напрямку від вектора перемiщення: $$A\_2 =$$$$ -mgh$$ Ось i виходить, що сумарна робота дорiвнює нулеві: $$A\_{\Sigma} =$$$$ A\_1 + A\_2 =$$$$ 0$$ # Консервативнi та неконсервативнi сили Перед тим як розглядати інші види енергiї та законiв її збереження потрiбно оволодiти концепцiєю **консервативних та неконсервативних** сил. **Розглядаємо приклад** Бiля поверхнi Землi на тiло дiє сила тяжiння $$m \vec{g}$$. 1. Робота, яку виконує сила тяжiння з перемiщення тiла вертикально вниз: | $$A =$$$$ mgh =$$$$ mg(y\_1 - y\_2)$$ | | ------------------------------------- | 2. Нехай тiло рухається по похилiй площинi. Кут мiж силою тяжiння та вектором перемiщення – $$\alpha$$. Тодi робота: | $$A =$$$$ mg S \cos \alpha$$ | | ---------------------------- | У прямокутному трикутнику гiпотенуза, помножена на косинус кута, дорiвнює прилеглому катетові. Отже, $$S \cos \alpha =$$$$ h =$$$$ (y\_1 - y\_2)$$, а робота: | $$A =$$$$ mgh =$$$$ mg(y\_1 - y\_2)$$ | | ------------------------------------- | **$${\Large!}$$** Як бачимо, **робота сили тяжiння залежить лише вiд вертикальної вiдстанi** $$h$$, яку визначають початкова та кінцева координати $$y\_1$$ та $$y\_2$$. З iншого боку, **робота сили тяжiння не залежить вiд форми траєкторiї** руху тiла. Тож зрозуміло, що **робота сили тяжiння по замкненiй траєкторiї дорiвнює нулеві**, адже початкова i кiнцева координати збігаються. Сили, якi мають таку властивiсть, називаються **консервативними**. Визначення Сила називається **консервативною (вiд англ. conservation – збереження)**, якщо робота, яку вона виконала, залежить лише вiд початкового та кiнцевого положення тiла та не залежить вiд траєкторiї його руху.\ \ Робота таких сил по замкненiй траєкторiї дорiвнює нулеві.\ \ **Сила тяжiння та сила пружностi – консервативнi сили.**\ \ ![](/files/-LWNRD9OgdNcssVIPbv-)
**Неконсервативнi сили** Нехай ми рухаємо тiло по столу. Спочатку iз положення $$1$$ в положення $$2$$, потiм – в протилежний бік. Вiдстань вiд точки $$1$$ до точки $$2$$ – $$S$$. Розгляньмо роботу, яку виконує сила тертя. * **«$$1 \rightarrow 2$$»:** вектор перемiщення спрямовано в протилежний до сили тертя бік. Робота: * $$A\_{Т:1 \rightarrow 2} = - F\_Т S$$ * **«$$2 \rightarrow 1$$»:** ситуацiя аналогiчна. Вектор перемiщення та сила тертя знову спрямовані протилежно одне до одного: * $$A\_{Т:2 \rightarrow 1} = - F\_Т S$$ Сумарна робота сили тертя: $$A\_Т = -2 F\_Т S$$ Отже, робота сили тертя по замкненiй траєкторiї $$\not= 0$$, як у консервативних сил. **Сила тертя – неконсервативна сила.** # Потенцiальна енергiя Якщо кiнетична енергiя вiдповiдає за рух тiла, то потенцiальна – за взаємне розмiщення тiл у просторi. У попередньому підрозділі ми вже розглядали роботу сили тяжiння. Пригадаймо: Робота сили тяжiння з перемiщення тiла з точки з координатою $$y\_1$$ в точку з координатою $$y\_2$$ додатня, адже вектор сили спiвнапрямлений з вектором перемiщення: $$A = mg(y\_1 - y\_2)$$ Отриману роботу можна розписати: $$A =$$$$ mg(y\_1 - y\_2) =$$$$ mgy\_1 - mgy\_2$$ | $$A =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2$$ | | --------------------------- | **Потенцiальна енергiя** тiла в координатi $$y\_1: \thinspace E\_П =$$$$ mgh\_1$$, в координатi $$y\_2: \thinspace E\_П =$$$$ mgh\_2$$. Визначення **Потенцiальна енергiя** – енергiя, яка вiдповiдає за вiдносне положення тiл у просторi.\ \ Робота **консервативних** сил дорiвнює рiзницi потенцiальних енергiй у початковiй та в кiнцевiй точках:\ \ $$A =$$$$ E\_{П1} - E\_{П2} =$$$$ - \Delta E\_П$$ Виходячи із зазначеного вище та користуючись пунктами $$7.1.3$$ та $$7.1.4$$: * Потенцiальна енергiя пружини в координатi $$x -$$$$\dfrac{kx^2}{2}$$. * Потенцiальна енергiя сили тяжiння на висотi $$h - mgh$$. На особливу увагу заслуговує те, що коли ми говоримо про потенцiальну енергiю в координатi, важливо розумiти, що нульовий рiвень (той, вiд якого починається відлік координат/висоти) ми обираємо довiльно. Потенцiальна енергiя свідчить саме про **вiдносне** положення тiл. # Закон збереження механiчної енергiї Тепер, комбiнуючи знання про роботу та види енергiй, ми з легкiстю дійдемо до поняття повної механiчної енергiї. Знову звернімося до прикладу з силою тяжiння: Тiло рухається пiд дiєю сили тяжiння. На висотi $$h\_1$$ має швидкiсть $$\upsilon\_1$$, на висотi $$h\_2$$ – $$\upsilon\_2$$. * Згiдно з теоремою про кiнетичну енергiю (підрозділ $$7.2.1$$), робота, яку виконує сила тяжiння, дорiвнює рiзницi кiнетичних енергiй тiла в кiнцевому та початковому станах: * $$A =$$$$ E\_{К2} - E\_{К1} =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2}$$$$ - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2}$$ * Роботу сили тяжiння можна одержати i за допомогою потенцiальної енергiї (попереднiй підрозділ). Тут навпаки: початковий стан – кiнцевий: * $$A =$$$$ E\_{П2} - E\_{П1} =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2$$ Прирiвнявши вирази для роботи, маємо: | $$\dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} - \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} =$$$$ mgh\_1 - mgh\_2 \Rightarrow $$$$ \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} + mgh\_1 =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} + mgh\_2$$ | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Визначення**Повна механiчна енергiя** – сума потенцiальної енергiї та кiнетичної енергiй тiла. $$E =$$$$ \dfrac{m \upsilon^2}{2} + mgh$$ **Повна механiчна енергiя системи тiл** – це сума повних енергiй усiх тiл, що входять у систему. **Закон збереження повної механiчної енергiї**: У полi консервативних сил сума кiнетичної та потенцiальної енергiй залишається постiйною. $$E\_1 =$$$$ E\_2 =$$$$ E =$$$$ const$$ Задача 2 **АМЕРИКАНСЬКI ГIРКИ**Вiзок американських гiрок починає зiсковзувати з висоти $$H$$ з нульовою початковою швидкiстю. На якiй висотi $$h$$ візок матиме швидкiсть рiвно втричі меншу, нiж у найнижчiй точцi? Для розрахункiв силою тертя мiж вiзком та гiркою можна знехтувати. Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG8_rhk9K-1esIfP)![](/files/-LWNRG8bN_GYDI2ULUn1)**Розв’язання.**Для початку розпишімо повну механiчну енергiю для кожної з точок. 1. В умовi сказано, що початкова швидкiсть нульова $$\rightarrow E\_{К1} =$$$$ 0$$. Натомiсть вiзок розташований на висотi $$H$$ вiд нульового рiвня, який вiдповiдає найнижчiй точцi (наш вибiр). Отже, потенцiальна енергiя: $$E\_П =$$$$ mgH$$, а повна енергiя:$$E\_1 =$$$$ E\_П =$$$$ mgH$$ 2. У найнижчiй точцi (нульовий рiвень) потенцiальна енергiя дорiвнює нулеві: $$E\_П =$$$$ 0$$. З iншого боку, саме в цiй точцi вiзок набуває максимальної швидкостi, адже вся потенцiальна енергiя перейшла в кiнетичну. Повна енергiя:$$E\_2 =$$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2}$$ 3. У третiй точцi вiзок має i кiнетичну, i потенцiальну енергiю. Повна енергiя:$$E\_3 =$$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon\_3^2}{2}$$ Визначмо швидкiсть вiзка у другiй точцi, використовуючи закон збереження повної механiчної енергiї: $$E\_1 =$$$$ E\_2 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} \Rightarrow $$$$ \upsilon\_2 = $$$$ \sqrt{2gH}$$ З умови в третiй точцi швидкiсть утричі менша за швидкiсть у другiй точцi: $$\upsilon\_3 =$$$$ \dfrac{\upsilon\_2}{3} =$$$$ \dfrac{\sqrt{2gH}}{3}$$. Скористаймось законом збереження енергiї для першого та третього випадку (могли i для другого та третього): $$E\_1 =$$$$ E\_3 \Rightarrow $$$$ mgH = $$$$ mgh + \dfrac{m \upsilon\_3^2}{2} \Rightarrow $$$$ h = $$$$ \dfrac{gH - \dfrac{\upsilon\_3^2}{2}}{g}$$ Пiдставимо $$\upsilon\_3$$, яку одержали вище: | $$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$ | | -------------------------------------------------- | **Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG8d3RjSgUuRZmmP) | $$h = $$$$ H - \dfrac{H}{9} = $$$$ \dfrac{8H}{9}$$ | | -------------------------------------------------- | Задача 3 **МЕРТВА ПЕТЛЯ**Вiзок на американських гiрках починає зiсковзувати вниз з нульовою початковою швидкiстю. Попереду його чекає мертва петля. З якої мiнiмальної висоти $$H\_{min}$$ можна вiдпустити вiзок, щоб вiн все ж таки здiйснив повний оберт у петлi? Схема Розв’язання Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG8fhZdISEgwxo84)![](/files/-LWNRG8hfa4tQf_ehrfq)**Розв’язок.**Для початку порахуймо, має бути мiнiмальна лiнiйна швидкiсть вiзка, щоб вiн не «вiдiрвався» у верхнiй точцi. Ми це робили, розглядаючи динаміку руху тiла по колу, але згадаймо ще раз. У верхнiй точцi на вiзок дiють двi сили: сила тяжiння $$mg$$ та сила реакцiї опори $$N$$. Обидвi – вертикально вниз. Вiзок вiдiрветься в той момент, коли сила реакцiї опори стане рiвною нулеві: це означатиме, що вiзок нiяк не тисне на опору. Доцентрове прискорення у верхнiй точцi також спрямоване вертикально вниз. Другий закон Ньютона: $$mg + N = $$$$ m a\_д \quad $$$$ | \thinspace N \ge 0 \thinspace | $$$$ \quad m a\_д \ge mg$$ $$a\_д = $$$$ \dfrac{\upsilon^2}{R} \Rightarrow \upsilon^2 \ge gR$$ Тепер можемо скористатися законом збереження повної механiчної енергiї. Повна енергiя на висотi $$H$$ з нульовою швидкiстю: $$E =$$$$ mgH$$ Повна енергiя у верхнiй точцi мертвої петлi на висотi $$2R$$ зі швидкістю $$\upsilon$$: $$E = $$$$ 2mgR + \dfrac{m \upsilon^2}{2}$$ Пiдставмо мiнiмальну отриману мiнiмальну швидкiсть, яку одержали, та прирiвняємо повнi енергiї: $$mgH\_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H\_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$ **Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG8j-o-6knYzwZQW)$$mgH\_{min} =$$$$ 2mgR =$$$$ \dfrac{mgR}{2} \Rightarrow H\_{min} =$$$$ \dfrac{5gR}{2}$$ # Потужнiсть та ККД Ви, напевно, нерiдко чули термiн «потужнiсть». Наприклад, його часто вживають стосовно роботи двигунiв: «Потужнiсть двигуна цього автомобiля – 200 кiнських сил». Визначення **Потужнiсть** – робота, що виконана за одиницю часу. Отже, потужнiсть характеризує швидкiсть виконання роботи.\ \ **Середня потужнiсть** за промiжок часу $$t$$:\ \ $$P =$$$$ \dfrac{A}{t} = $$$$ \dfrac{F S \cos \alpha}{t} = $$$$ F \upsilon\_{сер} \cos \alpha$$\ **Миттєва потужнiсть:**\ \ $$P = $$$$ F \upsilon \cos \alpha$$\ **SI:** $$\dfrac{\text{Дж}}{\text{с}} =$$ Вт Одиниця потужностi у **SI** – Ват. Названа на честь шотландського винахiдника Джеймса Ватта (1736 – 1819). Він і визначив знайому вам з автомобільної індустрії одиницю – «кінську силу». Якось Джеймсові Ватту потрiбно було визначити потужнiсть парового двигуна, який він розробив. Вiн визначив, що добрий кiнь може працювати ввесь день з певною середньою потужнiстю. Потiм, щоб його не звинуватили у перебiльшеннi під час продажу його парового двигуна, вiн визначив «кiнську силу» як значення, помножене на 1.5, i вийшло 746 Ват. $$1$$ к.с. $$= 746$$ Вт Задача 4 **РIВНЯННЯ РУХУ ТА ПОТУЖНIСТЬ** Нехай тiло масою з $$5$$ кг рухається пiд дiєю сили вздовж осi $$Ox$$. Рiвняння руху: $$x = -2 + 10t + 4t^2$$. \ **1.** Яка сила дiє на тiло?\ **2.** Яку роботу виконано над тілом протягом $$3$$ секунд?\ **3.** Чому дорiвнює миттєва потужнiсть на третiй секундi руху?\ **4.** Чому дорiвнює середня потужнiсть протягом $$3$$ секунд руху? Розв’язання Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Сила $$F = ma$$. Для визначення прискорення $$a$$ порiвняймо шаблон рiвняння руху з тим, яке в умовi: $$x = \thinspace $$$$ x\_0 + \upsilon t + \dfrac{at^2}{2}$$ та $$x = -2 + 10t + 4t^2 \Rightarrow \thinspace $$$$ a = \thinspace $$$$ 8 \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$$ | $$F = \thinspace $$$$ ma = \thinspace $$$$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$ | | ----------------------------------------------------------------------------------------------- | Робота, що дiє протягом $$3$$ секунд, дорiвнює силi, прикладенiй до тiла, помноженiй на модуль перемiщення. Силу ми визначили вище $$F = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$. Перемiщення – це рiзниця мiж кiнцевою координатою $$x(3) = \thinspace $$$$ -2 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3^2 = \thinspace $$$$ 64 \thinspace \text{м}$$ та початковою координатою $$x\_0 = \thinspace $$$$ -2 \thinspace \text{м}$$: | $$A = \thinspace $$$$ F S = \thinspace $$$$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$$$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$ | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Миттєва потужнiсть на третiй секундi руху дорiвнює силi, помноженiй на миттєву швидкiсть у вiдповiдну секунду руху. Виходячи iз рiвняння руху в умовi: початкова швидкiсть $$\upsilon\_0 = 10$$ м/c, прискорення $$a = 8$$ м/$$с^2$$. Рiвняння для швидкостi: $$\upsilon = \thinspace $$$$ \upsilon\_0 + at \Rightarrow \thinspace $$$$ \upsilon = \thinspace $$$$ 10 + 8t$$. Швидкiсть на третiй секундi руху: $$\upsilon\_3 = \thinspace $$$$ 10 + 8 \cdot 3 = \thinspace $$$$ 34$$ м/с. | $$P\_3 = \thinspace $$$$ F \upsilon (3) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$$$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Середню потужнiсть можна одержати, перемноживши силу на середню швидкiсть протягом вiдповiдного часу. Оскільки ми маємо справу з рiвноприскоренним рухом, швидкiсть змiнюється лiнiйно. Отже, середня швидкiсть протягом трьох секунд можна розрахувати як середнє арифметичне початкової швидкостi та швидкостi на третiй секундi руху. | $$P\_{3сер} = \thinspace $$$$ F \upsilon\_3 = \thinspace $$$$ F \cdot \dfrac{\upsilon\_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$$$ 880 \thinspace \text{Вт}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | **Вiдповiдь.** $$F = \thinspace $$$$ ma = \thinspace $$$$ 5 \cdot 8 = \thinspace $$$$ 40 \thinspace \text{Н}$$$$A = \thinspace $$$$ F S = \thinspace $$$$ 40 \cdot (64 - (-2)) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 66 = \thinspace $$$$ 2640 \thinspace \text{Дж}$$$$P\_3 = \thinspace $$$$ F \upsilon (3) = \thinspace $$$$ 40 \cdot 34 = \thinspace $$$$ 1360 \thinspace \text{Вт}$$$$P\_{3сер} = \thinspace $$$$ F \upsilon\_3 = \thinspace $$$$ F \cdot \dfrac{\upsilon\_0 + \upsilon (3)}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot \dfrac{10 + 34}{2} = \thinspace $$$$ 40 \cdot 22 = \thinspace $$$$ 880 \thinspace \text{Вт}$$ **Коефiцiєнт корисної дiї** Робота будь-якого механiзму базується на перетвореннi своєї енергiї в певну потрiбну. Наприклад, робота вантажного крана – перетворення електричної енергiї на механiчну (пiдняття вантажу на певну висоту). Робота двигуна автомобiля – перетворення його енергiї на кiнетичну енергiю автомобiля, що, в свою чергу, є виконанням роботи з перемiщення автiвки. Враховуючи/через певні чинники, такі як сила тертя, опору тощо, **жоден механiзм не може повністю (без втрат) перетворити свою енергiю на здiйснення певної роботи.** Саме тому i виникла потреба у визначеннi **коефiцiєнта корисної дiї (ККД)** механiзма. Визначення**Коефiцiєнт корисної дiї (ККД)** – вiдношення корисної роботи/потужностi до повної витраченої роботи/потужностi. **Втрати є в будь-якому механiзмi**, корисна робота завжди меньша від витраченої. $$\eta \thinspace $$$$= \dfrac{A\_к}{A\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{P\_к}{P\_з}
## Приклади Для кожного з прикладiв маємо задачу: пiдняти вантаж $$m = 200$$ кг на висоту $$h = 10$$ метрів. 1. **Маємо вантажний кран з ККД $$= 70 \\%$$. Потужнiсть крана $$1.5$$ кВт. За який час кран зможе пiдняти вантаж на потрiбну висоту?** 2. Передусiм, щораз у задачах на ККД потрiбно чiтко розiбратися з тим, що тут корисна робота/потужність, а що — витрачена робота/потужність. У цьому разi корисна робота – це робота з пiднімання вантажу на висоту $$h$$.Витрачена робота – та, яку виконав кран. 3. $$A\_к = \thinspace $$$$ mgh \Rightarrow \thinspace $$$$ P\_к = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{t}$$ 4. Витрачена потужнiсть (потужнiсть крана) дана в умовi: $$P\_З = 1.5$$ кВт. 5. $$\eta = \thinspace $$$$ \dfrac{P\_к}{P\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{t \cdot P\_з} \Rightarrow \thinspace $$$$ t = \thinspace $$$$ \dfrac{mgh}{\eta \cdot P\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{200 \cdot 9.8 \cdot 10}{0.7 \cdot 1.5 \cdot 10^3} \approx \thinspace $$$$ 18.7 \thinspace \text{c} $$ 6. **Для рiвномiрного пiднімання вантажу на висоту $$h$$ використовують похилу площину. Кут нахилу – $$\alpha = 30^\circ$$. Коефiцiєнт тертя $$\mu = 0.4$$. Чому дорiвнює ККД похилої площини?** 7. ![](/files/-LWNRCZahc1Be4olPtcE) 8. Корисна робота – робота з пiднімання вантажу на висоту $$h: \ A\_к = mgh$$. Можемо виразити висоту $$h$$ через довжину похилої площини $$l$$ та синус кута $$\alpha: \ A\_к = \thinspace $$$$ mgl \sin \alpha$$. Витрачена робота – робота сили $$F$$ з перемiщення тiла вздовж похилої площини: $$A\_з = \thinspace $$$$ Fl$$. Щоб тiло рухалось рiвномiрно, сума всiх прикладених сил повинна дорiвнювати нулеві. 9. $$Oy \ : \ N - mg \cos \alpha = \thinspace $$$$ 0 \Rightarrow \thinspace $$$$ N = \thinspace $$$$ mg \cos \alpha; \ F\_Т = \thinspace $$$$ \mu N = \thinspace $$$$ \mu mg \cos \alpha$$ 10. $$Ox \ : \ F - F\_Т - mg \sin \alpha = \thinspace $$$$ 0 \Rightarrow \thinspace $$$$ F = \thinspace $$$$ F\_Т + mg \sin \alpha = \thinspace $$$$ \mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha$$ 11. $$F = \thinspace $$$$ mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$ 12. Витрачена робота: 13.
14.
15. $$A\_з = \thinspace $$$$ Fl = \thinspace $$$$ mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)$$ 16. Тепер можемо отримати ККД: 17.
18.
19. $$\eta = \thinspace $$$$ \dfrac{A\_к}{A\_з} = \thinspace $$$$ \dfrac{mgl \sin \alpha}{mgl(\mu \cos \alpha + \sin \alpha)} = \thinspace $$$$ \dfrac{\sin \alpha}{\mu \cos \alpha + \sin \alpha} = \thinspace $$$$ \dfrac{\dfrac{1}{2}}{0.4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} \approx \thinspace $$$$ 0.6 = \thinspace $$$$ 60 \\%$$ # Iмпульс та його зв’язок з силою У попередньому роздiлi ми онайомились із концепцiєю енергiї та законом її збереження з одного виду в iнший. В цьому розділі ми розглянемо ще одну дуже важливу величину, яка характеризує рухоме тiло та систему тiл i є одною з фундаментальних величин не тiльки в механiцi, але й у фiзицi в цiлому. Це **iмпульс тiла** (англ. Linear momentum). * [Iмпульс тiла і другий закон Ньютона](http://physics.ed-era.com/book/chapter_7/impuls_tila_i_drugiy_zakon_Nyutona.html) * [Закон збереження імпульсу](http://physics.ed-era.com/book/chapter_7/zakon_zberezhennya_impulsu.html) # Імпульс тіла і другий закон Ньютона Визначення **Iмпульс частинки або об’єкта**, який можна змоделювати як частинку маси $$m$$, що рухається зi швидкiстю $$\upsilon$$, – це величина, яку визначають як добуток маси частинки та її швидкостi: $$ \vec{p}=m\vec{\upsilon} $$ **Iмпульс** – векторна величина, яка спiвнапрямлена з швидкiстю, оскільки його визначають як добуток скаляра $$m$$ на вектор $$\vec{\upsilon}$$.\ \ ![](/files/-LWNRDHEi0V-2AUGst-4) У **SI** – $$\dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$$\ \ \ Свого часу Ньютон називав величину $$m \vec{\upsilon}$$ **кiлькiстю руху**. I справдi, iмпульс дає змогу врахувати i швидкiсть, i масу об’єкта. Наприклад, **iмпульс баскетбольного м’яча** бiльший за **iмпульс маленького тенiсного м’ячика**, який рухається з такою самою швидкiстю. Чи, наприклад, iмпульс тiла з бiльшою швидкiстю бiльший за iмпульс тiла з такою самою масою, але з меншою швидкiстю. Яку ж саме роль вiдiграє iмпульс у фiзицi? Насправдi, другий закон Ньютона доречнiше формулювати якраз застосовуючи концепцiю iмпульсу. До того ж, деякi задачi взагалi дуже складно або навiть неможливо розв’язати без застосування iмпульсу. Сподiваюсь, що вас це заiнтригувало, тож розгляньмо таку ситуацiю.\ **Розгляньмо двi частинки з масами $$m\_1$$ та $$m\_2$$, якi рухаються зi швидкостями $$\vec{\upsilon}\_1$$ та $$\vec{\upsilon}\_2$$ вiдповiдно. На кожну з частинок дiє певна зовнiшня сила $$\vec{F\_{}}\_{1зовн}$$ та $$\vec{F\_{}}\_{2\text{зовн}}$$. Нехай частинки взаємодiють мiж собою, наприклад, за допомогою гравiтацiйного тяжiння (природа взаємодiї не має значення, тож нас не цiкавить). Нехай перша частинка дiє на другу iз силою $$\vec{F\_{}}\_{12}$$. Вiдповiдно до третього закону Ньютона, друга частинка дiє на першу з силою, такою самою за модулем, але з протилежним напрямком:** $$ \vec{F\_{}}\_{12} = -\vec{F\_{}}\_{21} $$\ ![](/files/-LWNRDHGmGf9lL97sb5u)\ \ Запишімо закон руху (другий закон Ньютона) для кожної з них:\ \ $$ \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{12} = m\vec{a}\_1 \tag{1} $$ $$ \vec{F\_{}}\_{2зовн} + \vec{F\_{}}\_{21} = m\vec{a}\_2 \tag{2} $$\ Як вже було зазначено, $$\vec{F\_{}}\_{21} = -\vec{F\_{}}\_{21}$$ за третiм законом Ньютона. Пiдставмо в рівняння $$(2)$$ силу $$\vec{F\_{}}\_{21}$$.\ $$ \vec{F\_{}}\_{2зовн} - \vec{F\_{}}\_{12} = m\vec{a}\_2 \tag{3} $$\ Тепер додамо рівняння $$(1)$$ та $$(3)$$:\ \ $$ \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{12} + \vec{F\_{}}\_{2зовн} - \vec{F\_{}}\_{12} = m\vec{a}\_1 + m\vec{a}\_2 $$ $$ \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{2зовн} = m\vec{a}\_1 + m\vec{a}\_2 $$\ Для подальшої зручності поміняймо місцями ліву та праву частини виразу:\ \ $$ m\vec{a}\_1 + m \vec{a}\_2 = \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{2зовн} \tag{4} $$\ \ Пригадаємо. що миттєве прискорення тіла — **це зміна швидкості** $$\Delta \vec{\upsilon}$$ за нескінченно малий проміжок часу $$\Delta t: \ \vec{a} = \dfrac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t}$$. Підставимо це у формулу $$(4)$$:\ \ $$ m\_1 \frac{\Delta \vec{\upsilon}\_1}{\Delta t} + m\_2 \frac{\Delta \vec{\upsilon}\_2}{\Delta t} = \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{2зовн} $$ $$ \frac{m\_1 \Delta \vec{\upsilon}\_1 + m\_2 \Delta \vec{\upsilon}\_2}{\Delta t} = \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{2зовн} $$\ Якщо імпульс $$\vec{p} = m \vec{\upsilon}$$, то зміну імпульсу $$\Delta \vec{p}$$ можна представити таким чином: $$\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{\upsilon}$$ (за умови незмінної маси).\ \ $$ \dfrac{\Delta \vec{p}\_1 + \Delta \vec{p}\_2}{\Delta t} = \vec{F\_{}}\_{1зовн} + \vec{F\_{}}\_{2зовн} \tag{5} $$\ \ У розглянутому випадку ми мали дві частинки з двома імпульсами та двома зовнішніми силами, які діяли на них. Якщо провести узагальнення для більшої кількості частинок, можна ввести величину, яка є сумарним імпульсом усіх частинок $$\vec{p} = \Sigma \thinspace \vec{p}\_i$$ (де $$i$$ — номер частинки в розглянутій системі), а, відповідно, зміна загального імпульсу системи частинок за нескінченно малий проміжок часу $$\Delta t - \Delta \vec{p} = \Sigma \Delta \vec{p}\_i$$. Сума всіх зовнішніх сил — $$\Sigma \vec{F\_{}}\_{i \thinspace зовн} = \vec{F\_{}}\_{зовн}$$. Підставимо це у формулу $$(5)$$ і отримаємо загальний вигляд формули:\
| $$\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \vec{F\_{}}\_{зовн}$$ | | ---------------------------------------------------------- | Трішки трактування. У вищезгаданій формулі ми отримали, що зміна імпульсу системи відбувається за рахунок дії **зовнішніх сил** (сил, які виникають не між частинками системи, а ззовні). Важливим є те, що під час розгляду кожної частинки окремо зміна її імпульсу залежить від взаємодії з сусідніми частинками, оскільки при такому розгляді всі сили для неї є зовнішніми, але якщо ми розглянемо систему, в якій перебуває багато частинок, то зміна сукупного імпульсу системи залежить тільки від зовнішніх сил, що діють на частинки. Вся взаємодія всередині системи інкапсулюється і при цьому не є важливою, оскільки внутрішні сили компенсують одна одну (аналогічно до $$\vec{F\_{}}\_{12} = - \vec{F\_{}}\_{21}$$) і не мають ніякого значення при розгляді системи як єдиного цілого. Як відомо, матерія складається з атомів, які в свою чергу рухаються та взаємодіють між собою, але в силу міркувань, наведених вище, ми можемо розглядати будь-яке тіло як окремий об’єкт під дією зовнішньої сили і при цьому не вдаватись у подробиці того, що відбувається на атомному рівні в даному тілі.
Отже, якщо ми маємо одну частинку, то зміна її імпульсу можлива за рахунок дії **ненульової сумарної зовнішньої сили** на цю частинку, зміна сумарного імпульсу системи з двох частинок можлива за рахунок дії **сумарної ненульової зовнішньої сили** на цю систему тощо. Саме у вигляді рівняння, яке записано для однієї частинки, свого часу Ньютон сформулював свій другий закон.
Визначення **Другий закон Ньютона в імпульсному формулюванні**\ \ **Зміна імпульсу тіла дорівнює рівнодійній силі, яка прикладена до цього тіла.**\ \ $$\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \vec{F\_1} + \vec{F\_2} + \cdots + \vec{F\_i} = \vec{F\_{}}\_{рівнод}$$\
Навіщо нам ще один вигляд закону Ньютона? Насправді, формулювання другого закону Ньютона в імпульсному вигляді більш загальне і справедливе не тільки у класичній, а й у релятивістській механіці (частинки рухаються із швидкостями близькими до швидкості світла, а маса частинок не є сталою величиною і залежить від їхніх швидкостей).
У класичній механіці, якій присвячено цей курс лекцій, легко пересвідчитися, що такий запис еквівалентний вже звичному для нас $$\vec{F\_{}}\_{рівнод} = m \vec{a}$$:\ $$ \vec{F\_{}}\_{рівнод} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m \vec{\upsilon})}{\Delta t} = m \frac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t} = m \vec{a} $$
Слід зазначити, що таке перетворення справедливе, якщо маса тіла не змінюється. Саме тоді можливий перехід: $$\Delta (m \vec{\upsilon}) = m \Delta \vec{\upsilon}$$.\ \ Задача 1 **Удар футболіста** З якою силою футболіст б’є по м’ячу, який перебуває в стані спокою, якщо одразу після удару його швидкість – 150 км/год? Стандартний м’яч п’ятого розміру (розмір м’яча у великому футболі) має масу 450 грамів. Тривалість контакту м’яча з ногою приблизно 0,01 с.
![](/files/-LWNRDHIQrzZ9wvS0uJ6) Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Для розв’язання задачі можемо скористатися другим законом Ньютона в імпульсній формі. $$F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$$**Імпульс м’яча до удару:** $$p\_1 = m \upsilon\_1 \rightarrow |\upsilon\_1 = 0| \rightarrow 0$$**Імпульс м’яча після удару:**\ $$p\_2 = m \upsilon\_2 \rightarrow \thinspace $$$$ \upsilon\_2 = 150 \cdot \frac{\text{км}}{\text{год}} = 150 \cdot \frac{1000 \text{м}}{3600 \text{с}} \approx \thinspace $$$$ 41.7 \frac{\text{м}}{\text{с}} \rightarrow \thinspace $$$$ p\_2 = 0.45 \cdot 41.7 \approx \thinspace $$$$ 18.8 \ (\text{кг}\cdot\text{м/с}^2)$$\ Отже, **сила**, з якою футболіст б’є по м’ячу:\ $$F = \thinspace $$$$ \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{p\_2 - p\_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{m \upsilon\_2 - m \upsilon\_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{18.8 - 0}{0.01} = \thinspace $$$$ 1880 \thinspace (H)$$\ Це дуже велика сила. Подумайте, чи більша ця сила за силу яка потрібна, щоб підняти вгору людину масою $$100(!)$$ кг.**Вiдповiдь.**$$F = \thinspace $$$$ \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{p\_2 - p\_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{m \upsilon\_2 - m \upsilon\_1}{\Delta t} = \thinspace $$$$ \dfrac{18.8 - 0}{0.01} = \thinspace $$$$ 1880 \thinspace (H)$$ # Закон збереження iмпульсу Під час отримання рiвняння другого закона Ньютона в імпульсній формі, ми роздiлили сили, якi дiють на частинки, на **внутрiшнi** (сили взаємодiї мiж частинками) та **зовнiшнi**. За вiдсутностi зовнiшнiх сил система тiл називається **замкненою**. Iншими словами, **замкнена система** — це система, в якiй наявнi лише сили, обумовленi взаємодiєю тiл цiєї системi. У попередньому роздiлi ми вже з’ясували з вами, що змiна сумарного iмпульсу системи дорiвнює сумарнiй зовнiшнiй силi, яка дiє на систему тiл.
$$ \frac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = \Sigma \vec{F\_{}}\_{зовн} $$ \ Отже, якщо система замкнена, що означає, що в ній відсутні зовнішні сили, то рівняння набуває вигляду:
$$ \frac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = 0 $$ \ Виходить, що зміна імпульсу в замкненій системі дорівнює нулеві. Це у свою чергу означає, що **за відсутності зовнішніх сил імпульс системи залишається незмінним.** \
Визначення Закон збереження імпульсу\ \ Для системи тіл, що взаємодіють між собою (незалежно від природи взаємодії), за відсутності зовнішніх сиил сумарний імпульс тіл є величиною сталою:**імпульс системи до взаємодії $$=$$ імпульс системи після взаємодії**
| $$\Sigma \vec{p}\_i = \Sigma m\_i \vec{\upsilon}\_i = const \Rightarrow \Sigma \vec{p}\_i = \Sigma \vec{p}\_i^{\prime}$$, | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | \ де $$\Sigma \vec{p}\_i$$ — сумарний імпульс системи після взаємодії.\
Закон збереження iмпульсу на рiвнi з законом збереження енергiї є одним iз найважливiших законiв у фiзицi, а його застосування виходить далеко за межi класичної механiки, як i його визначення. Наприклад, iмпульсом володiє свiтло, а саме фотони – частинки, якi є носiями свiтла (їхня маса рiвна нулеві). Рiзного роду квазiчастинки (не є частинками в класичному розумiннi, як-от м’ячик, горошина тощо), якi описують дуже складнi явища у квантовiй фiзицi, також володiють iмпульсом i для них виконується **Закон Збереження Імпульсу**.
## **Розгляньмо відразу приклад:** Потяг масою $$m\_1 = 10 \thinspace \text{т}$$ їде до нерухомого потяга масою $$m\_2 = 7 \thinspace \text{т}$$ зі швидкістю $$\upsilon\_1 = 20 \thinspace \text{м/с}$$. Після зіткнення потяги скріплюються і починають рухатися разом. Яка швидкість потягів після зіткнення?![](/files/-LWNRBmhRjC8kplphbeS) **Розв’язання.** Якщо знехтувати силами тертя, опору повітря тощо, то ми маємо приклад **замкненої системи**. Вважаємо, що єдині сили, наявні в даній задачі — сили, які виникають внаслідок взаємодії двох потягів. Отже, зміна загального імпульсу системи, яка в даному разі складається із двох потягів, дорівнює нулеві. \
$$ \dfrac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = \Sigma \vec{F\_{}}*{зовн} \rightarrow | F*{зовн} = 0| \rightarrow \dfrac{\Sigma \Delta \vec{p}}{\Delta t} = 0 $$ \ Оскільки зміна імпульсу дорівнює нулеві, імпульс системи до зіткнення дорівнює імпульсу системи після зіткнення. \
$$ \Sigma \vec{p} = \Sigma \vec{p}^{\prime} $$ \ **До зіткнення.** Перший потяг з масою $$m\_1$$ рухається зі швидкістю $$\upsilon\_1$$, другий потяг з масою $$m\_2$$ — нерухомий ($$\upsilon\_2 = 0$$). Сумарний імпульс: \
$$ m\_1 \upsilon\_1 + m\_2 \upsilon\_2 $$ \ **Після зіткнення.** Два потяги тепер зчеплені, їхня загальна маса — $$m\_1 + m\_2$$ і рухаються вони зі швидкістю $$\upsilon^{\prime}$$. Імпульс системи: \
$$ (m\_1 + m\_2) \upsilon^{\prime} $$ \ Отже, **закон збереження імпульсу** в даному випадку виглядає так: \
$$ m\_1 \upsilon\_1 = (m\_1 + m\_2) \upsilon^{\prime} $$ \ Звідси отримаємо швидкість потягів після зіткнення: \
$$ \upsilon^{\prime} = \dfrac{m\_1 \upsilon\_1}{m\_1 + m\_2} = \dfrac{10000 \cdot 20}{10000 + 7000} \approx 11.8 \thinspace \text{м/с} $$ \ \ Як бачимо, швидкість, з якою потяги рухаються після зіткнення, трішки більша за половину швидкості першого потяга до зіткнення. Перевірте самостійно, що **якщо б потяги були однакової маси, то швидкість вийшла б рівно в два рази меншою.** # Імпульс та кінетична енергія ## Зіткнення та закони збереження ## Імпульс та кінетична енергія У попередньому розділі ми вже бачили іншу величину, яка є комбінацією маси та швидкості, – кінетичну енергію. Справедливо було б запитати, для чого нам потрібна ще одна величина – імпульс, що також складається з маси та швидкості. Однак є дуже принципова відмінність між кінетичною енергією та імпульсом. \
**По-перше, кінетична енергія – скалярна величина, а імпульс тіла – векторна.** Для прикладу розглянемо два тіла однакової маси $$m\_1 = m\_2 = m$$, що рухаються назустріч одне одному з однаковими за модулем швидкостями $$\vec{\upsilon}\_1 = - \vec{\upsilon}\_2$$.\ ![](/files/-LWNRDlWlD4O8czKZZbW) Саме завдяки векторній природі імпульсу сумарний імпульс системи в даному випадку дорівнює нулеві: $$ m \vec{\upsilon}\_1 + m \vec{\upsilon}\_2 = m \vec{\upsilon} - m \vec{\upsilon} = 0 $$ Однак кінетична енергія системи тіл не дорівнює нулеві, адже кожне з цих тіл рухається, і їхня енергія додаються скалярно: $$ E\_{K1} + E\_{K2} = \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} + \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} = m \upsilon^2 $$ **По-друге, відмінність полягає в тому**, що кінетична енергія може перетворюватись з одного типу енергії в інший, наприклад, кінетична в потенціальну, механічна в електричну тощо. Проте існує тільки один єдиний тип імпульсу, тому немає такого перетворення при розгляді задач через імпульсний підхід.
Ці дві принципові відмінності є достатніми для того, щоб використовувати імпульсний підхід для розв’язку задач окремо від енергетичного, що дає ще один незалежний інструмент, який разом із законом збереження енергії тільки доповнюють один одноо, а не дублюють. Розбираючи тему зіткнень, ви ще детальніше розглянете відмінності між законами збереження імпульсу та енергії. # Закони збереження, пружні та непружні зіткнення Розглядаючи зіктнення будемо вважати, що внутрішні сили, тобто сили взаємодії тіл, які беруть участь у процесі, значно більші за зовнішні сили. Це дає змогу використовувати модель **замкненої системи** та **закон збереження імпульсу**. Отже, хоч би яке не було зіткнення, імпульс системи зберігається. Однак це не завжди означає, що зберігається кінетична енергія. Саме за допомогою спостережень за поведінкою енергією можна класифікувати різні типи зіткнень. \
Визначення **Пружне зіткнення** – зіткнення, при якому сумарна кінетична енергія зберігається. **Сумарна кінетична енергія системи до зіткнення дорівнює сумарній кінетичній енергії після зіткнення.** $$ \Sigma E\_{iK} = \Sigma E\_{iK}^\prime $$\ \ ![](/files/-LWNRDiMsSjSudjvL3K_) Отже, наприклад, маємо дві кульки: одна маси $$m\_1$$ рухається зі швидкістю $$\vec{\upsilon}\_1$$ до другої кульки маси $$m\_2$$, яка перебуває в стані спокою ($$\upsilon\_2 = 0$$). Після пружного зіткнення перша кулька має швидкість $$\vec{\upsilon}\_1^\prime$$, а друга має швидкість $$\vec{\upsilon}\_2^\prime$$. Напрями швидкостей вказано на рисунку вище.
**Закон збереження імпульсу** (не забувайте, що $$\upsilon\_2 = 0 \thinspace$$):
$$ m\_1 \upsilon\_1 + m\_2 \upsilon\_2 = m\_1 \upsilon\_1^\prime + m\_2 \upsilon\_2^\prime \Rightarrow m\_1 \upsilon\_1 = m\_1 \upsilon\_1^\prime + m\_2 \upsilon\_2^\prime $$ **Закон збереження енергії:**
$$ E\_{1K} + E\_{2K} = E\_{1K}^\prime + E\_{2K}^\prime \Rightarrow \dfrac{m\_1 \upsilon\_1^2}{2} = \dfrac{m\_1 {\upsilon\_1^\prime}^{2}}{2} + \dfrac{m\_2 {\upsilon\_2^\prime}^{2}}{2} $$ \ Насправді в природі важко знайти приклади абсолютно пружного зіткнення. Однак гарним прикладом, де можна використовувати таке наближення, є зіткнення більярдних куль. Воно майже пружне і така апроксимація не буде суперечити здоровому глузду. \
Визначення **Непружне зіткнення** – **зіткнення, при якому повна кінетична енергія системи не зберігається.** Частина чи вся кінетична енергія переходить у внутрішню енергію, наприклад витрачається на нагрівання тіл. Абсолютно непружним зіткненням вважають зіткнення, при якому тіла «злипаються» й відтак рухаються разом.\ $$ \Sigma E\_{iK} = \Sigma E\_{iK}^\prime + Q $$\ $$Q$$ – внутрішня енергія ![](/files/-LWNRDiQrAbEXIuDfEUT) \ Отже, якщо нам нічого не відомо про внутрішню енергію, то для подібної задачі з двома тілами, які зіштовхнулися непружно, можемо записати лише **закон збереження імпульсу** (знову друга кулька спочатку перебуває в стані спокою, тобто $$\upsilon\_2 = 0 \thinspace$$): $$ m\_1 \upsilon\_1 = (m\_1 + m\_2) \upsilon^\prime $$ # Абсолютно пружне зіткнення Нехай маємо два тіла, які зіштовхнулися абсолютно пружно. Розглядаємо одновимірний загальний випадок на прикладі двох тіл. Тобто маємо довільне співвідношення мас цих тіл та довільні швидкості обох тіл. \
![](/files/-LWNRG7epzfVk9HNd5uM) У попередньому розділі ми вже встановили, що якщо ми працюємо з абсолютно пружним зіткненням, то кінетична енергія до зіткнення дорівнює кінетичній енергії після зіткнення. Отже, можемо записати два рівняння в загальному випадку: **закон збереження імпульсу** та **закон збереження механічної енергії**. Ще одне зауваження: оскільки наразі ми маємо одновимірну задачу, тобто тіла можуть рухатися тільки по горизонталі, працюємо одразу зі скалярними величинаами і домовимось, що швидкість $$\upsilon \gt 0$$, якщо напрямлена вправо, і $$\upsilon \lt 0$$, якщо напрямлена вліво.\ $$ m\_1 \upsilon\_1 + m\_2 \upsilon\_2 = m\_1 \upsilon\_1^\prime + m\_2 \upsilon\_2^\prime \tag{6} $$ $$ \dfrac{m\_1 \upsilon\_1^2}{2} + \dfrac{m\_2 \upsilon\_2^2}{2} = \dfrac{m\_1 {\upsilon\_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m\_2 {\upsilon\_2^\prime}^2}{2} \tag{7} $$\ З цих двох рівнянь можна отримати швидкості після зіткнення $$\upsilon^\prime$$ та проаналізувати результати. Почнемо з рівняння $$(7)$$. Одразу скоротимо двійки у знаменнику:\ \ $$ m\_1 \upsilon\_1^2 + m\_2 \upsilon\_2^2 = m\_1 {\upsilon\_1^\prime}^2 + m\_2 {\upsilon\_2^\prime}^2 $$\ Перенесемо доданки зі швидкостями першого тіла до і після зіткнення вліво, а доданки зі швидкостями другого тіла до і після зіткнення вправо:\ \ $$ m\_1 \upsilon\_1^2 - m\_1 {\upsilon\_1^\prime}^2 = m\_2 {\upsilon\_2^\prime}^2 - m\_2 \upsilon\_2^2 $$ $$ m\_1 (\upsilon\_1^2 - {\upsilon\_1^\prime}^2) = m\_2 ({\upsilon\_2^\prime}^2 - \upsilon\_2^2) $$ $$ m\_1(\upsilon\_1 - \upsilon\_1^\prime)(\upsilon\_1 + \upsilon\_1^\prime) = m\_2 (\upsilon\_2^\prime - \upsilon\_2)(\upsilon\_2^\prime + \upsilon\_2) \tag{8} $$\ Тепер звернемося до рівняння $$(6)$$ і так само перенесемо доданки для першого тіла вліво, а доданки для другого тіла вправо:\ \ $$ m\_1(\upsilon\_1 - \upsilon\_1^\prime) = m\_2(\upsilon\_2^\prime - \upsilon\_2) \tag{9} $$\ Якщо використати рівність $$(9)$$ у рівнянні $$(8)$$, то отримаємо дуже цікавий результат:\ \ $$ \upsilon\_1 + \upsilon\_1^\prime = \upsilon\_2 + \upsilon\_2^\prime $$\ Перенесемо швидкості до зіткнення вліво, а швидкості після зіткнення – вправо:\ \ $$ \upsilon\_1 - \upsilon\_2 = - (\upsilon\_1^\prime - \upsilon\_2^\prime) $$\ Таким чином, ми дійшли до надзвичайно цікавого висновку $$\Rightarrow$$ **при абсолютно пружному зіткненні модуль відносної швидкості тіл до зіткнення дорівнює модулю відносної швидкості тіл після зіткнення, незалежно від мас цих тіл.**\
Крім того, за допомогою двох рівнянь $$(6)$$ та $$(10)$$ ми можемо отримати швидкості кожного з тіл після зіткнення, виразивши їх через маси та швидкості тіл до зіткнення. Спробуйте це зробити самостійно, а я одразу запишу результат:\ $$ \upsilon\_1^\prime = \left(\dfrac{m\_1 - m\_2}{m\_1+m\_2}\right)\upsilon\_1 + \left(\dfrac{2m\_2}{m\_1+m\_2}\right) \upsilon\_2 \tag{11} $$ $$ \upsilon\_2^\prime = \left(\dfrac{2m\_1}{m\_1+m\_2}\right)\upsilon\_1 + \left(\dfrac{m\_2 - m\_1}{m\_1+m\_2}\right) \upsilon\_2 \tag{12} $$
Ну що ж, у нас з’явився простір для роздумів. Розглянемо деякі випадки, щоб пересвідчитися в логічності наших висновків. Розгляньмо різні зіткнення кульок. Вважаємо, що **удар – центральний**$$\Rightarrow$$ центри мас кульок під час удару лежать на одній прямій. Це потрібно для того, щоб рух кульок відбувався вздовж однієї прямої (одновимірний випадок).\
1. **Маса другого тіла набагато більша за масу першого.** 2. Перше тіло рухається зі швидкістю $$\upsilon\_1$$ на друге тіло, яке перебуває у стані спокою $$(\upsilon\_2 = 0)$$. 3.
4.
5. ![](/files/-LWNRG7gtSaC-qUFSf50) 6.
7.
8. Спочатку інтуіція. Уявіть зображену вище ситуацію. Наприклад, тенісний м’ячик зіштовхується з нерухомим м’ячем для боулінгу. Інтуіція підказує, що тенісний м’ячик відлетить назад, а м’яч для боулінгу майже не поворухнеться. Перевірмо за допомогою формул $$(11)$$ і $$(12)$$. Для ситуації з другим нерухомим тілом формули виглядають так: 9.
10. $$ \upsilon\_1^\prime = \left(\dfrac{m\_1 - m\_2}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 $$ $$ \upsilon\_2^\prime = \left(\dfrac{2m\_1}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 $$ 11.
12. Одразу видно, що швидкість першого тіла після зіткнення буде напрямлена вліво, адже чисельник $$(m\_1 - m\_2) \lt 0$$. Також видно, що при $$m\_2$$, набагато більшій за $$m\_1$$, швидкість першого тіла після зіткнення за модулем буде наближатися до початкової швидкості першого тіла до зіткнення. Швидкість другого тіла при дуже маленькій $$m\_1$$ порівняно з $$m\_2$$ буде наближатися до нуля. Приблизно це і підказувала наша інтуїція. Спробуйте підставити різні числа та погратися з цим виразом. 13.
14. $$ \upsilon\_1^\prime \rightarrow - \upsilon\_1 $$ $$ \upsilon\_2^\prime \rightarrow 0 $$ 15.
16.
17. **Маси тіл – однакові.** 18. Друге тіло перебуває у стані спокою, а перше рухається до нього зі швидкістю $$\upsilon\_1$$. 19.
20.
21. ![](/files/-LWNRG7it1IbMzb0p5K4) 22.
23.
24. Знову запишемо рівняння $$(11)$$ і $$(12)$$: 25.
26. $$ \upsilon\_1^\prime = \left(\dfrac{m\_1 - m\_2}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 $$ $$ \upsilon\_2^\prime = \left(\dfrac{2m\_1}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 $$ 27.
28. Врахуємо, що маси тіл однакові $$(m\_1 = m\_2)$$: 29.
30. $$ \upsilon\_1^\prime = 0 $$ $$ \upsilon\_2^\prime = \upsilon\_1 $$ 31.
32. Надзвичайно цікавий результат. Виходить, що 33. **якщо маси тіл однакові і одне з тіл перебуває у стані спокою, а інше зіштовхується з ним (центральний удар), то перше тіло повністю зупиниться, а друге почне рухатись з тією ж швидкістю, з якою рухалося перше тіло до зіткнення.** 34.
35.
36. ![](/files/-LWNRG7ksPrv0ytKtTUo) 37.
38.
39. Спостерігати таке явище можна під час гри у більярд, якщо ви поцілите однією кулею у центр другої кулі. 40.
41.
42.
43. **Маса першого тіла більша за масу другого тіла.** 44. Друге тіло знову в стані спокою, а перше рухається до нього. Приготуйтесь до того, що це буде найцікавіший випадок! 45.
46.
47. ![](/files/-LWNRG7mVLdxCJsNCmX_) 48. Знову скористаємося інтуїцією. Якщо велике тіло налітає на мале, то ймовірно, що перше тіло рухається далі в тому самому напрямку. Єдине запитання, що відбувається при цьому з малим тілом. Інтуїція підказує, що воно також буде рухатися в тому ж напрямку. Та чи швидше, ніж перше тіло? Якщо швидше, то наскільки? Пропоную знову ж таки записати рівняння $$(11)$$ і $$(12)$$ для даного випадку: 49.
50.
51. $$ \upsilon\_1^\prime = \left(\dfrac{m\_1 - m\_2}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 $$ $$ \upsilon\_2^\prime = \left(\dfrac{2m\_1}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 $$ 52.
53. Тепер вважаємо, що маса першого тіла набагато більша за масу другого $$(m\_1 \gg m\_2)$$ і подивимось на те, що буде відбуватися зі швидкостями тіл у такому випадку. Аналогічне дослідження ми провели в першому випадку, але там було навпаки. Отже, якщо $$m\_1 \gg m\_2$$, то швидкість першого тіла при взаємодії наближається до тієї самої швидкості, яку тіло мало до взаємодії, причому зі знаком плюс. 54.
55.
56. $$ \upsilon\_1^\prime \rightarrow \upsilon\_1 $$ 57.
58. Це підтверджує наші інтуїтивні міркування. Якщо, наприклад, шар для боулінгу налітає на м’ячик для настільного тенісу, то, звичайно, що таке зіткнення не сильно змінить швидкість шару. Тепер поглянемо на формулу для швидкості меншого тіла: 59.
60.
61. $$ \upsilon\_2 = \left(\dfrac{2m\_1}{m\_1 + m\_2}\right) \upsilon\_1 \Rightarrow |m\_1 \gg m\_2| \Rightarrow \upsilon\_2^\prime = 2\upsilon\_1 $$ 62.
63. Цей результат говорить нам про те, 64. **що максимальна швидкість, яку може розвинути менше тіло зі стану спокою при зіткненні з більшим, у два разі більша за початкову швидкість першого. Це не дуже інтуїтивний результат.** 65. З іншого боку він випливає також з розглянутого раніше висновку з формули $$(11)$$, який свідчить, що відносна швидкість двох тіл до зіткнення за модулем дорівнює відносній швидкості тіл після зіткнення. \ \ Також останнє, що дуже важливо зрозуміти. Формули $$(12)$$ і $$(13)$$ зовсім не обов’язкові для запам’ятовування. Ми їх отримали, щоб було легше досліджувати різні випадки зіткнень. Ви завжди можете розв’язати будь-яку задачу, використовуючи закон збереження імпульсу та закон збереження кінетичної енергії в початковому вигляді.\ \ Задача 2 **Абсолютно пружне зіткнення двох кульок** Нехай дві кульки однакової маси рухаються назустріч одна одній. Швидкість першої кульки до зіткнення 10 м/с, а швидкість другої – 15 м/с. Розрахувати швидкості та визначити напрямки руху кульок після зіткнення. Вважати, що удар – центральний. Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRG7o1WT6v47na5O0)![](/files/-LWNRG7qRgW1a1Qw8fh2)**Розв’язок.**Оскільки удар центральний, задача одновимірна. Нехай позитивний напрямок осі – вправо. Тоді проекція швидкості $$\upsilon \gt 0$$, якщо швидкість напрямлена вправо і $$\upsilon \lt 0$$ при напрямку вліво. Зіткнення абсолютно пружне, отже, ми можемо записати закон збереження імпульсу та закон збереження механічної енергії.$$ m \upsilon\_1 + m \upsilon\_2 = m \upsilon\_1^\prime + m \upsilon\_2^\prime $$$$ \dfrac{m \upsilon\_1^2}{2} + \dfrac{m \upsilon\_2^2}{2} = \dfrac{m {\upsilon\_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m {\upsilon\_2^\prime}^2}{2} $$Поділимо перше рівняння на $$m$$, а друге – на $$m/2$$:$$ \upsilon\_1 + \upsilon\_2 = \upsilon\_1^\prime + \upsilon\_2^\prime $$$$ \upsilon\_1^2 + \upsilon\_2^2 = {\upsilon\_1^\prime}^2 + {\upsilon\_2^\prime}^2 $$Перетворимо перше і друге рівняння, перенісши швидкості першого тіла до і після зіткнення вліво, а швидкості другого тіла – вправо:$$ \upsilon\_1 - {\upsilon\_1^\prime} = {\upsilon\_2^\prime} - \upsilon\_2 $$$$ \upsilon\_1^2 - {\upsilon\_1^\prime}^2 = {\upsilon\_2^\prime}^2 - \upsilon\_2^2 $$Використаємо формули різниці квадратів у другому рівнянні:$$ (\upsilon\_1 - \upsilon\_1^\prime)(\upsilon\_1 + \upsilon\_1^\prime) = (\upsilon\_2^\prime - \upsilon\_2)(\upsilon\_2^\prime + \upsilon\_2) $$Поділивши це рівняння на перше, отримаємо:$$ \upsilon\_1 + \upsilon\_1^\prime = \upsilon\_2^\prime + \upsilon\_2 $$Отже, маємо просту систему з двох рівнянь з двома невідомими:$$ \begin{cases} \upsilon\_1 - \upsilon\_1^\prime = \upsilon\_2^\prime - \upsilon\_2 \\\ \upsilon\_1 + \upsilon\_1^\prime = \upsilon\_2^\prime + \upsilon\_2 \end{cases} $$Розв’язавши її відносно $$\upsilon\_1^\prime$$ та $$\upsilon\_2^\prime$$, маємо:$$ \begin{cases} \upsilon\_1^\prime = \upsilon\_2 = -15 \thinspace \text{м/с} \\\ \upsilon\_2^\prime = \upsilon\_1 = 10 \thinspace \text{м/с} \end{cases} $$\ ![](/files/-LWNRG7svp5KVL-9jsNh)\ Ми прийшли до ще одного надцікавого висновку. Рівні за масою тіла при абсолютно пружному зіткненні «обмінюються» швидкостями (звичайно, імпульсами також).**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRG7u-EMR7gQi4Sf4)$$ \begin{cases} \upsilon\_1^\prime = \upsilon\_2 = -15 \thinspace \text{м/с} \\\ \upsilon\_2^\prime = \upsilon\_1 = 10 \thinspace \text{м/с} \end{cases} $$\ ![](/files/-LWNRG7wlzCbLAoltoyh)\ \ Ми прийшли до ще одного надцікавого висновку. Рівні за масою тіла при абсолютно пружному зіткненні «обмінюються» швидкостями (звичайно, імпульсами також). # Абсолютно непружне зіткнення До цього ми з вами розглядали абсолютно пружне зіткнення. Особливістю такого типу зіткнення було те, що виконувались два закони: **закон збереження імпульсу** та **закон збереження кінетичної енергії**. Як вже було зазначено у **п.2.2, Закони збереження, пружні та непружні зіткнення**, при непружному зіткненні частина кінетичної енергії при зіткненні перетворюється у внутрішню енергію $$Q$$: $$ \Sigma E\_{iK} = \Sigma E\_{iK}^\prime + Q $$ Що це за **внутрiшня енергiя**? На що вона може бути витрачена? Наприклад, тiла можуть нагрiтися при зiткненнi $$\Rightarrow$$ частина кiнетичної енергiї витратилася на нагрiвання тiл. Чи менш очевидний приклад. Чому ми казали про те, що зiткнення бiльярдних куль, наприклад, не до кiнця пружне? Тому що, наприклад, зiткнення бiльярдних куль можна почути i це не жарт. Абсолютно пружне зiткнення повинно супроводжуватися тотальною тишею. Тепер повертаємось до абсолютно непружного зiткнення. В абсолютно непружному зiткненнi пiсля зiткнення частинки «злипаються» i надалi рухаються разом. Якщо система замкнена, то iмпульс системи зберiгається. **Розглянемо приклад:** **Дві кульки з масами $$m\_1$$ та $$m\_2$$ рухаються одна назустріч одній зі швидкостями $$\vec{\upsilon}\_1$$ і $$\vec{\upsilon}\_2$$. Визначити швидкість двох кульок $$\vec{\upsilon}^\prime$$ після абсолютно непружного зіткнення.**\ ![](/files/-LWNRDGQ-VqsD-O08Iq-)
До зіткнення імпульс системи дорівнює: $$ m\_1 \vec{\upsilon}\_1 + m\_2 \vec{\upsilon}\_2 $$ Після зіткнення дві кульки сумарної маси $$m\_1 + m\_2$$ рухаються разом зі швидкістю $$\vec{\upsilon}^\prime$$. Отже, імпульс після зіткнення: $$ (m\_1 + m\_2) \vec{\upsilon}^\prime $$ Запишемо закон збереження імпульсу за допомогою проекцій швидкостей (вважаємо, що $$\upsilon \gt 0$$, якщо тіло рухається вправо, $$\upsilon \lt 0$$ – якщо тіло рухається вліво): $$ m\_1 \upsilon\_1 + m\_2 \upsilon\_2 = (m\_1 + m\_2) \upsilon^\prime $$ Виражаємо швидкість тіл після зіткнення: $$ \upsilon^\prime = \dfrac{m\_1 \upsilon\_1 + m\_2 \upsilon\_2}{m\_1 + m\_2} $$ У розглянутому випадку можливі два сценарії залежно від співвідношення мас і швидкосте тіл до зіткнення: тіла будуть рухатися вліво або вправо. Перевірмо отриману формулу. Наприклад, маса першого тіла $$m\_1 = 2 \thinspace$$кг, маса другого – $$m\_2 = 1 \thinspace$$кг. Перше тіло рухається вправо зі швидкістю 2 м/с, друге тіло рухається назустріч першому зі швидкістю 1 м/с. $$ \upsilon^\prime = \dfrac{m\_1 \upsilon\_1 + m\_2 \upsilon\_2}{m\_1 + m\_2} = \dfrac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{2+1} = 1 \thinspace \text{(м/с)} $$ Отже, після зіткнення тіла будуть рухатися вправо (додатній знак) зі швидкістю 1 м/с. \
Задача 3 **Балістичний маятник** **Балістичний маятник** – пристрій для визначення швидкості снаряда (кулі). Принцип дії такий: снаряд влучає у тіло на невагомій нитці. Відбувається непружне зіткнення і тіло разом зі снарядом відхиляється, досягаючи висоти $$h$$ (відома під час експерименту). Знаючи маси снаряда ($$m\_1$$) та тіла на нитці ($$m\_2$$), потрібно визначити швидкість снаряда $$\upsilon\_1$$ до зіткнення. Схема Розв’язок Вiдповiдь Приховати![](/files/-LWNRDGT2GFV25V-p5zN)![](/files/-LWNRDGV00gS16Q_kJSO)**Розв’язок.**Запишемо закон збереження імпульсу для абсолютно непружного зіткнення. До зіткнення ми маємо ненульовий імпульс лише в снаряда. Після зіткнення два тіла разом починають рухатися з певною швидкістю $$\upsilon^\prime$$.$$m\_1 \upsilon\_1 = (m\_1 + m\_2) \upsilon^\prime$$Отже, швидкість снаряда після зіткнення:$$\upsilon^\prime = \dfrac{m\_1 \upsilon\_1}{m\_1 + m\_2} \tag{\*}$$Пiсля того, як зiткнення вiдбулося, при наближеннi, що неконсервативнi сили вiдсутнi, можна скористатися законом збереження механiчної енергiї. Детальнiше, ситуацiя така: у момент одразу пiсля зiткнення тiло з сумарною масою $$m\_1 + m\_2$$ має лише кінетичну енергію $$E\_{K1}$$ (швидкість – $$\upsilon^\prime$$). У найвищій точці $$h$$ над початковим рівнем тіла повністю зупиняються і їхня механічна енергія дорівнює потенціальний у цій точці $$E\_{П1}$$ (див. рисунок). Отже, закон збереження механічної енергії для найнижчого та найвищого положення тіл:$$E\_{K1} = E\_{П1} \Rightarrow \dfrac{(m\_1 + m\_2){\upsilon^\prime}^2}{2} = (m\_1 + m\_2) gh \Rightarrow {\upsilon^\prime}^2 = 2gh$$Підставимо замість швидкості $$\upsilon^\prime$$ вираз $$(\*)$$:$$\dfrac{m\_1^2 \upsilon\_1^2}{(m\_1 + m\_2)^2} = 2gh \Rightarrow \upsilon\_1^2 = \dfrac{2gh(m\_1+m\_2)^2}{m\_1^2}$$Отже, швидкість снаряда перед зіткненням:\ $$\upsilon\_1 = \sqrt{2gh} \cdot \dfrac{m\_1 + m\_2}{m\_1}$$\ Перевірмо формулу кількісно. Патрон для автомата Калашникова був розроблений під патрон $$7,62\times39$$ мм. Маса кулі – 8 г. Нехай маса тіла на нитці 2 кг, а висота $$h$$, на яку піднімуть тіло – 40 см $$=$$ 0,4 м. Початкова швидкість снаряда:$$\upsilon\_1 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.4} \cdot \dfrac{8 \cdot 10^{-3} + 2}{8 \cdot 10^{-3}} \approx 703 \thinspace (\text{м/с})$$До речі, 700 м/с – приблизна швидкість вильоту кулі з автомата Калашникова.**Вiдповiдь.**![](/files/-LWNRDGXiZsa2oKrwLkh)Швидкість снаряда перед зіткненням:\ $$\upsilon\_1 = \sqrt{2gh} \cdot \dfrac{m\_1 + m\_2}{m\_1}$$\ Перевірмо формулу кількісно. Патрон для автомата Калашникова був розроблений під патрон $$7,62\times39$$ мм. Маса кулі – 8 г. Нехай маса тіла на нитці 2 кг, а висота $$h$$, на яку піднімуть тіло – 40 см $$=$$ 0,4 м. Початкова швидкість снаряда:$$\upsilon\_1 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.4} \cdot \dfrac{8 \cdot 10^{-3} + 2}{8 \cdot 10^{-3}} \approx 703 \thinspace (\text{м/с})$$До речі, 700 м/с – приблизна швидкість вильоту кулі з автомата Калашникова. # Зіткнення у двох вимірах У всіх попередніх розділах ми розглядали центральний удар і, відповідно, рух в одному вимірі. Що відбувається у двох, трьох вимірах при нецентральному ударі? Та нічого особливого, крім того, що тепер закон збереження імпульсу записується не тільки для однієї осі, а для двох чи трьох, залежно від того, задача у площині чи в об’ємі. Одразу розглянемо приклад: **Одна куля масою $$m\_1$$ налітає на іншу масою $$m\_2$$ зі швидкістю $$\vec{\upsilon}\_1$$. Удар нецентральний, отже, маємо рух не в одному вимірі. Проте удар абсолютно пружний. Щоб краще уявити, про яку ситуацію мова, погляньте на приклад, зображений на рисунку.**\ \ ![](/files/-LWNRCtpO_n7rU6JeSg_)\
Запишемо закон збереження імпульсу у векторній формі: $$ m\_1 \vec{\upsilon}\_1 = m\_1 \vec{\upsilon}\_1^\prime + m\_2 \vec{\upsilon}\_2^\prime $$ Тепер розписуємо рівняння по осі $$x$$ та $$y$$. Розписуємо відразу враховуючи знак відповідних проекцій: $$$ m\_1 \upsilon\_1 = m\_1 \upsilon\_1^\prime \cos \alpha + m\_2 \upsilon\_2^\prime \cos \beta $$ $$$ 0 = m\_1 \upsilon\_1^\prime \sin \alpha - m\_2 \upsilon\_2^\prime \sin \beta $$$ Знак «-» з’явився внаслідок того, що проекція швидкості другого тіла після зіткнення напрямлена протилежно до напрямку осі $$y$$. Також якщо ми маємо абсолютно пружне зіткнення, можна записати закон збереження кінетичної енергії: $$$ \dfrac{m\_1 \upsilon\_1^2}{2} = \dfrac{m\_1 {\upsilon\_1^\prime}^2}{2} + \dfrac{m\_2 {\upsilon\_2^\prime}^2}{2} $$$ Нагадую, що квадрат швидкості дорівнює сумі квадратів проекцій на $$x$$ та на $$y$$: $$$ \upsilon^2 = \upsilon\_x^2 + \upsilon\_y^2 $$ Маючи ці рівняння, можна визначити все, що потрібно. Якщо ви будете мати справу з непружним зіткненням у двох вимірах, обов’язково пам’ятайте, що **кінетична енергія не зберігається!** # Закон Всесвітнього тяжіння # Застосування закону збереження та розгляд Закону Всесвiтнього тяжiння # Супутники # Перша та друга космiчнi швидкостi # Механіка рідин та газів # Тиск # Атмосферний тиск # Закон Паскаля # Сполученi посудини # Закон Архiмеда # Закон Бернуллi # Додаток ## Додаток ## Тригонометричні функції **Тригонометричні функції** – функції, що залежать від кута і пов'язують між собою кути трикутника та відношення довжин його сторін. Вони мають широкий спектр застосувань у математиці і, відповідно, в областях науки, де математика застосовується для опису різних явищ та процесів. Безпосередньо у фізиці тригонометрія використовується для представлення векторів у різних системах координат і моделюванні періодичних процесів (звукових хвиль, електромагнітних коливань, зміни середньої температури протягом року тощо). Сучасна наука використовує 6 базових тригонометричних функцій: *sin, cos, tg, ctg, sec, csc*; через перші дві виражаються всі інші. Для визначення тригонометричних функцій кута $$\alpha$$ потрібно взяти **прямокутний** трикутник, що містить цей кут $$\alpha$$. Сторони трикутника матимуть наступні назви: * **Гіпотенуза** – сторона **прямокутного** трикутника, що лежить навпроти його прямого кута. Вона завжди є найдовшою зі сторін трикутника. * **Прилеглий катет** – сторона, що лежить між прямим кутом і кутом $$\alpha$$. * **Протилеглий катет** – сторона, що лежить навпроти кута $$\alpha$$. Тепер у нас є все необхідне для означення основних тригонометричних функій. * **Синус кута** – це відношення довжини протилеглого катета до гіпотенузи. У нашому випадку: $$\sin(\alpha) = \dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а} = \dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#4A90E2}h}$$ * **Косинус кута** – це відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи:$$\cos(\alpha) = \dfrac{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}{\color{#4A90E2}г\color{#4A90E2}і\color{#4A90E2}п\color{#4A90E2}о\color{#4A90E2}т\color{#4A90E2}е\color{#4A90E2}н\color{#4A90E2}у\color{#4A90E2}з\color{#4A90E2}а}=\dfrac{\color{#417505}a}{\color{#4A90E2}h}$$ * **Тангенс кута** – це відношення довжини протилеглого катета до прилеглого катета: $$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}п{\color{#D0021B}р\color{#D0021B}о\color{#D0021B}т\color{#D0021B}и\color{#D0021B}л\color{#D0021B}е\color{#D0021B}г\color{#D0021B}л\color{#D0021B}и\color{#D0021B}й} \thinspace {\color{#D0021B} к\color{#D0021B}а\color{#D0021B}т\color{#D0021B}е\color{#D0021B}т}}{\color{#417505}п\color{#417505}р\color{#417505}и\color{#417505}л\color{#417505}е\color{#417505}г\color{#417505}л\color{#417505}и\color{#417505}й \thinspace \color{#417505}к\color{#417505}а\color{#417505}т\color{#417505}е\color{#417505}т}=\dfrac{\color{#D0021B}b}{\color{#417505}a}$$Розділивши чисельних і знаменник на довжину гіпотинузи, отримаємо:$$\text{tg}(\alpha)=\dfrac{\color{#D0021B}b/ \color{#4A90E2}h}{\color{#417505}a/ \color{#4A90E2}h} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$ Ще три основні тригонометричні функції є оберненими до попередніх: * **Котангенс кута**: $$\text{ctg}(\alpha) = \dfrac{1}{\text{tg}(\alpha)} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$ * **Секанс кута**: $$\sec(\alpha) = \dfrac{1}{\sin(\alpha)}$$ * **Косеканс кута**: $$\csc(\alpha) = \dfrac{1}{\cos(\alpha)}$$ Усі ці функції є періодичними, тобто повторюють свої значення при певній змінні кута. Для функцій sin, cos, sec і csc величина цієї зміни становить $$2\pi$$, для tg, ctg – $$\pi$$. $$\sin(\alpha) = \sin(\alpha \pm 2\pi k), \\, k = \overline{1, 2, 3,...} $$ $$\text{tg}(\alpha) = \sin(\alpha \pm \pi k), \\, k = \overline{1, 2, 3,...} $$Аналогічно й для cos, ctg, sec, csc. ![](/files/-LWNRDRUMTQi5qRo375n)Графік залежності функцій sin та cos від кута на проміжку $$\[0; 2\pi]$$![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Circle_cos_sin.gif) Як видно з графіку, функції $$\sin$$ та $$\cos$$ мають однакову форму, проте відрізняються фазою на $$\dfrac{\pi}{2}$$: $$\sin(\alpha) = \cos(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$ $$\cos(\alpha) = \sin(\dfrac{\pi}{2} - \alpha)$$ Варто знати також деякі тригонометричні співвідношення. * Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ * Формули длясуми/різниці кутів: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ * Якщо кути $$\alpha$$ та $$\beta$$ рівні між собою, то формули суми/різниці спрощуються до формул подвійних кутів: $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$$ $$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)= 2 \cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$ * Формули функцій половинного кута: $$\sin\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}$$ $$\cos\big(\dfrac{\alpha}{2}\big) = \sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}$$ * Формули для суми/різниці функцій кута: $$\sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2\sin\big(\dfrac{\alpha \pm \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha \mp \beta}{2}\big)$$ $$\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\cos\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$ $$\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\big(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\big)\sin\big(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\big)$$ # Вектори Означення **Вектор** — це величина, що характеризується числовим значенням і напрямком. Наочно вектор можна зобразити як напрямлений відрізок. Вектор задається двома точками $$A$$ і $$B$$, перша з яких є його **початком**, а друга – **кінцем**. Сам вектор тоді позначають як $$\vec{AB}$$. Часто вектори позначають маленькими латинськими літерами зі стрілочкою, наприклад $$\vec{a}$$. На рисунку кінець вектора зображається стрілкою: Величину, що характеризується лише числовим значенням (без задання напрямку) називають **скалярною**, або просто **«скаляром»**. Два вектори називають **колінеарними**, якщо вони лежать на паралельних прямих. При цьому вони можуть бути співнапрямленими або протилежно напрямленими. На малюнку всі три вектори $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ та $$\vec{c}$$ є колінеарними, при цьому вектори $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ є співнапрямленими, а вектори $$\vec{a}$$ і $$\vec{c}$$ – протилежно напрямленими: Означення **Модуль вектора** $$\vec{AB}$$ - це число (скалярна величина), яке дорівнює довжині відрізка $$AB$$. Його позначають $$|\vec{AB}|$$. # Рівність векторів Два вектори називають **рівними**, якщо вони мають однаковий напрямок та довжину, і навпаки. Іншими словами рівні вектори можна сумістити використавши паралельне перенесення: Протилежні вектори мають протилежний напрямок та однакову довжину. Якщо відомий вектор $$\vec{a}$$, протилежний до нього вектор $$\vec{b}$$ виражається як $$\vec{b} = -\vec{a}$$. **Нульовий вектор** $$\vec{\boldsymbol0}$$ має нульову довжину та не має напрямку (точки початку і кінця вектора збігаються). # Координати векторів Якщо розглядати вектор в якійсь системі відліку, то він, як і будь-який об’єкт, має бути охарактеризований з точки зору координат. Нехай вектор $$\vec{a}$$ починається в точці $$A$$ з координатами $$(x\_1; y\_1)$$ та закінчується в точці $$B$$ з координатами $$(x\_2; y\_2)$$. Тоді **координатами вектора** $$\vec{a}$$ називають числа $$a\_1=x\_2-x\_1$$ та $$a\_2=y\_2-y\_1$$. Координатне представлення вектора записують таким чином: $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$. Виконаємо паралельне перенесення вектора $$\vec{a}$$. Новий вектор позначимо $$\vec{a}^{\prime}$$, і він матиме початок в точці $$A^{\prime} \thinspace (x\_1+m;y\_1+n)$$ та кінець в точці $$B^{\prime} \thinspace (x\_2+m;y\_2+n)$$. Координати нового вектора $$\vec{a}^{\prime} (a\_1^{\prime};a\_2^{\prime})$$: $$a\_1^{\prime}=(x\_2+m)-(x\_1+m)=x\_2-x\_1=a\_1$$ $$a\_2^{\prime}=(y\_2+n)-(y\_1+n)=y\_2-y\_1=a\_2$$ Бачимо, що новий вектор $$\vec{a}^{\prime}$$ має такі ж самі координати, як і початковий вектор $$\vec{a}$$. З цього випливає ще одне означення рівності векторів: два вектори називають **рівними**, якщо вони мають **рівні відповідні координати**, і навпаки. **Зауваження**: неважливо, де саме в координатному просторі знаходяться точки $$A$$ та $$B$$, важливе лише їхнє **взаємне розташування**. Простими словами, якщо початок вектора сумістити з початком координат $$(0;0)$$, то координати кінця вектора $$(a\_1;a\_2)$$ будуть координатами вектора $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$. Для зображення вектора у системі координат проводиться напрямлений відрізок (стрілка) з початку координат до точки з координатами вектора. # Операції над векторами Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою. ## Модуль вектора Як вже було зазначено модуль вектора $$\vec{AB} = \vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ – це довжина відрізка $$AB$$, що позначається $$|\vec{AB\_{ }}|=|\thinspace \vec{a} \thinspace|$$. Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка: $$|\thinspace \vec{AB} \thinspace|=\sqrt{(x\_2-x\_1 )^2+(y\_2-y\_1 )^2}.$$ Або ж через координати вектора: $$|\thinspace \vec{a} \thinspace|=\sqrt{a\_1^2+a\_2^2}.$$ ## Додавання векторів У координатному вигляді в результаті додавання векторів $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b\_1;b\_2)$$ отримаємо вектор $$\vec{c} \thinspace (c\_1;c\_2)$$, такий що: $$c\_1=a\_1+b\_1;$$ $$c\_2=a\_2+b\_2.$$ Суму векторів записують як: $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}.$$ Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються. Властивості операції додавання векторів * Комутативність: $$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$. * Асоціативність: $$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$. * Додавання нульового вектора: $$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$. Для **геометричної побудови** вектора суми $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$$ використовують **«правило трикутника»** або **«правило паралелограма»**. **«Правило трикутника»**: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого: За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора: **«Правило паралелограма»**: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів: Віднімання векторів $$\vec{a} - \vec{b}$$ еквівалентне додаванню протилежного вектора: $$\vec{a} + (-\vec{b})$$. ## Множення вектора на скаляр При множенні вектора $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ на скалярну величину $$\lambda$$, кожна координата вектора множиться на цей скаляр: $$\lambda\vec{a} = (\lambda a\_1;\lambda a\_2).$$ Властивості операції множення вектора на скаляр * Комутативність: $$\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$$. * Асоціативність: $$\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$$. * Дистрибутивність відносно додавання чисел: $$(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$$ * Дистрибутивність відносно додавання векторів: $$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$$. З точки зору геометрїї при множенні довжина вектора збільшується в $$|\thinspace \lambda \thinspace|$$ разів: $$|\thinspace \lambda\vec{a} \thinspace|=\sqrt{(\lambda a\_1)^2 + (\lambda a\_2)^2} = \sqrt{\lambda^2 (a\_1^2+a\_2^2)}=|\thinspace \lambda \thinspace|\sqrt{a\_1^2+a\_2^2} = |\thinspace \lambda \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{a} \thinspace|$$ При цьому: 1. якщо $$\lambda > 0$$, то напрямок вектора зберігається; 2. якщо $$\lambda < 0$$, то напрямок вектора змінюється на протилежний: ## Скалярний добуток векторів Означення **Скалярним добутком** двох векторів $$\vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2)$$ та $$\vec{b} \thinspace (b\_1;b\_2)$$ називається **число** $$a\_1 b\_1+a\_2 b\_2$$. Скалярний добуток позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ або $$(\vec{a},\vec{b})$$. Скалярний добуток вектора самого на себе називається **скалярним квадратом**, який дорівнює квадрату довжини вектора: $$(\vec{a},\vec{a}) = \vec{a}^2 = |\thinspace \vec{a} \thinspace|^2.$$ Означення **Скалярний добуток** також можна виразити як добуток довжин векторів та косинусу кута між цими векторами:$$(\vec{a},\vec{b})=|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| \cdot \cos{\varphi}$$![](/files/-LWNRDnF4UPRWmDb8Hc-) **Зауваження**: якщо вектори $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними $$\varphi = \dfrac{\pi}{2}$$ і $$\cos{\varphi} = \cos{\dfrac{\pi}{2}} = 0$$, то з вищенаведеного означення випливає, що **скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю**, і навпаки. Властивості скалярного добутку векторів * Комутативність: $$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$$. * Асоціативність: $$\lambda(\vec{a}, \vec{b}) = (\lambda\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a},\lambda\vec{b})$$. * Дистрибутивність: $$(\vec{a} + \vec{b},\vec{c}) = (\vec{a},\vec{c}) + (\vec{b},\vec{c})$$. Знайдіть косинус кута між векторами $$\vec{a}(4;9)$$ і $$\vec{b}(-2;5)$$-0.7-0.500.50.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \\\[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \\] Тобто, \\\[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \\] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \\\[ (\vec{a}, \vec{b}) = a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 \\] Отже, маємо: \\\[ cos(\varphi) = \dfrac{a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2}{\sqrt{a\_1 ^2 +a\_2 ^2} \cdot \sqrt{b\_1 ^2 + b\_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \\] Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?01-11 або -1Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде $$0$$ у випадку, коли вони співнапрямленні і $$180^\circ$$, якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1. ## Проекція та розкладання вектора на компоненти **Одиничним** називається вектор одиничної довжини. Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають **ортами**. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі $$Ox$$ позначають $$\vec{e\_1}$$ (або $$\vec{i}$$), а вздовж вісі $$Oy$$ – відповідно $$\vec{e\_2}$$ (або $$\vec{j}$$). У координатному представленні їх можна записати: $$\vec{e\_1} (1;0)$$ та $$\vec{e\_2} (0;1)$$. Візьмемо два вектора довільної довжини: $$\vec{a\_1}$$, який напрямлений вздовж вісі $$Ox$$, а інший, $$\vec{a\_2}$$ – вздовж $$Oy$$. Запишемо сумарний вектор, який позначимо $$\vec{a}$$: $$\vec{a\_1} \thinspace (a\_1;0) + \vec{a\_2} \thinspace (0;a\_2) = \vec{a} \thinspace (a\_1;a\_2).$$ У свою чергу, вектор $$\vec{a\_1}$$ можна виразити через орт $$\vec{e\_1}$$: вони мають однаковий напрямок і відрізняються лише довжиною: $$\vec{a\_1} \thinspace (a\_1;0)=a\_1 \vec{e\_1} \thinspace (1;0).$$ Аналогічним чином: $$\vec{a\_2} \thinspace (0;a\_2)=a\_2 \vec{e\_2} \thinspace (0;1).$$ Підставивши ці вирази до виразу для вектора $$\vec{a}$$, отримуємо: $$\vec{a} = a\_1\vec{e\_1} + a\_2\vec{e\_2}.$$ Легко помітити, що **коефіцієнти при ортах – це координати вектора**, або, як ще називають, **проекції на осі координат**. Виконана операція називається **розкладанням вектора на проекції (компоненти)**. Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді **лінійної комбінації** двох інших відомих векторів: $$\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}.$$ ![](/files/-LWNRDnIMCrJWoXa6UlI)