Закон збереження механiчної енергiї

Тепер, комбiнуючи знання про роботу та види енергiй, ми з легкiстю дійдемо до поняття повної механiчної енергiї. Знову звернімося до прикладу з силою тяжiння:
Тiло рухається пiд дiєю сили тяжiння. На висотi має швидкiсть , на висотi .
  • Згiдно з теоремою про кiнетичну енергiю (підрозділ ), робота, яку виконує сила тяжiння, дорiвнює рiзницi кiнетичних енергiй тiла в кiнцевому та початковому станах:
  • Роботу сили тяжiння можна одержати i за допомогою потенцiальної енергiї (попереднiй підрозділ). Тут навпаки: початковий стан – кiнцевий:
Прирiвнявши вирази для роботи, маємо:
Визначення
Повна механiчна енергiя – сума потенцiальної енергiї та кiнетичної енергiй тiла.
Повна механiчна енергiя системи тiл – це сума повних енергiй усiх тiл, що входять у систему.
Закон збереження повної механiчної енергiї: У полi консервативних сил сума кiнетичної та потенцiальної енергiй залишається постiйною.
Задача 2 АМЕРИКАНСЬКI ГIРКИ
Вiзок американських гiрок починає зiсковзувати з висоти з нульовою початковою швидкiстю. На якiй висотi візок матиме швидкiсть рiвно втричі меншу, нiж у найнижчiй точцi? Для розрахункiв силою тертя мiж вiзком та гiркою можна знехтувати.

Розв’язання.

Для початку розпишімо повну механiчну енергiю для кожної з точок.
  1. В умовi сказано, що початкова швидкiсть нульова . Натомiсть вiзок розташований на висотi вiд нульового рiвня, який вiдповiдає найнижчiй точцi (наш вибiр). Отже, потенцiальна енергiя: , а повна енергiя:
  2. У найнижчiй точцi (нульовий рiвень) потенцiальна енергiя дорiвнює нулеві: . З iншого боку, саме в цiй точцi вiзок набуває максимальної швидкостi, адже вся потенцiальна енергiя перейшла в кiнетичну. Повна енергiя:
  3. У третiй точцi вiзок має i кiнетичну, i потенцiальну енергiю. Повна енергiя:
Визначмо швидкiсть вiзка у другiй точцi, використовуючи закон збереження повної механiчної енергiї:
З умови в третiй точцi швидкiсть утричі менша за швидкiсть у другiй точцi: . Скористаймось законом збереження енергiї для першого та третього випадку (могли i для другого та третього):
Пiдставимо , яку одержали вище:

Вiдповiдь.

Задача 3 МЕРТВА ПЕТЛЯ
Вiзок на американських гiрках починає зiсковзувати вниз з нульовою початковою швидкiстю. Попереду його чекає мертва петля. З якої мiнiмальної висоти можна вiдпустити вiзок, щоб вiн все ж таки здiйснив повний оберт у петлi?

Розв’язок.

Для початку порахуймо, має бути мiнiмальна лiнiйна швидкiсть вiзка, щоб вiн не «вiдiрвався» у верхнiй точцi. Ми це робили, розглядаючи динаміку руху тiла по колу, але згадаймо ще раз. У верхнiй точцi на вiзок дiють двi сили: сила тяжiння та сила реакцiї опори . Обидвi – вертикально вниз. Вiзок вiдiрветься в той момент, коли сила реакцiї опори стане рiвною нулеві: це означатиме, що вiзок нiяк не тисне на опору. Доцентрове прискорення у верхнiй точцi також спрямоване вертикально вниз. Другий закон Ньютона:
Тепер можемо скористатися законом збереження повної механiчної енергiї. Повна енергiя на висотi з нульовою швидкiстю:
Повна енергiя у верхнiй точцi мертвої петлi на висотi зі швидкістю :
Пiдставмо мiнiмальну отриману мiнiмальну швидкiсть, яку одержали, та прирiвняємо повнi енергiї:

Вiдповiдь.