Операції над векторами

Координатне представлення векторів дозволяє оперувати алгебраїчними методами замість геометричних. Над векторами можна виконувати багато алгебраїчних операцій: знаходити модуль, додавати і віднімати, множити або ділити на числа, множити між собою.

Модуль вектора

Як вже було зазначено модуль вектора – це довжина відрізка , що позначається .

Модуль обчислюється за відомою формулою довжини відрізка:

Або ж через координати вектора:

Додавання векторів

У координатному вигляді в результаті додавання векторів та отримаємо вектор , такий що:

Суму векторів записують як:

Іншими словами при додаванні векторів їхні відповідні координати додаються.

Властивості операції додавання векторів
  • Комутативність: .
  • Асоціативність: .
  • Додавання нульового вектора: .

Для геометричної побудови вектора суми використовують «правило трикутника» або «правило паралелограма».

«Правило трикутника»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб його початок співпадав з кінцем іншого. Вектор суми утворюватиме трикутник з двома векторами, він буде починатись у точці початку першого вектора і закінчуватись у точці кінця другого:
За цим правилом можна додавати багато векторів, для цього їх всі потрібно послідовно з’єднати. Результатом буде вектор, що починається у точці початку першого вектора, та закінчується у точці кінця останнього вектора:
«Правило паралелограма»: потрібно зробити паралельне перенесення одного з векторів так, щоб початки векторів співпали. На основі цих векторів будується паралелограм, а сумарний вектор буде співпадати з діагоналлю побудованого паралелограма і матиме початок в точці суміщення векторів:

Віднімання векторів еквівалентне додаванню протилежного вектора: .

Множення вектора на скаляр

При множенні вектора на скалярну величину , кожна координата вектора множиться на цей скаляр:

Властивості операції множення вектора на скаляр
  • Комутативність: .
  • Асоціативність: .
  • Дистрибутивність відносно додавання чисел:
  • Дистрибутивність відносно додавання векторів: .

З точки зору геометрїї при множенні довжина вектора збільшується в разів:

При цьому:

  1. якщо , то напрямок вектора зберігається;
  2. якщо , то напрямок вектора змінюється на протилежний:

Скалярний добуток векторів

Означення
Скалярним добутком двох векторів та називається число . Скалярний добуток позначається або .

Скалярний добуток вектора самого на себе називається скалярним квадратом, який дорівнює квадрату довжини вектора:

Означення
Скалярний добуток також можна виразити як добуток довжин векторів та косинусу кута між цими векторами:

Зауваження: якщо вектори та не є нульовими і перпендикулярні, кут між ними і , то з вищенаведеного означення випливає, що скалярний добуток перпендикулярних векторів рівний нулю, і навпаки.

Властивості скалярного добутку векторів
  • Комутативність: .
  • Асоціативність: .
  • Дистрибутивність: .

Знайдіть косинус кута між векторами і

-0.7 -0.5 0 0.5 0.7 Косинус кута між векторами можна знайти через їх скалярний добуток. \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace| cos(\varphi) \] Тобто, \[ cos(\varphi) = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} \] Скалярний добуток ми знаходи знаючи координати векторів: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] Отже, маємо: \[ cos(\varphi) = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{|\thinspace \vec{a} \thinspace| \cdot |\thinspace \vec{b} \thinspace|} = \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1 ^2 +a_2 ^2} \cdot \sqrt{b_1 ^2 + b_2 ^2}} = \dfrac{4 \cdot (-2) + 9\cdot 5}{\sqrt{4^2 + 9^2}\cdot \sqrt{(-2)^2 + 5^2}} = \dfrac{37}{53} \approx 0.7 \]

Чому дорівнює косинус кута між двома колінеарними векторами?

0 1 -1 1 або -1 Недостатньо данних Пригадайте означення колінеарності: вектори мають лежати на паралельних прямих. Тобто кут між ними буде у випадку, коли вони співнапрямленні і , якщо вони протилежнонапрямлені. Відповідно косинус кута між колінеарними векторами буде або 1, або -1.

Проекція та розкладання вектора на компоненти

Одиничним називається вектор одиничної довжини.

Ті одиничні вектори, які співпадають з напрямками осей системи координат називають ортами. Зазвичай орт, що має напрямок вздовж вісі позначають (або ), а вздовж вісі – відповідно (або ). У координатному представленні їх можна записати: та .

Візьмемо два вектора довільної довжини: , який напрямлений вздовж вісі , а інший, – вздовж . Запишемо сумарний вектор, який позначимо :

У свою чергу, вектор можна виразити через орт : вони мають однаковий напрямок і відрізняються лише довжиною:

Аналогічним чином:

Підставивши ці вирази до виразу для вектора , отримуємо:

Легко помітити, що коефіцієнти при ортах – це координати вектора, або, як ще називають, проекції на осі координат. Виконана операція називається розкладанням вектора на проекції (компоненти).

Узагальнивши вищенаведене: будь-який довільний вектор можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації двох інших відомих векторів: