Центр тяжiння та центр мас

Ще два важливих поняття для засвоєння: центр мас та центр тяжiння.

Під час розгляду руху тiла, яке має певнi розмiри, ми часто вводили деякi спрощення. По-перше, вважали, що рух є поступальним (всi точки тiла проходять однаковий шлях). По-друге, динамiка тiла та кiнематичнi рiвняння розглядалися з використанням концепцiї матерiальної точки (уся маса тiла зосереджена в нiй, також на неї дiють усi сили, що прикладенi до тiла в рiзних точках).

Приклади використання цих концепцiй:

  1. До бруска, що лежить на деякiй поверхнi, прикледно силу пiд кутом до горизонту.
    Якщо ви пригадуєте, ми говорили про те, що сила має точку прикладання. Розглядаючи брусок певних розмiрiв, бачимо, що в цьому випадку: сила прикладена вiд опори до нижньої гранi бруска, сила тяжiння – прикладена до геометричного центра бруска (якщо вiн однорiдний), сила тертя виникає мiж поверхнею та нижньою гранню тiла, зовнiшня сила, яка спрямована пiд кутом до горизонту, прикладена до точки на верхнiй гранi бруска. Та все ж, таку задачу ми спрощували до випадку, коли всi сили прикладенi до матерiальної точки, маса якої дорiвнює масi бруска.
  2. Петро жбурляє брусок пiд певним кутом до горизонту.
    На лiвому рисунку зображено поступальний рух бруска. Жбурнути тiло певних розмiрiв таким чином, звичайно, можна, але ж ви розумiєте, що набагато вiрогiднiша ситуацiя, зображена на правому рисунку. Тут присутнiй обертальний рух. Рiзнi точки бруска проходять рiзний шлях за певний промiжок часу та перебувають у русi одна вiдносно iншої.

    Перший та другий приклад дуже показовi. Маємо тiло певних розмiрiв з певною масою, до рiзних точок якого прикладено деякi сили. Навiть якщо внаслiдок такого прикладання сил, тiло обертається, завжди iснує точка, яка рухається так само, як би рухалась матерiальна точка із зосередженою в нiй масою тiла, до якої прикладено всi цi сили. Така точка називається центром мас (ЦМ). В однорiдних тiлах з симетричною геометрiєю центр мас збігається з геометричним центром тiла.

Взагалi рух будь-якого тiла можна розглядати як суму поступального руху центра мас, обертального руху, коливального чи будь-яких iнших типiв руху навколо центра мас. Щоб краще розiбратися з концепцiєю центра мас, розглянемо такий простий експеримент. Маємо поверхню стола, на яку ми поклали молоток з позначеним на ньому центром мас. Тепер, якщо ми штовхнемо його в горизонтальному напрямку, приклавши силу, наприклад, до центру держака молотка, то вiн буде рухатись так, як зображено на малюнку.

Маємо поступальний рух центра мас по прямiй лiнiї та обертальний рух молотка навколо центра мас. Центр мас рухається так, як би рухалась матерiальна точка, до якої прикладено вiдповiдну силу, а обертальний рух молотка залежить вiд точки, до якої ми приклали цю силу. Наприклад, найменше буде обертатися молоток, якщо силу буде прикладено до залiзної частини молотка (близько до ЦМ), а якщо прикласти силу до нижньої частини ручки (далi вiд ЦМ), то обертальна складова буде бiльшою. Поступальний рух центра мас у всiх випадках все одно буде однаковим. Це можна перевiрити власними силами в домашнiх умовах.

Взагалi центр тяжiння (ЦТ) центр мас. Центр мас не стосується будь-якої іншої сили. Маса в будь-якому мiсцi, полi сил, середовищi i є масою. Центр тяжiння – це точка, до якої прикладено силу тяжiння. Якщо пiдперти тiло в центрi тяжiння, то воно буде перебувати у станi рiвноваги (рис. Центр тяжiння). Адже в такому випадку момент сили цього тiла вiдносно точки опори буде нульовим (плече = 0). Чому ж поняття центр тяжiння та центр мас – не завжди одне i те саме? Уявiть наприклад, що ми маємо дуже довгий однорiдний стрижень, частина якого розташована, наприклад, на Землi, а частина – на мiсяцi. Тодi сила тяжiння для першої частини тiла буде бiльшою, нiж для другої. Центр мас буде розташовано, як завжди, у геометричному центрi стрижня, а от центр тяжiння – буде зсунуто в бiк Землi. У наших задачах для тiл, якi знаходяться на Землi, цей ефект вiдсутнiй, тому центр мас i центр тяжiння збігаються.

Як видно з рисунку вище та, як один з висновків, правила моментiв, яке ми розглянули, рiвноважне положення спостерiгаємо тодi, коли центр тяжіння розміщений на вертикальнiй лiнiї осі обертання.

У такий спосіб, наприклад, можна визначити положення центра тяжiння плоского тiла неправильної форми. Можна пiдвiсити тiло почергово у рiзних точках i за рахунок моменту сили воно повернеться так, щоб потрапити в рiвноважне положення (момент = 0, ЦТ лежить на вертикальнiй лiнiї, що проходить крiзь вiсь обертання). Обидва рази проводимо вертикальнi лiнiї й на їх перетинi i буде шукане положення ЦТ.

Отже, якщо ЦТ розміщений нижче від осi обертання, то тiло самостiйно приймає положення рiвноваги. На такому принципi, наприклад, канатоходець може втримувати рiвновагу. Якщо вiн буде тримати довгу палицю, до якої з обох сторiн прикрiплено довгi троси з вантажами на них, то ЦТ системи тiл «Людина i два вантажi» буде перебувати пiд точкою опори. Таким чином канатоходець спокiйно втримується на канатi.