Додаток

Тригонометричні функції

Тригонометричні функції – функції, що залежать від кута і пов'язують між собою кути трикутника та відношення довжин його сторін. Вони мають широкий спектр застосувань у математиці і, відповідно, в областях науки, де математика застосовується для опису різних явищ та процесів.

Безпосередньо у фізиці тригонометрія використовується для представлення векторів у різних системах координат і моделюванні періодичних процесів (звукових хвиль, електромагнітних коливань, зміни середньої температури протягом року тощо).

Сучасна наука використовує 6 базових тригонометричних функцій: sin, cos, tg, ctg, sec, csc; через перші дві виражаються всі інші.

Для визначення тригонометричних функцій кута потрібно взяти прямокутний трикутник, що містить цей кут . Сторони трикутника матимуть наступні назви:

  • Гіпотенуза – сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти його прямого кута. Вона завжди є найдовшою зі сторін трикутника.
  • Прилеглий катет – сторона, що лежить між прямим кутом і кутом .
  • Протилеглий катет – сторона, що лежить навпроти кута .

Тепер у нас є все необхідне для означення основних тригонометричних функій.

  • Синус кута – це відношення довжини протилеглого катета до гіпотенузи. У нашому випадку:

  • Косинус кута – це відношення довжини прилеглого катета до гіпотенузи:

  • Тангенс кута – це відношення довжини протилеглого катета до прилеглого катета:

    Розділивши чисельних і знаменник на довжину гіпотинузи, отримаємо:
Ще три основні тригонометричні функції є оберненими до попередніх:
  • Котангенс кута:

  • Секанс кута:

  • Косеканс кута:

Усі ці функції є періодичними, тобто повторюють свої значення при певній змінні кута. Для функцій sin, cos, sec і csc величина цієї зміни становить , для tg, ctg.

Аналогічно й для cos, ctg, sec, csc.
Графік залежності функцій sin та cos від кута на проміжку

Як видно з графіку, функції та мають однакову форму, проте відрізняються фазою на :

Варто знати також деякі тригонометричні співвідношення.

  • Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:

  • Формули для суми/різниці кутів:

  • Якщо кути та рівні між собою, то формули суми/різниці спрощуються до формул подвійних кутів:

  • Формули функцій половинного кута:

  • Формули для суми/різниці функцій кута: